《2021年中考数学复习之突破训练《八：特殊三角形》解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年中考数学复习之突破训练《八：特殊三角形》解析.pdf（75页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年中考数学复习之专题突破训练 专题八：特殊三角形参考答案与试题解析一、选择题1.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A.5,6,7 B.1,4,8 C.5,12,13 D.5,11,12【答案】C【考点】勾股数【专题】计算题【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.【解答】解：A、因为5 2+6/7 2,所以不能组成直角三角形；B、因为+42/8。所以不能组成直角三角形；C、因为父+12?=132,所以能组成直角三角形；D、因为父+112工122,所以不能组成直角三角形.故选：C .【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用.
2、判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.2.己知等腰三角形的两边长分别为6c m、3 c m,则该等腰三角形的周长是（）A.9 cm B.1 2 cm C.12c m 或 15c M i D.1 5cm【考点】K 6：三角形三边关系：K H：等腰三角形的性质【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3c m 和 6c z,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.【解答】解：当 腰 为 时，3+3=6,不能构成三角形，因此这种情况不成立.当腰为6c 机时，6-3 6 _LAB 于。，且 E 是 AC 的中点
3、.若 AD=6,DE=5,【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KQ：勾股定理【分析】先根据直角三角形的性质求出AC的长，再根据勾股定理即可得出结论.【解答】解：.AA8C中，COLA8于。，：.ZADC=90.E是AC的中点，DE=5,AC=2DE=10.,/AD-6,：.CD=VAC2-AD2=Vio2-62=8.故选：D.【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键.11.如图，锐角三角形ABC中，直线/为BC的中垂线，直线机为NABC的角平分线，/与“ZA C P =24,则/4 既是(C.32D.36)【考点】K7 ：三角
4、形内角和定理；K G；线段垂直平分线的性质【分析】根 据 角 平 分 线 定 义 求 出=根据线段的垂直平分线性质得出BP=CP,求出=根据三角形内角和定理得出方程3乙48尸+24。+60。=180。，求出方程的解即可.【解答】解：.族 平分NA8C,4A B p =2 C B P ,.直线/是线段BC的垂直平分线,B P =C P ,NC B P =NB C P ,NA B P =Z C B P =NB C P ,NA+ZACB+ZA B C=180,NA=60,ZA C P =24,3 NA B P+24+60=180,解得：ZA B P =3 2 .故选：C .【点评】本题考查了三角形内
5、角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用,能求出NA8P=NC8P=NBCP是解此题的关键，数形结合思想的应用.1 2.如图，在 AA8C 中，A B =A C,Z B=30,A D A B,交 8 c 于点。，A D =4,则 8 c的长为（）AA.8 B.4 C.12 D.6【考点】K H z 等腰三角形的性质；KO：含 30度角的直角三角形【专题】552：三角形（分析 由等腰三角形的性质得出/B =NC=30,ZBAD=90；易证得ZDAC=NC=30,即CO=4.RtAABD中，根据30角所对直角边等于斜边的一半，可求得BD=2AD=8；由此可求得8 C 的长.【解答】解：
6、.A8=AC,ZB=ZC=30,-A B A D,8=2N）=2x4=8,N5+NAO5=90。,ZADB=60,/ZADB=ZDAC+ZC=60,/.ZDAC=30,ZDAC=ZC,.DC=AD=4BC=BD+DC=8+4=12,故选：C.【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含30。角的直角三角形的性质;熟练掌握等腰三角形的性质，求出8。和 CO的长度是解决问题的关键.1 3.如图，直 线/，等腰RtAABC的直角顶点。在4 上，顶点A 在4 上，若 N =14。，C.30D.59【考点】JA：平行线的性质；KW：等腰直角三角形【分析】首先过点8 作 BE/%,可得B E/
7、%/生,然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案.【解答】解：过点B作BE/4 ,I,Hl2,:.BEHl,/l2,:.ZCBE=Z a ,AEBA=Z/?=14,vAABC是等腰直角三角形，NABC=45,Na=NCBE=ZABC-NEBA=31.【点评】此题考查了平行线的性质.此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用.14.如图，已知A 48c中，AB=3,AC=5,BC=7,在 I B C 所在平面内一条直线，将 AABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3 的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A.2 条 B.3 条 C.4 条 D.5 条【答
