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1、江苏省扬州中学江苏省扬州中学20232024 学年度学年度第一学期开学检测第一学期开学检测高 三 数高 三 数 学学一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)1已知集合2160Ax x，2430Bx xx，则AB（）A4,4B1,3C4,13,4D1,23,42若0 x，则22xx的最小值为（）A14B12C1D23函数2()lnf xxx的零点所在的区间是（）A(1,2)B(2,e)C(e,3)D(3,)4若函数o(s)cfaxxx在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（）A1,B,1C1,D,1 5函数cosln|2si(
2、)nxxfxxx在,0)(0,x 的图象大致为（）ABCD6若2222log2log1abab，则（）Aln(21)0baBln(21)0baCln|2|0abDln|2|0ab7 已知函数()f x的定义城为 R，且满足()()fxf x，0()(4)ffxx，且当0,2x时，2()4f xx，则(2023)f（）A3B4C3D48若可导函数()f x是定义在 R 上的奇函数，当0 x 时，有1ln()()0 x fxf xx，则不等式(2)0()xf x的解集为（）A2,0B0,2C2,2D2,二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合
3、题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分)9下面命题正确的是（）A“1a”是“1a”的充要条件B“1a”是“11a”的充分不必要条件C“0a”是“0ab”的必要不充分条件D“2x 且2y”是“224xy”的必要不充分条件10下列命题中正确的是（）A2254xx的最小值是 2B当1x 时，11xx的最小值是 3C当010 x时，10 xx的最大值是 5D若正数 x，y 满足213xy，则2xy的最小值为 311 已知函数221,0()log,0 xtxxf xx x，下列关于函数()1yff x的零点个数的说法中，正确的是（）A当1t，有 1 个零点B当2t 时，有
4、 3 个零点C当01t，有 2 个零点D当4t 时，有 7 个零点12已知函数()f x及其导函数()fx满足2)()()ln1(x fxf xxx，且0(1)f，则下列说法正确的是（）A()f xx在0,1上有极小值B()f xx的最小值为1C()f x在1,上单调递增D()f x的最小值为12e三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13函数2()3log1f xxx，则()f x定义域是14已知关于x的不等式220 xaxb的解集为(1,2)，则ab.15若曲线(1)exyx过点(,0)P a的切线有且仅有两条，则实数 a 的取值范围是.16已知函数21()ln12
5、f xxa x，当20a，对任意12,1,2x x，不等式121211()()f xf xmxx恒成立，则实数m的最小值为四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分 10 分）计算：(1)210323195274；(2)5log 3333322log 2loglog 85918（本小题满分 12 分）已知函数11()22xxf xa是定义域为 R 的偶函数(1)求实数a的值；(2)若对任意xR，都有231()kf xk成立，求实数 k 的取值范围19（本小题满分 12 分）已知集合2|Ax axa，4|01xBxx，命题:p xA
6、，命题:q xB(1)若1A，求实数a的取值范围；(2)若A，且p是q的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围20（本小题满分 12 分）已知函数2()lnf xxxx.(1)求函数()yf x的单调区间；(2)证明：对任意的20()e2xxf xxx，21（本小题满分 12 分）已知函数3211()326mf xxxx(1)若()f x在1(,2)2上存在单调减区间，求实数m的取值范围；(2)若()f x在区间(,)m 上有极小值，求实数m的取值范围22（本小题满分 12 分）已知函数22()(1)lnf xxxxax(1)若1a，求()fx的最小值；(2)若方程22()eaxf xaxx有
7、解，求实数 a 的取值范围高三数学参考答案1C2D3B4A5D6B7A8B9BC10BCD11ABD12ACD131,1416151a 或5a 1612【11 详解】令0y，则 1ff x，设()f xt，则 1ff x 等价于()1f t ，对于 A，当1t 时，作出函数()f x的图象如图：由图象可知()1f t 有一个根12t，则对于1()2f x，由图，共有 1 个解，A 正确；对于 B，当2t 时，2221,0log,0 xxxf xx x，作出函数()f x的图象如图：由图象可知()1f t 有一个根12t，则对于1()2f x，由图，共有 3 个解，B 正确；对于 C，当10t
