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1、数学九年级下圆的基本性质单元教学设计【学习内容】内容组合：初中数学九年级下第三章圆的基本性质。统领概念：圆的概念，圆内的弧、弦、圆周角、圆心角、弦心距、圆内接四边形的相关 概念，圆的轴对称性和旋转不变性的应用（垂径定理、圆心角定理和圆周角定理等）圆的基 本性质，弧长扇形面积的计算是本章探究的主要内容。【学习目标】1. 理解圆的相关概念。1.1理解圆、弧、弦、弦心距、圆周角、圆心角、扇形、圆内接四边形、弧长、正多边形等有关概念， 学会圆、弧、弦、弦心距、圆周角、圆心角、扇形、圆内接四边形、弧长、正多边形等的表示方法.1.2 -理解直径和半径的关系、点与圆的位置关系，理解垂径定理、圆心角定理、圆周
2、角定理、圆内接 四边形的性质等圆的基本性质，理解弧长的计算、扇形的面积的计算等计算方法。2. 掌握圆的基本性质和弧长扇形面积的计算方法。2.1掌握圆的基本性质2.2掌握弧长和扇形的面积计算公式3. 综合运用圆的基本性质解决相关的几何问题和相关的实际问题。3.1通过学生动手、观察、比较、分析、概括等活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力.3.2通过对圆的进一步认识，加深对圆的完美性的体会，激发学生的学习热情.3.3熟练应用圆的基本性质进行几何证明和计算3.4运用弧长的计算公式计算，能熟练运用面积的转化求不规则图形的面积【核心任务】在我们的生活中有很多圆的模型，那么为什么圆型的物体会带给我们那么
3、多方便呢？圆 到底有哪些特性呢？在本单元学习中，让我们一起探究圆有哪些特性？通过研究圆的对称性、旋转不变性等 来说明圆的图案之美，其在生活中的作用之广。【课时安排】本单元学习共14课时。第一、二课时完成圆的相关概念弧、弦、直径、半径、点与圆的 位置，第三课时完成图形的旋转变换，第五六课时完成圆的轴对称性即垂径定理和逆定理， 第七八课时完成圆心角的概念和圆心角定理及应用，第九十课时完成圆周角和圆周角定理及应用，第十一课时完成圆的内接四边形及性质，第十二课时完成正多边形，第十三十四课时 完成弧长的计算和扇形的面积计算第一课时【学习目标】1 理解圆、孤、弦等有关概念，学会圆、孤、弦等的表示方法.2理
4、解直径和半径的关系、点与圆的位置关系并能正确判断.3 -通过学生动手、观察、比较、分析、概括等活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力.4通过对圆的进一步认识，加深对圆的完美性的体会，激发学生的学习热情.【评价任务】1.完成巩固新知，巩固目标1.1, 1. 2, 2. 1,3.3【学习过程】一、先行学习1 -展示一些类似圆的形状的物体图片，例如，压力锅封圈、玉手镯你觉得这些物体与哪 种图形相类似呢？你能再举出一些例子吗？2你知道圆是怎样定义的吗？怎样作出适合某种需要的圆？二、交互学习活动1（一）自主探索：1 师生一起用圆规画一个圆，其圆心为点0.2教师示范：取一根绳子，把它的一端用图钉固定在画
5、板上，另一端系一支铅笔，然后拉紧绳子，并使它绕固定的一端旋转一周，这样就得到一个圆.（课本图3 - 1）3 -圆上的任意一点P（铅笔尖）到定点0（图钉）的距离相等吗？【解】相等（二）概念形成1 -圆的定义：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点旋转一周（如图），另一端点P所经过的封闭曲线叫做 圆，定点O叫做圆心，线段OP叫做圆的.半径一.2 -圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记做“。0”，读作圆O” .3 弦的定义：连结圆上仟意两点的线段叫做弦（如图中的A3）.经过圆心的弦叫做直径， 显然，直径等于半径的_2倍（如图所示）.活动2（一）做一做已知点O和线段a（如图所示），请以O为圆心，线段a
6、为半径作一个圆，并在圆上画出一条半径、一条直径和一条不是直径的弦.（二）概念形成1 -弧的定义：圆上任意两点间的 部分 叫做 圆弧，简称孤.2半圆、劣孤、优孤的概念及表示方法：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条孤，每一条孤都叫做 半圆.小于半圆的弧叫做 劣弧，劣孤用符号“”和孤两端的字母表示，右图中的劣孤BC 记作曲，读作“孤BC”：大于半圆的弧叫做 优弧，优孤用符号“”和三个字母表示（弧两端的字母和弧中间的字母），如图中的优孤BAC，记作B5C，读作“弧BAC”.3如图所示，你看到哪几条弦？哪几段弧？各如何表示？解：弦有三条：AB，8。，AC，弧有六段：AB，半圆ABC，半圆AC，BCA，
7、CAB.4 等圆：半径相等的两个圆能够完全重合，因此，把半径相等的两个圆叫做等圆_，如图中的QO1 和O2是等圆.5 想一想：等圆的半径相等吗？相等.6补充：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧（三）议一议同一平面内的点与圆有几种位置关系？怎样确定点与圆的位置关系？请你与你的同伴议一议.结论：一般地，如果点F是圆所在平面内的一点，d表示点F到圆心的距离，r表示圆的半径，则有:d r。点在圆夕卜；d = r。点在圆上；d 广。点在圆内.活动3典例探究：DBC【例1】己知矩形ABCD的边AB = 3，AD=4，如图所示.以A为圆心，4为半径作。A，则点B，C，D与。A的位置关系如何？(2)若以