8、案】C【考点】等腰三角形的判定【专题】三角形【分析】根据等腰三角形的性质分别利用4?为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可.【解答】解：如图所示，当 A8=A尸=3,RA=BD=3,AB=AE=3,8G=AG时，都能得到符合题意的等腰三角形.【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识，正确利用图形分类讨论得出等腰三角形是解题关键.B.Z290,C D 1 AB,垂足是。，则图中与NA相等的角是（）C.D.Zl N2和【考点】K N：直角三角形的性质【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，以及同角的余角相等即可判断.【解答】解：NACB=90。，即 Nl+N2=90。，又.,直角 AAC。中，N
9、A+N1=9O。，：.ZA=Z2.故选：B.【点评】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余，以及余角的性质：同角的余角相等.1 6.如图，N 8、N C的平分线相交于尸，过点尸作D E/B C,交 Afi于。，交 4 C 于 ,那么下列结论正确的是 M D F、ACE尸都是等腰三角形；D E =B D +CE；A4DE的周长为AB+AC；BD=CE.()A.B.C.D.【答案】C【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；角平分线的定义【专题】证明题【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质.【解答】解：O E/B C,ZDFB=a
10、 FBC,NEFC=ZFCB,.B户是NA8C的平分线，C F是 NAC8的平分线，ZFBC=NDFB,NFCE=NFCB,ZDBF=ZDFB,NEFC=NECF,AFEC都是等腰三角形.:.DF=DB,FE=EC,即有。E=O尸 +FE=D8+EC,.MDE 的周长 AO+AE+OE=AZ）+AE+OB+EC=AB+AC.故选：C.【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质：题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键.17.如图，一副三角板叠在一起,最小锐角的顶点。恰好放在等腰直角三角板的斜边4 5 上，AC与。交
11、于 点 如 果 N8O尸=105。，则 4 4AQ的度数为（）A.80 B.85 C.90 D.95【考点】KW：等腰直角三角形【专题】67：推理能力；554：等腰三角形与直角三角形【分析】根据题意和三角板的角的度数，可以求得/A M D 的度数，本题得以解决.【解答】解：ZBDF=105,NADF+NF8=180,NEDA=75,v ZFDM=30,ZFDM+ZMDA=ZFDA,/.ZMDA=45,ZA=45,ZAMD=180-ZMDA-NA=90,故选：C.【点评】本题考查等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.1 8.下列条件中，不能判定AABC是等腰三角形的是
12、（）A.。=3,b=3,c=4 B.a:b:c=2:3:4C.ZB=50,ZC=80 D.ZA:ZB:ZC=1:1:2【答案】B【考点】等腰三角形的判定【分析】由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案.【解答】解：A s/ez=3,b=3,c=4,.ci b,M B C 是等腰三角形；B、：a:b:c=2:3:4:.a*b*c、.M A C不是等腰三角形；C、V ZB=50,ZC=80,NA=180。-N3-NC=50。，:.ZA=Z B,AC=BC,.AABC是等腰三角形；D、NA:N 5:NC=1:1:2,NA=NB,/.AC=BC 9 .AA8C是等腰三角形.故选：B.【点
13、评】此题考查了等腰三角形的判定.此题比较简单，注意掌握等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理是解题的关键.1 9.如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4 c m、3 cm 12 cm ,现有一长为1 6 c，的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分/?的取值范围为()A.3 h 于点。，可得A8=BG,。是 AG的中点，依据。E/BG,即可得出DE是 丛BG 的中位线，E F 是A48C的中位线,求得BG=2E=6,即可得到A8=6.【解答】解：如图，延长4),BC交于点G,.迎 平分NABC,Z.ABD=NGBD,;AD上B D于点、D,ZADB=NGDB=90,又 YBDUBD,A
