《华罗庚金杯少年数学竞赛集训试题及详解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《华罗庚金杯少年数学竞赛集训试题及详解.docx（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、华杯赛集训试题精选及详解刘强教师资料1、某校科技小组有一块长方形试验田，这块试验田的面积是 7.79 平方米，并且长比宽多2.2 米，这个长方形的周长是米。解法一、利用平方差公式分解质因数。先将长、宽各扩大 10 倍，则面积扩大 100 倍，面积为 779，长、宽差为 22， 这样分数转化成整数。779=900121=302112=30113011=4129原来长应为 4.1，宽应为 2.9，周长为4.12.92=12米。解法二、利用“弦图”学问解答。如右图，将四个同样的试验田拼成一个大正方形，中间小正方形边长是 2.2 米，面积为2.22.2=4.84平方米。大正方形面积为：7.7944.8
2、4=36平方米。大正方形边长为6 米。大正方形边长等于试验田的长宽，所以试验田的周长为 62=12米。解法三、利用“割补”巧解。依据“长比宽多 2.2 米”的条件，把多出的局部平均分成两个长方形， 把其中的一格长方形移补，再加上一个边长为 1.1 米的小正方形，这就构成一个大正方形如右上图。大正方形的面积为 7.791.12=9(平方米),，所以原长方形的宽 1.1=3 米，宽=1.9 米，长为 1.92.2=4.1 米，原长方形周长为1.94.12=12 米。2、某蓄水池有两个进水管，单开甲管注满水池需要 18 小时，单开乙管需要 24 小时。假设要求 12 小时注满水池，并且在这个注水过程
3、中甲、乙两管合开 8.4 小时。问甲管与乙管各开了多少小时？【分析与解】解法一1 - ( 1 + 1 ) 8.4 = 11182460128.4 = 3.6小时1原题简化为：甲、乙3.6 小时注水 11 ，甲每小时注水 1，乙每小时注6018水 1 。此题实际是“鸡兔同笼问题”鸡有脚 1 只，乙有脚 1 只，鸡兔 3.6241824只共有脚 1160只，问鸡、兔各有几只？我们利用“假设法”来解答。( 1 3.6 - 11 ) ( 1 - 1 ) = 1.2 只186018243.61.2=2.4只所以，乙管注水 8.41.2=9.6 小时，甲管注水 8.42.4=10.8 小时。解法二“转化条
4、件” 甲、乙两管合开8.4 小时，可以转化为甲管单开 8.4 小时，乙管也单开 8.4 小时，原题可以表达为：甲每小时注水1 ，乙18每小时注水法”解答。1 ，甲、乙两管单开，128.4=20.4 小时注满水池。利用“假设24( 1 20.4 - 1) ( 1 -1 ) =2.4 1= 9.6 小时181824187220.49.6=10.8(小时)解法三，1“画长方形图”解题。由解法二知，甲的工作效率为18甲的工作效率为 1 ，甲、乙的平均工作效率为 1。求甲、乙各注水几小时？2420.4124阴影 I 与阴影 II 的面积相等，I 与 II 宽的比为( 1 -1) ： (1- 1 ) =9
5、：11820.420.42418它们长的比应为 8：9，20.4 小时是 17 份，每份为 20.417=1.2 小时，9 份为20.4 小时1.29=10.8 小时，8 份为 1.28=9.6 小时。120.43、0，1，4，6 四个数码挺有意思，每取两个求出其差大数减小数，这六个差可以排列成 1，2，3，4，5，6 六个连续自然数。利用它来解下题：上图表示一个矩形，它的长、宽数值都是两位数用表示，它与一个边长为整数的正方形等积。又知组成这个两位数的四个数码，假设每取两个求出其差，也可以排列成1，2，3，4，5，6 六个连续数，你能说出正方形的边长吗？10 分分析与解：设组成长方形的边长的数
