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1、第七章第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中应用蒙特卡罗方法在积分计算中应用1.蒙特卡罗方法求积分蒙特卡罗方法求积分2.主要抽样主要抽样3.俄国轮盘赌和分裂俄国轮盘赌和分裂4.半解析方法半解析方法5.系统抽样系统抽样6.分层抽样分层抽样第1页第七章第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中应用蒙特卡罗方法在积分计算中应用计算多重积分是蒙特卡罗方法主要应用领域之一。本章着重介绍计算定积分蒙特卡罗方法各种基本技巧，而这些技巧在粒子输运问题中也是适用。第2页1.蒙特卡罗方法求积分蒙特卡罗方法求积分 蒙特卡罗方法求积分普通规则以下：任何一个积分，都可看作某个随机变量期望值，所以，能够用这个随机变量平均值来近似它。第3
2、页 设欲求积分其中，PP(x1，x2，xs)表示 s 维空间点，Vs表示积分区域。取Vs上任一联合概率密度函数 f(P)，令则即是随机变量 g(P)数学期望，P分布密度函数为 f(P)。现从 f(P)中抽取随机向量 P N 个样本：Pi，i1，2，N，则就是近似预计。第4页2.主要抽样主要抽样1)偏倚抽样和权重因子 取Vs上任一联合概率密度函数 f1(P)，令则有现从 f1(P)中抽样 N 个点：Pi，i1，2，N，则就是又一个无偏预计。第5页2)主要抽样和零方差技巧 要使 最小，就是使泛函If1 极小。利用变分原理，能够得到最优 f1(P)为 第6页尤其地，当 g(P)0 时，有这时即 g1
3、方差为零。实际上，这时有不论那种情况，我们称从最优分布 fl(P)抽样为主要抽样，称函数|g(P)|为主要函数。第7页3.俄国轮盘赌和分裂俄国轮盘赌和分裂1)分裂设整数 n1，令则于是计算问题，可化为计算 n 个i 和来得到，而每个 gi(P)为原来预计 g(P)1/n，这就是分裂技巧。第8页2)俄国轮盘赌令 0 q1，则于是变为一个两点分布随机变量期望值，特征为：这么就能够经过模拟这个概率模型来得到，这就是俄国轮盘赌。第9页3)主要区域和不主要区域 我们往往称对积分贡献大积分区域为主要区域，或感兴趣区域；称对积分贡献小区域为不主要区域，或不感兴趣区域。考虑二重积分令R是V2上 x 积分区域，
4、表为 RR1+R2，其中R1是主要区域，R2是不主要区域，二者互不相交。又命Q为V2上对应于 y 积分区域。则第10页 通常蒙特卡罗方法，由f(x,y)抽样(x,y)步骤是：从 fl(x)中抽取 xi，再由 f2(y|xi)中抽样确定 yi，然后用作为一个无偏预计。现在，改变抽样方案以下：(1)当xR1时，定义一个整数n(xi)1，对一个xi，抽取(2)n(xi)个yij，j1，2，n(xi)。以平均值(3)代替上述预计式中 g(yi,xi)。第11页(2)当 xR2时，定义一个函数q(xi)，0 q(xi)1，(3)以抽样值代替上述预计式中 g(yi,xi)。这里是随机数。显然，这种抽样预计
5、技巧，就是对 xR1时，利用分裂技巧，而对 xR2时，利用俄国轮盘赌，而使预计期望值不变。因为对主要区域多抽样，对不主要区域少观察，所以能使预计有效性增高。第12页4.半解析（数值）方法半解析（数值）方法考虑二重积分令则x为无偏预计。第13页x 方差为 而由 f(x,y)抽样(x,y)，用 g(x,y)作为预计，其方差为第14页5.系统抽样系统抽样我们知道，由f(x,y)抽样(x,y)步骤是：从 fl(x)中抽取 xi，再由 f2(y|xi)中抽样确定 yi，现在改变 xi 抽样方法以下：第15页 yi 抽样方法不变。其方差为与通常蒙特卡罗方法相比，方差降低了约第16页6.分层抽样分层抽样考虑积分在（0，1）间插入J1个点00 1 J-1 J1令第17页则有现在，用蒙特卡罗方法计算j，对每个j 利用 fj(x)中nj 个样本xij，那么有第18页第19页