14、ABD=AGBD(ASA),AB=BG,.)是 AG的中点,又；DEHBG,二 是 A 3的中点，F 是 AC的中点，是A4BG的中位线，所 是 AA8c的中位线，:.EF=-B C =2,2又 ；EF=2D F,：.D F ,/.DE=3 9.BG=2DE=6,AB=6,故选：B.【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造等腰三角形，利用三角形中位线定理进行推算.2 4.如图，一个 梯 子 长 2.5米，顶端A 靠在墙4 c 上，这时梯子下端8 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在Q E的位置上，测得瓦）长为0.9米，则梯子顶端A 下落
15、了（）【答案】B1.3米C.1.5 米D.2 米【考点】勾股定理的应用【专题】计算题【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和C E的长即可.【解答】解：在 RtAACB 中，AC=AB2-BC2=2.52-1.52=4,AC=2,：HD=0.9,CD=2.4.在 RtAECD 中，EC1=ED2-CD2=2.52-2.42=0.49,EC=0.7,AE=A C-E C =2-0.7=.3.故选：B.【点评】考查了勾股定理的应用，解答中此题中梯子的长度是不变的.熟练运用勾股定理是解答题目的关键.2 5.如图所示，在 RtAABC 中，ZACB=90,AC=
16、BC=4,CD_LA8 于）,尸是线段 CD上一个动点，以尸为直角顶点向下作等腰RtABPE,连结AE,D E,则 D E的最小值为（）A.1 B.2 C.夜 D.2夜【考点】KQ：勾股定理；KW：等腰直角三角形；J 4：垂线段最短【专题】11：计算题；554：等腰三角形与直角三角形【分析】当。EJ_隹 时，3 E 有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.【解答】解：.空=夜，=7 2,BC BPAB BE.-=,BC BP /ABE=AC BP,/.ABEC B P,NBAE=NBCP=45,/.ZBAE=ZCBA,AE/BC fE 点的运动轨迹为射线A E,.。最 短时，O E L
17、 A E时，即当。_LAE时，的有最小值，在 R3ABC 中，ZACB=90,AC=BC=4,AD=-A B =2j2,2 /D AE=45,是等腰直角三角形，:.D E =2,.OE的最小值是2.故选：B.【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键.2 6.如图，AA8C 中，ZABC=45,CQ _L AB 于。，BE 平分 N A B C,且 8E_LAC 于 E,与C。相交于点F,是B C边的中点，连接Z5H与3 E相交于点G,下列结论正确的有（）个.8户=4 C；AE=g BF;NA=67.5；A D G F是等腰三角形；S四
18、边 囱 凶 =鼠 边 形GHCE A.5个 B.2个 C.4个 D.3个【考点】K Y：三角形综合题【分析】只要证明ABDF=SCDA,B A C是等腰三角形，NDGF=ZD FG =67.5,即可判断正确，作GM _L8。于 只 要 证 明G H 力G即可判断错误.【解答】解：CO_L A 8,B E 1 A C ,NBDC=ZA D C=NAEB=90,NA+NABE=90,ZABE+NDFB=90,：.Z A=Z D F B,：Z.AHC=45,ZBD C=90,NDCB=90-45=45=ZD B C,BD=D C,在A B D F和ACD 4中NBDF=NCD4 S&G H B 9*
19、S/ABE SCE 9S四边形ADGE S|iq边形GCE 故错误,.正确,故选：C.DB H C【点评】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题.2 7.如图，在 A 4 8 C 中，B F 平分NA BC,人 尸 _ 1 8 尸于点尸，。为 A8的中点，连接。尸延长交AC于点E.若。尸=5,8 c =1 6,则线段痔的长为（）【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；K P：直角三角形斜边上的中线；K X：三角形中位线定理【专题】1 7：推理填空题【
20、分析】延长AF交 BC于 ，证明A A/话三A/话，得 到,=可，根据三角形中位线定理求出3、H C,根据三角形中位线定理计算即可.【解答】解：延长4F交 8 c于 ，在 A A/和中，ZB 尸=N H B FP是矩形.-.P D=P E,二矩形CEP是正方形.AADP=XCEP,S故D P=SACEP，S四 边 形 C E O =MPC=2 SMC=5乂5*2乂2=1故正确：如图，连接CP交。E于F,由知，ZOPE=90,V NACB=90,.,.点C,D,P,E是以。E为直径的圆上，当。E J.C P时，点C到线段O E的距离最大，为L cP,2在 RtAABC 中，CP=-A B =-x
21、2/2=V 22 2即 C Px&=E2 2 2故正确.综上所述：正确.故选：D.【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，通过推理论证每个命题的正误是解决此类题目的关键.3 0.如图，在 AABC中，ZACB=90,A C =B C =,E、/为线段AB上两动点，且Z E C F =45,过点E、尸分别作BC、A C 的垂线相交于点”，垂足分别为“、G .现有以下结论：45=及；当点E 与点8 重合时，M H=L 1+3E=EF；2【考点】K Y：三角形综合题【分析】由题意知，M B C