8、点A为圆心作。A，使点B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则。A 的半径r的取值范围是多少？【解】(l)LAD = 4 = r，.点D在。A上.AB = 34，.点 C 在。A 外.(2)VACADAB，.3r r。点在圆外；d = r。点在圆上；d r。点在圆内.三、新知应用活动3典例探究：BC【例1】已知矩形ABCD的边AB = 3，AD=4，如图所示.以A为圆心，4为半径作A，则点B，C，D与A的位置关系如何？(2)若以点A为圆心作A，使点B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则A 的半径r的取值范围是多少？(2) 要使三点中至少有一点在圆内，且至少有一
9、点在圆外，圆的半径应介于这三点到圆心的距离的最大 值与最小值之间.【解】(1)LAD = 4 = r，.点D在A上.AB = 34，.点 C 在A 外.(2)VACADAB，.3r 2 m，二能顺利通过.三、后续学习尝试完成下面各题.*B.,_. 一 . . .、一. . 1 ,如图，在0O中，弧CD与直径AB相父，且AB平分CD，则下列结论错误的是（C ）A AB LCDB - ZCOE=ZDOEC - OE=BE DAC=AD2 -给出下列命题： 垂直于弦的直线平分弦； 平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条孤； 平分弦的直线必过圆心； 弦所对的两条孤的中心的连线垂直平分弦.其中正确
10、的命题有（A ）A - 1个B. 2个 C. 3个 D. 4个C.1 D B3 （杭州市西湖区期末统考题）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度AB为24 m，拱的 半径为13 m，则拱高CD为（D ）A 5 m B. 7 mC. 5、,，3 m D. 8 m4 如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是半圆上一点，点E是孤AC的中点，OE交弦AC 于点 D.若 AC = 8 cm，DE=2 cm，则 OD 的长为 3 cm.第六课时【学习目标】1理解和掌握圆心角的定义和圆心角定理.2会由己知条件求圆心角，以及通过求圆心角求其他的量.3通过旋转、交流、画图的过程，培养学生的合作意识和
11、探索能力.4经历圆的性质的过程，进一步体会和理解研究圆的各种方法，增强学生之间的合作交流，获得运 用知识解决问题的成功体验.【钝价任务】完成巩固练习，评估目,1.1.2,2.1,3.3【学习过程】1 实验：如图,在两张透明纸上，分别作半径相等的。0和。0，把两张纸叠在一起，使。0和。0, 重合，然后固定圆心.将其中一个圆旋转一个角度，两个圆还能重合吗？2 若把圆绕圆心旋转180 ，所得的像与原图形重合吗？你能根据此性质得到什么结论?【解】能重合，圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.二、交互学习（一）想一想把圆的一条半径绕圆心O旋转任意一个角度，这条半径在圆上的一个端点仍然落在圆上吗？【解】仍
12、然在圆上.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.例如，图中ZN0N-就是一个圆心角.（二）做一做如图，AB，CD是。O的弦，ZAOB = ZCOD.如果把ZAOB连同它所对的砧绕圆心O按顺时针方 向旋转，使半径OA与OC重合，那么点B与点D是否也重合？由此，你能得出什么结论？【解】点B与点D重合.结论:圆心角相等时，它们所对的弧相等，它们所对的弦相等.（三）说一说己知：在。0中，ZAOB = ZCOD，则AB=CD，AB=CD，说明你的理由.【解】I.半径0A与0C重合，ZAOB = ZCOD，.半径0B与半径0D重合.,.点A与点C重合点B与点D重合,扁与重合，弦AB与弦CD重合，Z-X Z-X
13、.AB = CD , ab = CD.（四）叙一叙1 -圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的_弧_相等，所对的、弦.也相等.2 -我们把顶点在圆心的周角等分成360份，则每一份的圆心角是1 .因为同圆或等圆中相等的圆心 角所对的孤相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把每一份这样的孤叫做1 的孤，这样，n的圆心 角所对的孤就是n的孤.3 如图，1的圆心角对着1的孤，1的孤对着1的圆心角.一般地，n的圆心角对着n的孤， n的弧对着n的圆心角，也就是说，弧的度数和它所对的圆心角的度数相等.三、新知应用【例1】如图，请用直尺和圆规在。o中作出AB，使AB的度数为45 .【作法】如图：（1
14、）作。O的一条半径OA ；（2）过点O作OC1OA，交。O于点C ；（3）作NAOC的角平分线OF，交。O于点B，AB就是度数为45的弧we【例2】如图，己知AB，CD是。0的两条直径，弦DEAB.请说明CB=BE的理由.【解】连结OE./OD = OE，.ND =匕E./ABHDE，.NBOC = ZD，ZBOE = ZE， Z-X Z-X/.ZBOC = ZBOE，.CB = BE三、后续学习尝试完成下面各题., 一 .一, _ 一. .、.一 _1 如图，在。O中，ZAOB = 60 ，贝|AB的度数是（B ）A 30B. 60C - 120 D. 3002 下列说法中正确的是（D）A相
