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1、2022年 上 海 高 考 数 学 模 拟 卷（一）注意事项：1.本试卷共有2 1道试题，满 分15 0分，考试时间12 0分钟；2 .本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；3 .在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题.一、填 空 题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设集合M=0,2 ,N=l,a ,若M卫N,则实数.【答案】0或22 .已知i为虚数单位，若复数z =丁 二，则|z|=.【答案】|X3 .不 等 式-2的解集是.3 x-22 4【答案】4 .ax+2y=3若方程组4
2、c-c 无解，则实数。=_ _ _ _ _ 2x+ay2【答案】25.从总体中抽取6个样本：4,5,6,10,7,4,则 总 体 方 差 的 点 估 计 值 为.【答案】5.22 16 .若数列 ,的前项和为S“=-a +-（e N*）,则数列 4 的通项公式是【答案】（-2）-7 .二项式（近-白 式 的 常 数 项 为 （用具体数值表示）.【答案】5 0 0 58 .小明给朋友发拼手气红包，1毛钱分成三份（不定额数，每份是1分的正整数倍），若这三个红包被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲同学抢到5分 钱 的 概 率 为.【答 案 吗9.x如图，尸为双曲线方a-2=1 e a0)的右焦点，过户作直
3、线/与 圆/+切于点/，与双曲线交于点P,且 M 恰为线段PE 的中点，则 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 是.【答案】y=2 x【解析】解：设左焦点为，由题设知，|尸尸|=2，|尸耳|=4 ，ZFtPF=90,:A6a2+4a2=4c2,c=y/5a,：.b=2a,双曲线的渐近线方程是丁=2 工.故答案为：y=2x.1。.函数/。)=8如+2 。)树。,加内的值域为T ,，则。的取值范围是.【答案】6,【解析】解：因为X GO ,7T,所以 5 +工 工,C D 7 V 4-,4 4 4TT由函数f(x)=8 s(r +)(0 0)在 0 ,乃 内的值域为-1 4则成瓢Z W +二,4
4、4所以3 殁如43，4 23 3故答案为：叮，1 11.有 分-段 一函”，数 叼f23 s，i_n3 2,x、,A;,00，将函数y=l/(x)/(a)l,x E m,用的最大值记作 Z”?，n ,那么当-2 强物2 时，Z2m,机+4的取值范围是【答案】4,6 0【解析】解：由&)=：吗，：，得/=1,2-3,X U作出函数/。)的图象如图所示：当-2强 M-1 时，(X)-1|.“=|(-3)-1|=4;当机-1 时，?+43,2,+4-3-1 =2,+4-4 4 ,.,.当 一 1 肛,2 时,Za m,m+4 =2*-4,则Z J/M,?+4 的最大值为26-4=60.故ZJ/M,?
5、+4 的取值范围是 4,601.故答案为：4,60.12.已知向量a,6 满 足|a|=3,g|=1 ,若存在不同的实数4，友(4办#0),使得q=4a+3妨,且(c,-a)(q-6)=0(/=1,2),则|c(-c,|的 取 值 范 围 是.【答案】2,2直)5 2 日2扬【解析解：设 OA=a,OB=b,G=4+34匕 =OG,c2=4+34b=OC2,G=4+34匕,且I|=3,屹 1=1,G，G 在 4 0 8 的角平分线上，(ci-a)-(ci-b)=0,(=1,2),/.AC；_L BC；,AC2 1 BC2,c,G 在以AB为直径的圆/上,故G，g 为 NAO8的角平分线与圆/的
6、交点.不妨设 A(3,0),仅cos a,sin e),r r4 4 工0,圆/不经过原点O,，一)a 笈且a w,2则 NAOB的角平分线方程为：y=tanx,/(+-co sa,-s in a),2 2 2 2设圆/的半径为 R,则 4/?2=AB2=(cosa-3)2+sin2cr=10-6cosa,.R?_ 5-3cosa-2，设/到直线G G 的距离为d，则d=1 -cos a.-+11 +cosa,3 a.a a 1 a 1 .,a,-tan+sincos-tan-sma tan 2 2 2 2 2 2 2 2故|C C|=2yjR2-d2=2 j2-c o sa ,-7t a ,