8、时，分析同 A，函数 1yff x有 1 个零点，C 错误；对于 D，当4t 时，2241,0log,0 xxxf xx x，作出函数()f x的图象如图：由图象可知()1f t 有 3 个根，12t 或22t ，则对于1()2f x，由图，共有 3 个解；对于()22f x ，由图，共 3 个解；对于()22f x ，由图，共 1 个解，故此时函数 1yff x有 7 个零点，D 正确；【12 详解】因为函数 f x及其导函数 fx满足 2ln1xfxf xxx，则 2ln1xfxf xxx，即 ln1lnf xxxxx，令()lnf xg xxxcx（c为常数），所以，2lnf xxxcx
9、，因为 100fc，可得0c，所以，2lnf xxx，()lng xxx对于 A 选项，易得1ex 时达到极小值；A 对对于 B 选项，min11eeg xg，B 错；对于 C 选项，当1x 时，2 ln2ln10fxxxxxx，所以 f x在1,上单调递增，C 对；对于 D 选项，2ln1fxxx，令 0fx，可得1ex，当10ex时，0fx，此时 f x单调递减，当1ex 时，0fx，此时 f x单调递增，所以，min1111lne2eeef xf，D 对.【15 详解】2 exyx，设切点,1 ett t，则切线的斜率为2 etkt，故切线方程为22 e1 ettytxtt ，取xa，0
10、y 代入，得221e0ta ttt ，e0t，21210tata 有两个不等实根，故2214 21650aaaa，解之，得1a 或5a ，【16 详解】因为20a，函数 f x在1,2上单调递增，不妨设1212xx，则121211f xf xmxx，可化为2121mmf xf xxx，设 21ln12mmh xf xxa xxx，则 12h xh x，所以 h x为1,2上的减函数，即 20amh xxxx在1,2上恒成立，等价于3mxax在1,2上恒成立，设 3g xxax，所以max()mg x，因20a，所以 30gxxa，所以函数 g x在1,2上是增函数，所以 max()28212g
11、 xga（当且仅当2a 时等号成立）所以12m.17（1）210323195274122341279 1222332133 21973.（2）5log 3333322log 2loglog 85933332log 4loglog 839332log4 839 3log 93231.18【详解】（1）由偶函数定义知：fxf x，即11222 222 22xxxxxxaaa，(2)(22)0 xxa对x R成立，2a.（2）由（1）得：2 22xxf x；20 x，2 224 224xxxx，当且仅当22xx即0 x 时等号成立，min4f x，2314kk，即(31)(1)0kkk，解得：0k
12、或113k，综上，实数k的取值范围为1,0,13.19【详解】（1）2Ax axa，且1A，21aa，解得1a .即实数a的取值范围是,1.（2）2,Aaa ，得0a 或1a，由401xx，得14x，14Bxx，p是q的充分不必要条件，A是B的真子集，所以214aa（等号不能同时取得），解得12a，又0a 或1a，所以12a.实数a的取值范围是1,2.20【详解】（1）由题可知函数 f x的定义域为 20,lnf xxxx?t?t?t?t?令?得:?t；令?得:?t所以，f x在10,2上单调递减，1,2上单调递增.（2）要证明 2e2xf xxx，只需证明：eln20 xx，解法一：解法一：
13、证明eln11xxxx和，再说明等号不同时取到。解法二：解法二：令 1eln2,exxg xxgxx，设 1exh xx，21e0 xh xx，即 gx单调递增，又1e202g，1e10g，函数 gx有唯一的零点000 xx 且01x，满足001e0 xx，当x变化时，gx与 g x的变化情况如下，x00,x0 x0,x gx0 g x极小值所以0min00001()eln22xg xg xxxx，因为000011220 xxxx2，01x，所以不取等号，即00120 xx，即min()0g x恒成立，所以，eln20 xx恒成立，所以，对 20,e2xxf xxx 成立.21【详解】（1）3
14、211()326mf xxxx，2()1fxxmx，由题可知，()0fx，即210 xmx 在1(,2)2上有解，即1mxx在1(,2)2上有解1yxx在1(,2)2上递减，31322xx，32m，故实数m的取值范围是32m.（2）由()0fx，即210 xmx，解得221244,22mmmmxx，当1xx或2xx时，()0fx，当12xxx时，()0fx，()f x在12(,),(,)xx上递增，在12(,)x x上递减，()f x在2xx处取得极小值，242mmm，即243mm，当0m 时，不等式成立：当0m 时，解得202m，综上，22m.22【详解】（1）当1a 时，221 lnf x
15、xxxx，12 ln1fxx xxx，设 g xfx，则 2112lngxxx，gx在0,上单调递增，且 10g，0,1x时，0gx，fx单调递减，1,x时，0gx，fx单调递增，min11fxf；（2）22eaxf xaxx即2221 ln2e1axxxax，即22221 lne1 lneaxaxxx，设 1 ln0h xxx x，则22eaxh xh，1ln1h xxx，设 1ln10m xxxx，则 21xm xx，所以0,1x时，0m x，m x单调递减，1,x时，0m x，m x单调递增，所以 120m xm，即 0h x，h x在0,上单调递增，所以方程 22eaxf xaxx有解即22eaxx 在0,上有解，22lnaxx有解，即ln xax有解，设 ln0 xn xxx，则 21ln xn xx，0,ex时，0n x，n x单调递增，e,x时，0n x，n x单调递减，所以 1een xn，所以1ea，即实数 a 的取值范围是1,e