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1、江苏省淮安市江苏省淮安市 2023-2024 学年度高三年级第一次调研测试学年度高三年级第一次调研测试数学试题数学试题总分：总分：150 分分时间：时间：120 分钟分钟注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标
2、号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。上无效。3考试结束后，将答题卡交回。考试结束后，将答题卡交回。一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是符合题目要求的。符合题目要求的。1已知集合3,0,1,2,3,4,5Ax xB，则RAB（）A0,1,2B0,1,2,3C4,5D3,4,52“1a”是“函数21()log1axf xx是奇函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件3己知长方形 ABCD 的边42ABAD，E 为 BC
3、 的中点，则AE BD （）A14B14C18D184谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图 1），沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图 2），对剩下的三个小三角形继续以上操作（如图 3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形如果图 1 三角形的边长为 2，则图 4 被挖去的三角形面积之和是（）图 1图 2图 3图 4A7 316B9 316C27 364D37 3645某个弹簧振子做简谐运动，已知在完成一次全振动的过程中，时间 t（单位：s）与位移 y（单位：cm）之间满足函数关系：sincos6y
4、tt，则这个简谐运动的振幅是（）A1cmB2cmC3cmD2 3cm6函数()lnf xxax与直线10 xy 相切，则实数 a 的值为（）A1B2CeD2e7球 M 是圆锥 SO 的内切球，若球 M 的半径为 1，则圆锥 SO 体积的最小值为（）A43B4 23C83D48己知函数()f x及其导函数()f x的定义域均为R，且满足()2(6)f xfx，()2(4)fxfx，(3)1f，若()(3)5g xfx，则181()kg k（）A18B20C88D90二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，
5、有多项符合题目有多项符合题目要求。全部选对的得要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9实践育人是落实立德树人根本任务的重要环节，是培养担当民族复兴大任时代新人的有效途径某研究性学习小组为了解某校 2000 名学生参加 2023 年暑期社会实践的情况，通过分层抽样的方法抽取一个容量为 N的样本，对学生某一天社会实践的时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示己知样本中60,70)的人数为 20 人，则以下说法正确的是（）A0.020a B100N C估计该样本数据的平均数为 74D估计全校社会实践时间在 60 分
6、钟以上的学生约为 180 人10若,2 2，曲线 C 的方程为22cossin1xy，则（）A当4时，曲线 C 表示圆B当0时，曲线 C 表示两条直线C当0,4时，曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆D当,02 时，曲线 C 表示焦点在 y 轴上的双曲线11设，是两个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，下列命题正确的有（）A如果,mn mn，那么B如果,mn mn，那么C如果,mn mn，那么D如果,/,mn mn，那么12设函数()2exf xx，对于任意给定的实数 K，定义函数(),()()eln2,()Kxf xf xKxxKff x，则下列结论正确的有（）A函数1()yfx的零点有
7、3 个B(0,1)t ，使0()0ft C若,()()Kxfxf x R，则1K D若()Kfx存在最大值，则ln2K 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13tan555的值为_14在我国长江中下游地区，每年的 6 月中下旬到 7 月中旬为梅雨季节，这段时间阴雨天气较多这个地区的一个市级监测资料表明，该市一天为阴雨天气的概率是 0.8，连续两天为阴雨天气的概率是 0.72，己知某天为阴雨天气，则随后一天也为阴雨天气的概率是_15定义在(0,)上的函数()f x的导函数为()f x，当0 x 时，()1xfx，且(e)3f，则不等
8、式22ln2f xx的解集为_16椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为12,F F，上顶点为 A，直线1AF与椭圆 C 交于另一点B，若2120AF B，则椭圆 C 的离心率为_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 10 分）在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，D 为边 BC 上一点，2AD（1）若ABC的面积2,4SADB，求 a；（2）若 D 为BAC的角平分线与边 BC 的交点，2,4cC，求 a，18（本小题满分 12