6、码依次为A、B、C、D，且 ABCD。则 A 与 D 相差 6， 且 A 与 B，B 与C,C 与 D 之间的差有以下六种状况：1，2，31，3，22，1，32，3，13，1，23，2，1 第一类状况里，任何两个数的差都不为4；第三类状况里，任何两个数的差都不为5； 第五类状况里，任何两个数的差都不为5； 第六类状况里，任何两个数的差都不为4。由 A 的取值范围可以是 0，1，2，3，把全部状况可以分为四类考虑。第一类：ABCD01460256其次类：ABCD12571367第三类：ABCD23682478第四类：ABCD34793589对这 8 种状况分别进展枚举筛选，可以得到以下符合条件的
7、三种状况，即：7512=30306328=42422748=3636综上所述，正方形的边长是 30、42 或 36。策略：4、赵、钱、孙、李、周五人中，每两人之间都打过 ，且通话次数恰好是这两个人的年龄之差。现知，周和赵相差9 岁，孙和钱相差10 岁，周和钱相差 6 岁，李和孙相差 8 岁，李和周相差 12 岁，赵和孙相差 5 岁，这五个人之间共通 多少次？详解： 1我们先看一组简洁的练习：1假设甲比乙大 5 岁，乙又比丙大 4 岁， 那么丙应当比甲小 9 岁。三个人的年龄关系可以用右图表示出来：箭头指向年龄小的图中三个年龄差相加减结果为 0。假设想求出通 的次数，必需知道五个人的年龄大小状况
8、及两个人的年龄差分别是多少， 我们可以依据年龄问题的特点利用图解法求解。想一想，为什么？2假设是四个人，四个人的年龄差相加减结果也应当是0。如右图所示甲比乙大 5 岁，丙比乙大 3 岁，丁比丙大 6 岁，丁比甲大 4 岁。算式：5-3-6+4=05+4-9=0 数字前面是加号的线段箭头逆时针指，是减号的箭头顺时针指。箭头指向两人中年龄较小的。2:1先将五人两两相关的岁数标在图 1 中,假设周比赵大(这并不影响结果)图中华杯赛集训试题精选及详解刘强教师资料（2） 依据练习得到的学问依据周、赵、孙、李、四周成一圈，图中所对应的两人年龄差相加减应当等于 0，由 9-5+8-12=0，数字前面是加号的
9、箭头逆时针指，是减号的线段的箭头顺时针指，可得到图 2。（3） 同理，按周，钱，孙，李、周转一圈,由 10+8-12-6=0,可得到图 3。现在我们把题目中的条件用图 3 表示出来，其余两人之间的关系怎么办呢？通过图 3 可以看出钱比周大 6 岁，周比赵大9 岁，那么钱应当比赵大15 岁。箭头指向赵。同理可以求出钱与李、孙与周、赵与李的年龄差见图4将图 4 中全部数相加，得到五人之间共通话(9+12+8+10+15+5+6+3+18+4=)90 次。探究：（1） 在分析过程中用到了有关年龄问题的那些学问？（2） 假设假设赵比周大 9 岁，或者李比周大 12 岁结果会是多少呢？请你用例题中介绍的
10、方法试一试，看一看结果是否一样？55、如图1，红、绿两个正方形叠放在一起，红色正方形的边长是绿色正方形边长的 0.75 倍，红色正方形的面积数值是一个三位数，绿色正方形露出局部的面积数值也为一个三位数，并且和红色正方形面积数值的三个数字一样，只是这两 个三位数的三个数字排列挨次不同。求绿色正方形的面积是多少？【分析与解】：我们依据红、绿正方形边长的关系，把绿色正方形平均分成 16 份，红色正方形正好为 9 份， 绿色正方形露出局部为 7 份。如图 2红色正方形面积数值与绿色正方形露出局部面 积数值的三个数字一样，它们除以 9 的余数应一样，它们的差必是 9 的倍数。2 个小正方形的面积是 9
11、的图1 倍数，2 与 9 互质，所以每个小正方形的面积都应是9 的倍数。绿色正方形露出局部面积是一个三位数，7 个小正方形的面积和是三位数，97=63，63 是一个两位数， 所以每个小正方形的面积最少为 18。红色正方形面积是一个三位数，9 个小正方形的面积和是三位数，1179=1053，1053 是一个四位数，所以每个小正方形的面积最多为 108。图2在 18、27、36、45、108 之间，经试验只有 189=162 和 187=126 符合题义。所以，绿色正方形的面积为 162+126=288。6、如下图，把边长为 6cm 的等边三角形剪成 4 局部，从三角形顶点往下 1cm 处， 呈