7、且 a#+,/.2,2172-cos a 0,贝是x+q.2 恒成立”的(XA.充分不必要）条件.B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】Aan+-h+214.已知0 a 。，若 hm-=25,贝 ij（）.f 8 a _ bA.u 25B.ex 5C.b=-25D.h 5【答案】D7T15.已知函数/（x）=asinx-Zcosx（a、b为常数。（），xeR）在=一处取得最小值，4则 函 数 是（）31A.偶函数，且图像关于点（肛0）对称 B.偶函数，且图像关于点（万,0）对称37rC.奇函数，且图像关于点（-,0）对称 D.奇函数，且图像关于点（肛0）对称【答案】B16.已
8、知数列%,%,以 下 两 个 命 题:若%+,。+也,%+%,则%,也 ,都是递增数列，则都是递增数列；若6,+2 ,也+%,4+%都是等差数列，则4+，,也“+%,%+%都是等差数列，下列判断正确的是（）A.都是真命题 B.都是假命题C.是真命题，是假命题 D.是假命题，是真命题【答案】D三、解 答 题（本大题共有5 题，满分20分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.如图，正四棱锥P-ABCD中.（1）求证：平面R4C;（2）若AB=2,半，求二面角A-依-C的余弦值.【答案】（1）因为一ABCD是正棱锥，所以P在平面A8CO内射影是A C与8 D的交点。，即 PO_L
9、平面 A B C O,所以 PO_LBD,又因为BD_LAC,P O与AC在平面PAC内相交，所以3_L平面P 4C。（2）VP_X B C D=|X22X|P O|=,P O|=72,1 P B|=2,则M A B与APBC均为边长是2的正三角形，取 中 点E,连接AE,CE,则A E P B,C E P B,所以NAEC是二面角A依 一。的平面角，cos Z.AEC_ _ 3 _ _+_ _3_-_ _8 _ _2 x 7 3 x 7 3 -31 8.已知/(x)=6 s in O).(i)若y =/(x+e)(o e x+3c o s cox=2退s in(wx +),-2国财x+/+g
10、,y =/(x+6)是周期为4的偶函数，、“冗 冗 ，71 4万、.0 =2,2。4 =kTl4-G(一,),3 2 3 3:.k=G,0=.1 2(2)g(x)=/(3x)=2 6 s i n(3 s +g(_g,)上是增函数,.由 2人 左 一 生 轰 曲y x +工 2k/r+(k e Z),0 得：2 3 22k7t 2kn+-9效Jv-伏 eZ),33 3(o/(3x)=2 s in(3八 1厂.0 /3s in(ix +),/(3x)=2Gs in(2x +g).o o 3 2 3,.x e 0 ,幻，1 7T r7V 5%_,一%4-G 一,-,2 3 3 6,；轰 小 in(g
11、 x +g)1 .榴班s in d x +马.6 3当工 0,7r,/(3x)=2/3s in(x +y)G /3,27 3.1 9 .如 图，O M ,QV是某景区的两条道路（宽度忽略不计），其中OM为东西走向，Q 为景区内一景点，A为道路OM上一游客休息区.已知t a n Z M O N=-3,04=6 （百米），Q到直线O M,ON 的距离分别为3（百米），等（百米）.现新修一条自A经过Q 的直线型 观 光 车 轨 道 四（点 3 在 ON 上），并在B处修建一游客休息区.（1）求轨道AB的长；（2）已知在景点。的正北方6百米的尸处有一大型音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟.表演时，喷