9、 分）如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，60BAD，将CBD沿 BD 折起到PBD的位置，使6PA（1）求证：平面PBD 平面 ABD；（2）求直线 AB 与平面 PAD 所成角的正弦值19（本小题满分 12 分）己知函数2()2lnf xaxx（1）讨论函数()f x的单调性；（2）求证：当0a 时，1()2f xa20（本小题满分 12 分）已知等差数列 na的前 n 项和为nS，579,49aS数列 nb的前 n 项和为nT，11b，11nnTb（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）设2nnnacb，求数列 nc的最大项21（本小题满分 12 分）某数学兴趣小组设计了一
10、个开盲盒游戏：在编号为 1 到 4 号的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数满足()(1,2,3,4,5)Pnk nn，每个箱子中所放奖品的个数相互独立游戏规定：当箱子中奖品的个数超过 3 个时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品每个参与游戏的同学依次从 1到 4 号箱子中取奖品，4 个箱子都取完后该同学结束游戏甲、乙两人依次参与该游戏（1）求甲能从 1 号箱子中取走一个奖品的概率；（2）设甲游戏结束时取走的奖品个数为 X，求 X 的概率分布与数学期望；（3）设乙游戏结束时取走的奖品个数为 Y，求 Y 的数学期望22（本小题满分 12 分）已知函数2()exf xaxb
11、x（1）若0,0ab，函数()|()|g xf x有两个极小值点，求实数 a 的取值范围；（2）若 120,1,2abf xf x，求证：1240 xxa2023-2024 学年度高三年级第一次调研测试学年度高三年级第一次调研测试数学试题答案数学试题答案一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。分。1B2C3A4D5C6B7C8B二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。9ABC10AB11BC12BCD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分
12、，共 20 分。分。1323140.915(e,)161313四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）11sinsin22ABDADCSSSBD ADADBDC ADADC，2 分因为ADBADC，所以sinsinADBADC，则112()sin2 sin224242SBDDCADaa，所以2 2a 4 分解法二：ABC的高sin2sin24hADADB，2 分所以112222SBC ha，则2 2a 4 分（2）因为 AD 是BAC的角平分线，所以BADDAC，设BAD
13、DAC，则4ADBDACC 在ABD中，因为2ABAD，所以4BADB，6 分由内角和定理，2342BADBBAD，所以68 分在ABC中，由正弦定理得sinsinacBACC，则2sin 2sin66sinsin4cBACaC10 分18（1）证明：如图，取 BD 中点 O，连接 OA，OP因为四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，60BAD，所以ABD、PBD是边长为 2 的正三角形，因为 O 是 BD 中点，所以OABDOPBD，2 分因为12,12PDODBD，所以223OPPDOD，同理可得3OA，因为6PA，所以222OPOAPA，则OPOA，由二面角定义可得平面PBD 平面 A
14、BD5 分或：又因为OPBD，,OA BD平面 ABD，OABDO，所以OP 平面 ABD，因为OPPBD，所以平面PBD 平面 ABD5 分（2）以,OA OB OP 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则(0,0,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(0,0,3)OABDP，(3,1,0),(3,0,3),(0,1,3)ABAPDP ，7 分设平面 PAD 的一个法向量为(,)nx y z，由nAPnDP 得(,)(3,0,3)330(,)(0,1,3)30n APx y zxzn DPx y zyz ，令1x 得3,1yz，则(1,3,1)n，10 分设直
15、线 AB 与平面 PAD 所成的角为，则|(1,3,1)(3,1,0)15sin|cos,|5|131310n ABn ABnAB 所以直线 AB 与平面 PAD 所成角的正弦值为15512 分注：第二问用等积法、综合法等方法解答同样给分19（1）因为2()2lnf xaxx，所以2212()2,0axfxaxxxx1 分当0a 时，()0,()fxf x在(0,)单调递减；3 分当0a 时，由()0fx得10 xa，由()0fx得1xa，所以()f x在10,a上单调递减，在1,a上单调递增综上，当0a 时，()f x在(0,)单调递减；当0a 时，()f x在10,a上单调递减，在1,a上