22、 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；如 图 1,当点E 与点3 重合时，点”与点3 重合，可得M G/B C ,四边形例GCB是矩形，进一步得到FG 是 AACB的中位线，从而作出判断；如图2所示，SAS可证=,根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；根据AA可证MCE-ABFC,根据相似三角形的性质可得A F V B F =A C C B C=1,由题意知四 边 形CHM G是 矩 形，再 根 据 平 行 线 的 性 质 和 等 量 代 换 得 到MGDW/Y=AEx-BF=-A E C B F =-A C C B C =-,依此即可作出判断.2 2 2 2 2【解答】解
23、：由题意知，是等腰直角三角形，A B =yl A C2+B C2=/2,故正确；如图1,当点E 与点8 重合时，点 H 与点8 重合,/.MB 1 BC,ZMBC=90,:M GLAC,NMGC=90=ZC=NMBC,A MG/IBC,四边形G C 8 是矩形,/.MH=MB=CG,v ZFCE=45=ZABC,ZA=ZACF=45,CF=AF=BF,FG 是AAC5的中位线，,GC=-A C =MH f 故正确；2如图2 所示,图2v AC=BC,ZACB=90,NA=N5=45.将 A C F 顺时针旋转90至bBCD,则 C尸二CO,Z1=Z 4,ZA=Z6=45；BD=AF；/Z2=4
24、5,Z1+Z3=Z3+Z4=45,/.NDCE=Z2.在AECF和E C D 中,CF=CD=-AB,2 A5=8,-.)E=-X8=4.2故答案为：4.【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，以及等角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图，准确找出图中相等的角是解题的关键.3 6.如图，在&4BC中，NABC和 NAC8的平分线交于点E,过点E 作 M N/8C 交 AB于M,交 A C于 N,若 BM+CN=1 0,则线段MN的 长 为 10.【考点】JA：平行线的性质；KJ：等腰三角形的判定与性质(分析先根据平行线的性质,得出NMEB=ZCBE,ZNEC=Z
25、BCE,再根据NABC和NACB的平分线交于点,得出NM8E=NEBC,NNCE=NBCE,最后根据腔=用8,NE=NC,求得M N的长即可.【解答】解：MN/BCZMEB=NCBE,NNEC=NBCE在AABC中，Z.ABC和 ZAC B的平分线交于点E,NMBE=NEBC,乙NCE=NBCE：.ZMEB=ZMBE,NNEC=NNCE：.ME=MB,NE=NCMN=ME+NE=BM+CN=10故答案为：1 0【点评】本题主要考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.3 7.如图，赵爽弦图”由4个全等的直角三角
26、形所围成，在 RdABC中，A C =b,B C =a ,4cB=9 0。，若图中大正方形的面积为4 2,小正方形的面积为5,则(a+6)?的 值 为 7 9 .【专题】5 5 2：三角形【分析】根据图形表示出小正方形的边长为S-幻，再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2 皿，然后利用完全平方公式整理即可得解.【解答】解：由图可知，(。-。)2=5,4 x a Z =4 2-5 =3 7,22 a b =3 7 ,(a +b)2=(b-a)2+4=5 +2 x3 7 =7 9 .故答案为7 9.【点评】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，仔细观察图形利用
27、小正方形的面积和直角三角形的面积得到两个等式是解题的关键.3 8.如图，在 A A 8 C 中，Z C =9 0 ,Z B =3 0 ,AD是 NB A C 的角平分线，DE1AB,垂足为E,0 E=1 ,则 8 C=3 .D【考点】K O：含 3 0 度角的直角三角形【分析】根据角平分线的性质即可求得C。的长，然后在直角A 6 Q E 中，根据3 0。的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得3。长，则BC即可求得.【解答】解：.A Z）是 的 角 平 分 线，D E Y A B,N C =9 0。，C D =D E =1,又.直角 A B 0 E 中，NB=30,B D=1 D E 2 ,
28、BC=C D+BD=+2=3.故答案为:3.【点评】本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，3 0。的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键.Q3 9.如图，每个小正方形边长为1,则A A 8 C 边 AC上 的 高 的 长 为 -.5 【考点】K 3：三角形的面积；K Q：勾股定理【专题】2 4：网格型【分析】根据网格，利用勾股定理求出AC的长，A3的长，以及A 3 边上的高，利用三角形面积公式求出三角形A B C 面积，而三角形A B C面积可以由AC与 3。乘积的一半来求,利用面积法即可求 出 处 的长.【解答】解：根据勾股定理得：AC3+4,由网格得：S MB c=