15、等的圆心角所对的弧相等B相等的圆心角所对的弦相等C-度数相等的两条孤相等D相等的圆心角所对的孤的度数相等3 -己知。O的半径为5，弦AB的长也是5，则圆心角ZAOB= 60.4 如图，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD，BC于点F，G，延长BA交 A于点E.求证：ef=FG.解：证明，连结AG，AB=AG，:.zb=zagb.ADBC，：.ZB = ZEAF，ZAGB = ZFAG,:.ZEAF=ZFAG，:ef=fg.2D第七课时【学习目标】1 -掌握圆心角定理(圆心角定理的逆定理).2会运用关于圆心角、弧、弦、弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题.3通过画图、讨
16、论、类比等过程，培养学生的自主探索能力与实践能力.4经历探索结论的过程，培养学生的团结协作精神，通过例题的教学让学生体验学习成功的快乐.【评价任务】完成巩固练习，评估目标1.1,1.2,2.13.3【学习过程】一、先行学习一、复习提问：圆心角定理是什么？【答】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.二、将圆心角定理分解成以下三个命题：(1) 圆心角相等大前提：或等圆中所对的弦相等.(2) 圆心角相等大前提：在回或等圆中所对的弧相等.(3) 圆心角相等大前提：在回或等圆中所对弦的弦心距相等.问：上述三个命题的逆命题是什么？怎样判定它们的真假性？说明：巩固所学知识，提出所学的问题
17、，激发学生的求知欲.二、交互学习活动1(一) 自主探索1 以上三个命题的逆命题：逆命题1：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等.逆命题2：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等.逆命题3：在同圆或等圆中，相等的弦心距所对应的弦所对的圆心角相等.2逆命题1和逆命题3的证明，可让学生画出相应图形，由学生独立完成.3逆命题2的证明由师生共同完成.4 圆心角定理的逆定理.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应 的其余各对量都相等.li o5 举例：如图，ZAOB = ZCODoAB = CDoOE=OFoAB=CD.单地说，就是圆心角相等。弦心距
18、相等。弦相等。孤相等.(二) 议一议1 在上述定理中，能不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件？举例加以说明.【解】不能，否则，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等.2在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距会相等吗？【解】不相等.活动2做一做：如图，在。O中，AB，CD是两条弦，OEAB，OFXCD，垂足分别为E，F.(1) 如果ZAOB = ZCOD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？(2) 如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？ AB与CD的大小有什么关系？为什么？/AOB 与ZCOD呢？【解】(1)如果ZAOB = ZCOD，那么 OE = OF.理由是：./
19、AOB = ZCOD，.AB =CD.OEAB，OFCD，.AE = 2aB，CF = CD，.AE = CF.又.OA = OC，.RSOAE织SOCF. OE = OF.(2)如果 OE = OF，那么 AB = CD，AB = CD，ZAOB = ZCOD，理由是：vOA = OC，OE = OF，RSOAE湎OCF，AE = CF.又VOEXAB，OFCD，AE = 2aB，CF = ；CD，AB=2AE，CD = 2CF.AB = CD，.AB = CD，ZAOB = ZCOD.三、新知应用活动3典例探究：【例1】如图，AABC是等边三角形.以BC为直径画。O，交AB，AC于点D，E
20、.求证：BD=CE.A*【证明】证明1 ：作OF_LAB于点F，OGAC于点G，则ZBFO = ZCGO = 90. ABC 是等边三角形，.ZB = NC = 60.又.OB = OC，.BOFMCOG，.OF=OG，.BD = CE.证明2 :连结OD OE. . AABC是等边三角形，.NB = 60.又.OB = OD . .BOD是等边三角形.-.ZBOD = 60.同理 NCOE = 60.-.ZBOD = ZCOE，.BD = CE.三、后续学习尝试完成下面各题.1 如图，在。O 中，AB=AC，ZA=30 ，则 /C= 75.,_, . . ,2 如图，ZAOB = 120 ，
21、C是AB的中点，则四边形OACB的形状是 麦形一.- ._.-.一 . . . .一一 .3 如图，在。中，点C是AB的中点，当ZAOB等于多少度时，四边形OACB是麦形？说明理由.fi解：当ZAOB=120 时，23四边形OACB是菱形.:CAB的中点，ZAOB=120 ，:.ZAOC= ZBOC=60 .：OA=OC=OB，AAOC与ABOC都是等边三角形.：.OA=OB=AC=BC，即四边形OACB是菱形.第八课时【学习目标】1 理解圆周角的概念.2掌握圆周角定理及其推论，会运用圆周角定理及其推论解决简单的几何问题.3 -通过观察、思考、实验、探索等活动，分情况证明圆周角定理.4在探索活动中获取