12、泉喷洒区域是以为圆心，,为半径的圆心区域，且/分钟时，r=2疝（百米）（喷才9,0。1）.当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B沿轨道B A 以 近（百米/分钟）的速度开往休息区A .试判断观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到？并说明理由.【答案】（1）以点。为坐标原点，直线为x 轴，过。作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系由题设得A（6,0）,直线ON 的方程为y =-3x,Q（x,3）,（x00）,13x0+31 6V TO&刀，曰 .由一=-,解传%=3,2（3,3）,二直线AQ 的方程为y =-（x-6）,由二;得x=y=3,A B(-3,9),.J A B|=J(-3
13、-6)2+9?=90 .(2)将喷泉记为圆尸，由题意得P(3,9),生成f 分钟时，观光车在线段AB上的点C处,则 BC=-j2t,斓 9 ,/.C(-3+t,9-t),若喷泉不会洒到观光车上，则P C?/对，引0,9 恒成立,即 P C2=(6-1)2+/=2/-12r +3 6 4m ,当，=0 时，上式成立,当 r e(0,9)时，2 1 时，sgn(1-a)=-l,/.1 +2(1 a),0,当 q,l 时，l-2(l-a)0,2a综上所求，实数4 的取值集合为。|“京 g U k (2)当 a=l 时，g(x)=f (x)-kx=x2-2x(x2-l).5gw(x2-)-k x.当
14、x e(2,-1J 时，sgn(x2-1)=1,/.g(x)=x2-2x(x2-l)-fcr =-2x3+x2+2x-kx=x(-2x2+x+2-k),方程_2犬+*+2_ 左=0 在(-2,T 上有唯一解，即_2W+x+2=/在(-2,T 上有唯一解，.,.函数y=与丁=-2x2+x+2 在(-2,T 上有唯一交点；当 XW(-1,0)时，S g(x2 _)=_ ,g(x)=x2+2x(x2-1)-fcv=2x3+x2-2x-kx=x(2x2+x-2-k),方程2 f+x-2-左=0 在(-1,0)上有唯一解，即2 f+x 2=A在(-1,0)上有唯一解，二函数y=与y=2/+x-2 在(一
15、 1,0)上有唯一交点，画出函数)=-2彳 2+*+2 在(-2,-1 上和函数、=2/+X-2 在(一 1,0)上的图象，如图所示：函数、=幺与这两个函数在(-2,0)上只有一个交点，A:=lng-8 *-,O17的取值集合为：伙|-8%-不 切 1.(3)首先，由最大值的定义可知必有/(1)/(0),从 而 由(1)并结合。是正数知,1 3。(。，万 11 5，内)；其次，围绕（1）在xeO,1时恒成立及Sg（x?-a）的 值（也就是炉-。的正负）展开思考与讨论，当 a e-,+o o)时，x2-0 ,sgn(x2-a)=l,由 /(x).f(1)恒成立，得 26,2x2+%+1,可见。(
16、0,9 均符合要求，22 若 x e 0,&),则 V-a v O ,sg”，a)=-1,由 (1 )恒 成 立，得-3 2 c c an 2d+工?+1(X 4-1)(2%2 X+1)a 9 ,2x3+X2 20r.2a 1 ,即 2 ,-=-,即 2a,2 f x+1,x+1 x+1i 7C D =2x2-x+l,则 69=2(x-)2+,若!(),&)即o4,则2q,2 一&+1,这时的a 均符合题意，4 16若;e 0,&)即启 6,彳，则。而=?，故 2q,不，得：。，所以数列%单调递增.再 证“必要性”：假设存在*w N*使得4为偶数，则4 句=?4,与数列%单调递增矛盾，因此数列
17、 4 中的所有项都是奇数，此时4+i=a“+机，即m =+1-%,所以机为偶数.(3)存 在 满 足 4=1 ,理由如下：1 +m因为4 =1 ,，”为奇数，所以“2 =1 +以，2 机且电为偶数，4 =-假设4.为奇数时，外,?；，.为偶数时，%,、2m.当4.为奇数时，4+i =ak+2m,且ak+l为偶数；当.为偶数时,aM=y m .所以若ak+l为奇数，则%+|m;若一 为偶数,则ak+t 2m.因此对任意的 e N*都有%,2m,所以正整数数列“中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项.设集合 A =(r,s)1 az.=4,厂 1 且4=%&？时，4 T =%一切，=aS i-m,所以-所以若4 1,则且4 一1彳，与可是B 中的最小元素矛盾.所以彳=1,且存在14满 足%=q=1,即 存 在 满 足%=1.