29、g x2 x4 =4,且 时=3 4 0 =,-x 5 B D =4,2解得：B D=.故答案为：g【点评】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.4 0.如图，A4BC 中，A B=A C,ZBAC=12O,A）是 8 c 边上的中线，且 B D=B E ,则【考点】K H -.等腰三角形的性质；K O：含 30度角的直角三角形【专题】11：计算题【分析】根据等腰三角形的性质得到NB=NC=3O。，ZADB=90,根据三角形内角和定理计算.【解答】解：.AB=AC,ZBAC=120,ZB=ZC=30,v A B=A C,AD是 BC边上的中线，:.ZA DB=9
30、0 ,;BD=BE,：.N B D E=75,:.ZA DE=50,故答案为：15.【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键.4 1.如图，下 列 4 个三角形中，均有AB=A C,则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是.【考点】等腰三角形的判定【专题】几何图形【分析】顶角为：36,90。，108。的四种等腰三角形都可以用一条直线把这四个等腰三角形每个都分割成两个小的等腰三角形，再用一条直线分其中一个等腰三角形变成两个更小的等腰三角形.【解答】解：由题意知，要 求“被一条直线分成两个小等腰
31、三角形”，中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36。，36。，108。和 36。，72,72。，能;不能；显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；中的为36。，72,72。和36。，36,108,能.故答案为：【点评】本题考查了等腰三角形的判定；在等腰三角形中，从一个顶点向对边引一条线段,分原三角形为两个新的等腰三角形，必须存在新出现的一个小等腰三角形与原等腰三角形相似才有可能.4 2.如图，在&4 8 c 中，A F 平分NBAC,A C 的垂直平分线交8 c 于点 ,NB=70。，NF A E =1 9。，则 NC=24 度.【考点】线段垂直平分线的性质【
32、专题】推理填空题【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=E C,得到NE4C=N C,根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可.【解答】解：是 A C 的垂直平分线，E A -E C ,:.N E A C =N C ,ZF A C =ZE A C +1 9 ,.AF 平分 NBA。,/.ZE4B=ZE4C+19,N B +NB4C+NC=180。，70+2(ZC+19。)+NC=180,解得，NC=24。，故答案为:24.【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.4 3.如图，在凸四边形 48CQ 中
33、，A B=BC=BD ,ZABC=80,则 NADC 等于 140。.【考点】K H：等腰三角形的性质【分 析】根据等腰 三 角 形 的 性 质 和 三 角 形 内 角 和 定 理 可 得Z A D B =9Q0-ZA BD,2N C D B =90-L/C B D,由于=+,NA8c=80。，依此即可求解.2【解答】解：A B=BC=BD,:.ZA DB=9O-ZA BD,N C D B =90。-工 N C B D,2 2Z A D C =Z A D B +N C D B=90-Z A B D +90-Z C B D2 2=180。-g(Z48O+ZCBD)=180-x802=180-40
34、=140.故答案为：140.【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，注意整体思想的运用.本题难度适中.44.如图，在A A 8c中，N4cB=90。，仞 平分NCA8,交边BC于点 ,过点。作,垂足为E.若 NC4O=20。，则 NEDS的 度 数 是 40。.cB【考点】KN：直角三角形的性质【专题】554：等腰三角形与直角三角形；67：推理能力【分析】根据角平分线的定义得NCAB=40。，由直角三角形的性质计算即可得解.【解答】解：.A。平分NCAB,ZCAD=20,NCA B=2ZCA D=40,-8=90,ZB=90-40=50,-,-DE1.A B,Z)EB=90,ZD
35、B=90-50=40,故答案为：40。.【点评】本题考查了角平分线的定义和直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键.4 5.如图，直角边分别为3,4 的两个直角三角形如图摆放，M,N 为斜边的中点，则线段【考点】K P：直角三角形斜边上的中线【专题】17：推理填空题【分析】根据勾股定理求出斜边长，根 据 直 角 三 角 形 的 性 质 得 到,C N =-,2 2Z M C B =NB,N N C D =N D,根据勾股定理计算即可.【解答】解：连接、CN,由勾股定理得，A B=D E =y/32+42=5,.A48C、ACDE是直角三角形，M ,N 为斜边的中点,：.C M=-,C N =-,
36、N M C B =N B ,4 N C D =4 D ,2 2N M C N=90,：.MN=-y/2,2故答案为：-叵-2【点评】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.4 6.如图，C为线段AE上一动点，在A E同侧分别作等边AA8C和等边ACDE,AD 与 BE交于点。，AD与BC交于点p,3 E与C。交于点。，连接P Q.则下列结论：4)=3 E；PQA E；AP=B Q；D E=D P.其中正确的是 .【考点】J9：平行线的判定；K K：等边三角形的性质；K D：全等三角形的判定与性质【分析】根据等边三角形的三边都相等，三个