16、单调递增6 分（2）当0a 时，min 1()ln1f xfaa，要证明1()2f xa，只要证1ln12aa，即证1ln10aa，8 分设1()ln1,0aaaa，则22111()aaaaa，令()0a得1a，列表得a(0,1)1(1,)()a0()a极小值所以()(1)0a，即1ln10aa，所以1()2f xa.12 分20（1）设等差数列 na的首项为1a，公差为 d，11 分则51714972149aadSad，所以112ad，所以1(1)221nann 3 分因为11nnTb，当1n 时，1121bTb，则22b，所以212bb；4 分当2n 时，11111nnnnnnnbTTbb
17、bb，所以12nnbb，则 nb构成首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以12nnb（2）因为221(21)2nnnnancb，所以1239251,24ccc，7 分当3n 时，22211(21)(21)4121222nnnnnnnnncc，因为2234121482nnn 在3n 时单调递减，所以2412110nn ，所以，当3n 时，10nncc，即1nncc，所以12345ccccc，11 分所以数列 nc的最大项为3254c 12 分注：第二问解方程组11nnnncccc得352,222n，结合*nN得最大项为3254c 同样给分21（1）因为每个箱子中放入的奖品个数满足()(1,2,
18、3,4,5)Pnk nn，所以(1 2 3 4 5)1k ，则115k，所以的概率分布为：12345P11521515415132 分设事件 A 为甲能从 1 号箱子中取走一个奖品，则413()(3)(4)(5)1535P APPP，所以甲能从 1 号箱子中取走一个奖品的概率为354 分（2）0,1,2,3,4X，因为甲能从每个箱子中取走一个奖品的概率为35，所以34,5XB，所以4432()55kkkP XkC ，0,1,2,3,4k，X 的概率分布为：X01234P1662596625216625216625816258 分所以 X 的数学期望为16962162168112()012346
19、256256256256255E X 或312()455E X 9 分（3）乙能从箱子中取到奖品必须箱子中最初有 5 个奖品，即乙能从每个箱子中取走一个奖品的概率为1(5)3pP，所以14,3YB，所以 Y 的数学期望为14()433E Y 12 分22（1）因为0b 所以2(),()2,()2xxxf xeaxfxeax fxea，令()0fx得ln 2xa，则()f x在(,ln2)a上单调递减，在(ln2,)a 上单调递增，所以()(ln2)2(1 ln2)fxfaaa当1ln 20a，即e02a时，()0,()fxf x在(,)上单调递增，因为11(0)10,e10affa，所以1,0
20、ta 使得()0f t，所以()|()|g xf x在(,)t上单调递减，在(,)t 上单调递增，所以()g x仅有一个极小值点xt，不合题意2 分当1ln 20a，即e2a 时，(ln2)0fa设ln(),exxxx，则21 ln()0 xxx，所以()x在(e,)上单调递减，则1()(1)xe当ex时，ln1()1exxx，所以lnxx，因为2ea，所以2ln 2aa，则0ln 22aa；当ex时，ln11()e2xxx，所以22lnlnxxx，则2exx，所以22(2)e(2)0afaa因为(0)10,(ln2)0,()ffafx 在(,ln2)a上单调递减，在(ln2,)a 上单调递增
21、，所以12(0,ln 2),(ln 2,2)xaxaa，使 120fxfx，所以()f x在1,x上单调递增，12,x x上单调递减，2,x 上单调递增4 分因为1(1)0,(0)10,()|()|efafg xf x 有两个极小值点，所以3(1,0)x 为()g x的极小值点，且2222222e0e20 xxf xaxfxax时，2x为()g x的极小值点，所以22222220axaxaxx，即22x，则2(2)e40fa，所以2ee24a，此时，()g x在3,x上单调递减，31,x x上单调递增，12,x x上单调递减，2,x 上单调递增，所以，在3xx及2xx处取得极小值，实数 a 的
22、取值范围是2e e,246 分（2）因为1b，所以 12222121212()e,ee2,0 xxxf xaxx f xf xa xxxxa则122121212ee22xxaxxx xxx，即1221 21212ee22xxax xa xxxx，因为1212212212ee2e,222xxxxxxax xa，则1222212121222e2xxaa xxxxxx，8 分令12txx，则222e202tatt，令22()2e2,02tag ttta，则11221()e1,()e02g tatgta，所以()g t在(,)单调递增，因为12e10,(0)20agga，所以02,0 xa使得00g x，所以()g t在0,x单调递减，0,x 单调递增，10 分又22442(0)0,2e22 e10aaggaaa，所以40ta，即1240 xxa12 分