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1、一阶线性微分方程 第六节(3)(4)一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程 二、齐次微分方程二、齐次微分方程 第三章 三、伯努利方程三、伯努利方程 四、其它可用变量代换法方程四、其它可用变量代换法方程第1页一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x)0,若 Q(x)0,称为非齐次非齐次.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次齐次;第2页对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法常数变易法:则故原方程通解即即作变换两端积分得第3页例例1 1 求方程求方程 通解。通解。解解 第4页例例2.解方程 解解:先解即积分得即用常数变
2、易法常数变易法求特解.则代入非齐次方程得解得故原方程通解为令第5页例例3 3 求方程 通解。分析分析：解解求满足初值条件求满足初值条件 特解！特解！第6页二、齐次微分方程二、齐次微分方程形如形如方程叫做方程叫做齐次微分方程齐次微分方程.令令代入原方程得代入原方程得两边积分两边积分,得得积分后再用积分后再用代替代替 u,便得原方程通解便得原方程通解.解法解法:分离变量分离变量:第7页例例3.解微分方程解微分方程解解:代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量两边积分两边积分得得故原方程通解为故原方程通解为(当当 C=0 时时,y=0 也是方程解也是方程解)(C 为任意常数为任意常数)此处此处第8页
3、例例4.解微分方程解微分方程解解:则有则有分离变量分离变量积分得积分得代回原变量得通解代回原变量得通解即即说明说明:显然显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程解也是原方程解,但在但在(C 为任意常数为任意常数)求解过程中丢失了求解过程中丢失了.第9页例例5 5 求解微分方程求解微分方程解解微分方程解为微分方程解为第10页三、伯努利三、伯努利(Bernoulli)方程方程 伯努利方程标准形式伯努利方程标准形式:令令求出此方程通解后求出此方程通解后,除方程两边除方程两边,得得换回原变量即得伯努利方程通解换回原变量即得伯努利方程通解.解法解法:(线性方程线性方程)伯努利伯努利 第11页例例6.求方
4、程通解.解解:令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:第12页四、其它可用变量代换法方程四、其它可用变量代换法方程 例例7.求方程通解.例例8.求解初值问题第13页内容小结内容小结1.一阶线性方程方法1 先解齐次方程,再用常数变易法.方法2 用通解公式化为线性方程求解.2.伯努利方程第14页3.注意用变量代换将方程化为已知类型方程比如,解方程法法1.取 y 作自变量:线性方程 法法2.作变换 则 代入原方程得 可分离变量方程第15页思索与练习思索与练习判别以下方程类型:提醒提醒:可分离 变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程第16页2.求方程通解.解解:注意 x,y 同号,由一阶线性方程通解公式通解公式,得故方程可变形为所求通解为 这是以为因变量 y 为自变量一阶线性方程第17页备用题备用题1.求一连续可导函数使其满足以下方程:提醒提醒:令则有线性方程利用公式可求出第18页2.设有微分方程其中试求此方程满足初始条件连续解.解解:1)先解定解问题利用通解公式,得利用得故有第19页2)再解定解问题此齐次线性方程通解为利用衔接条件得所以有3)原问题解为第20页