37、角都是60。，可以证明AACD与ABCE全等，根据全等三角形对应边相等可得4 5 =5 E,所以正确，对应角相等可得NC4O=NCBE,然后证明M C P与ABC。全等，根据全等三角形对应边相等可得PC=P Q,从而得到A。是等边三角形，再根据等腰三角形的性质可以找出相等的角，从而证明P Q/A E,所以正确;根据全等三角形对应边相等可以推出AP=B Q，所以正确，根据可推出D P =E Q ,再根据AOEQ的角度关系DEHDP.【解答】解：.等边M B C和等边ACOE,A C=B C ,C D =CE,ZA CB=Z E C D=60,.-.180-N E C D=1800-ZACB,即
38、Z A C D =N BCE,AC=BC在 AACO 与 ABCE1中，ZACD=ZBCE,CD=CEACD=BCESAS),:.A D=B E,故小题正确；,:AACD=kBCE,/.ZCAD=ACB E,ZACB=NECD=60,NBCQ=180。-60。x 2=60,.ZACB=N3CQ=60。，NCAD=/CBE在 AAC尸与 ABCQ 中，AC=BC,ZACB=4 BCQ=60:.AACP=iBCQ(ASA),:.AP=B Q,故小题正确；PC=QC,APCQ是等边三角形，NCPQ=60,ZACB=ZCPQ,:.P Q/A E,故小题正确；A D=B E,AP=BQ,A D-A P
39、=BE-BQ ,即。P=QE,NDQE=NECQ+NCEQ=60+NCEQ,NCDE=60,NDQE*NCDE,故小题错误.综上所述，正确的是.故答案为：.BD【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，需要多次证明三角形全等，综合性较强，但难度不是很大，是热点题目，仔细分析图形是解题的关键.47.如图，在 AA8C中，NABC和 NAC8的平分线交于点。，过点。作 E F/8 C,交 加 于E.交 A C于尸，若 B E =3 ,C F =2,则 尸的 长 为 5.【考点】JA：平行线的性质；KJ：等腰三角形的判定与性质【分析】利用角平分线性质可得两组角相等
40、，再结合平行线的性质，可证出NOBE=NEOB,N O C F =N C O F ,那么利用等角对等边可得线段的相等，再利用等量代换可求得E F =B E +C F .【解答】解：B。、C。是 NABC、NAC8的角平分线，N O B E =Z O B C ,Z O C F =Z B C O ,又E F H B C ,N O B C =4 B O E ,N B C O =Z C O F ,N O B E =N B O E ,Z C O F =N O C F ,B E =0 E ,C F =0 F ,:.E F =OE +O F =B E +C F =3+2 =5,故答案为5.【点评】本题考查了
41、角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键.48.如图，AABC 中，ZACB=90,CDLAB 于点。，ZA =3 0 ,B D 1.5cm ,则 钻=6 c m.【考点】KO：含 30度角的直角三角形【专题】11：计算题【分析】在直角三角形4B C 中，由NA的度数求出N 3的度数，在直角三角形BC。中，可得出NBC。度数为30。，根据直角三角形中，30。所对的直角边等于斜边的一半，得到BC=2BD,由 的 长 求 出 BC的长，在直角三角形ABC中，同理得至lj AB=28C,由8c的长即可求出A 3的长.【解答】解：TAA8 c 中，ZAC
42、B=90,ZA=30,ZB=60,又 C。_ L AB,NBCD=30,在 RtABCD 中，ZBCD=30,BD=1.5cm,可得 BC=2BD=3cm,在 RtAABC 中，NA=30,BC=3cm,则 AB=2BC=6cm.故答案为：6.【点评】此题考查了含30。角直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握性质是解本题的关键.4 9.若直角三角形斜边上的中线等于3,则这个直角三角形的斜边长为6.【考点】直角三角形斜边上的中线.【答案】见试题解答内容【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.【解答】解：直角三角形斜边上的中线等于3,则这个直角三角形的斜边长为6,故答
43、案为：6.【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.5 0.如图，已知&4BC的面积为18,3尸平分N A 8 C,且于点P,则ABPC的面积 是 9.EB【考点】K 3：三角形的面积；KJ：等腰三角形的判定与性质【专题】66：运算能力；554：等腰三角形与直角三角形【分析】根据已知条件证得ZVWPmA D 5 P,根据全等三角形的性质得到的=包 ,得出4 c p =S D C P推出W=g Sw代入求出即可【解答】解：如图，延长AP交 8 c 于点),.3P 平分 4 B C.-.ZABP=ZDBP,.BP=BP,ZAPB=ZDPBABP=D
44、BPASA):.AP=PD,/SABP=S/IBPD，S&APC=S&CDP，S居BC=2 S i A B C =9 ,故答案为：9.【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等.51.如 图 1是我国古代著名的“赵 爽 弦 图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成.若较短的直角边BC=2.5,将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若ABC。的周长是1 5,则这个风车的外围周长是38.【考点】K R：勾股定理的证明【分析】由题意Z A C B为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求
45、得风车的一个轮子，进一步求得四个.【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x,A C =y,则x2=4 y 2 +2.52,B C D的周长是1 5,x +2 y +2.5 =1 5贝!|x =6.5 ,j =3 .二.这个风车的外围周长是：4(x+y)=4 x 9.5 =3 8.故答案是：3 8.【点评】本题考查了勾股定理在实际情况中的应用，注意隐含的已知条件来解答此类题.5 2.如图，长方体的底面边长分别为1 c m和3 c机，高为6 c机.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那 么 所 用 细 线 最 短 需 要1 0 cm .【考点】平面展开-最
46、短路径问题【专题】压轴题；计算题【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果.【解答】解：将长方体展开，连接A、B ,：A A =1 4-3+1 +3 =8(cm),A B =6cm ,根据两点之间线段最短，A B =而+6=1 0 cm .【点评】考查了平面展开-最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”,用勾股定理解决.5 3.如图是“赵爽弦图”，M B H ,A BCG,ACE（尸和AQ4E是四个全等的直角三角形,四边形A8C。和 EFG”都是正方形，如果AB=20,AH=12,那么尸G=4.【答案】4.【考点】勾股定理的证明【
47、专题】几何直观；等腰三角形与直角三角形【分析】在直角三角形4 超 中，利用勾股定理进行解答即可.【解答】解：BG=A H=2,.四边形EFGH都是正方形，在直角三角形4 汨中，由勾股定理得到：B H =JA B2-AH2=V202-122=16.FG=G H =B H -BG =16-12=4,故答案为：4.【点评】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角三角形4 阳 的两直角边的长度.5 4.如图，台阶A 处的蚂蚁要爬到8 处搬运食物，它爬的最短距离是25.20A【考点】平面展开-最短路径问题【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.【解答】解：如图所示：台阶平
48、面展开图为长方形，AC=20,8 c =5+5+5=15,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.由勾股定理得：A B-A C2+BC2,即 A B2=202+152,AB=25,【点评】此题主要考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答.5 5.如图，将一等边三角形的三条边各8 等分，按顺时针方向标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8,将不同边上的序号和为8 的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系.在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示，如点4
49、 的坐标可表示为，点 8 的坐标可表示为，按此方法，若 点 C 的坐标为，则 片 3.【考点】坐标与图形性质；等边三角形的性质.【专题】规律型；等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力.【答案】3.【分析】根据点4 的坐标可表示为，点B的坐标可表示为得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为横、上，下，即为该点的坐标，于是得到结论.【解答】解：根据题意得，点 C 的坐标可表示为，=3,故答案为3.【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键.三、解答题56.如 图，在&4BC中，BDL AC于点。，CE J.AB 于点、E,点、M、N 分别
50、是BC、D E的中点.猜想，M N与。的位置关系，并证明；【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；K 0.含 30度角的直角三角形【专题】554：等腰三角形与直角三角形【分析】根 据 直 角 三 角 形 斜 边 中 线 的 性 质 得 到 根 据 等 腰 三 角 形 的 三 线 合 一 证 明结论；根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出NOME=60。，得到AMED是等边三角形,根据等边三角形的性质计算即可.【解答】证明：M N V D E,理由是：连接E M、D M ,V BD A C ,CEL A B,点用 是 BC的中点,:.E M=-B C 9 D M=-B C,2 2:.ME=M