12、30角下剪刀，使中间局部形成一个小的等边三角形。问：全部斜线局部的面积是中间小等边三角形的面积的几倍？分析与解答：将大三角形分成边长 1cm 的小等边三角形即可求解。大三角形中包含 36 个小等边三华杯赛集训试题精选及详解刘强教师资料角形，空白三角形包含 3 个小等边三角形。所以7、把一些棱长为 1 的正方体粘成一个棱长为 nn 为正整数的实心正方体，将大正方体的一个或几个面染成红色，然后再将大正方体拆散，觉察有281 个小正方体被染色了，那么 n=。解：我们把大正方体分为上、下，前、后，左、右六个面。1. 假设只染一个面，只染大正方体的上面，那么，被染色的小正方体的块数应为 n2 个，由于
13、281 是质数，不是一个完全平方数，所以不行能是染一个面。2. 假设将大正方体的两个面染成红色有两种状况。染上下两个面两个面相对，如图 1，这时被染色的小正方体的块数应为 2n2个，这也是不行能的。于 281。图 1图 2染上面和前面两个面两个面相邻，如图 2，这时这时被染色的小正方体的块数应为：2 n2n=n2n1，由于 281 是质数，所以n2n1不行能等3. 假设将大正方体的三个面染成红色，有如下两种状况染上面、前面和右面，如图 3，这时被染色的小正方体的块数应为n3n13，n3n13 应是被 3 除余 1 的数，这是由于：n 被 3 除的余数012n 3 被 3 除的余数012n1被
14、3 除的余数201n13 被 3 除的余数2017n3n13 被 3 除的余数111由于 281 被 3 除余 2，所以 n 3n13 不行能等于 281。或被染色的小正方体的块数，还可以表示为3n23n1=281，那么 3n 23n=280，由于 280 不是 3 的倍数，所以也不合题意。图 3图 4染上面、前面和下面，如图 4，这时被染色的小正方体的块数应为： 3n22n=n3n2，由于 281 是质数，所以n3n2不行能等于 281。4. 假设将大正方体的四个面染成红色，有如下两种状况图 5图 6上、下两个面不染色，如图 5，把被染上红色的小正方体切分成弦图那样，这时， 被染上红色的小正
15、方体块数应为 4 的倍数，而 281 不是 4 的倍数，不合题意。上面和前面不染色，如图 6，这时被染色的小正方体的块数为： 2n2nn2n2n1=4n25n24n25n2=2814n25n=279 n4n5=279由于 279=1179=391=931，经试验只有当n=9 时，才符合要求。5. 假设将大正方体的五个面染上红色，如上面不染色，这时被染色的小正方体的块数为：2n22nn2n2n2=5n28n4假设 5 n28n4=281，那么 5 n28n=277 ，n5n8=277，由于 277 是质数，所以n 没有符合题意的解。6. 假设将大正方体的六个面都染上红色，这时被染色的小正方体的块
16、数为：n3n23由于 n 与 n2 是同奇偶的，所以 n3 与n23 也应是同奇偶的，同奇偶的两个数的差应为偶数，而 281 是奇数，所以 n3n23 不行以等于 281，不符合题意。综上所述，只有当 n=9；有两个相邻的面不染色时，才符合题目要求。所以华杯赛集训试题精选及详解刘强教师资料n=9。8：把一个大长方体外表涂满红色后，分割成假设干个同样大小的长方体， 其中只有两个面涂上红色的小长方体恰好是 12 块，那么可以把这个大长方体分割成个小长方体。A、20 个B、27 个C、32 个D、42 个【分析与解】大长方体外表涂色，分割后能消灭两个面涂色的小长方体， 应当是沿大长方体长、宽、高中的
17、两个方向切割或沿大长方体三个方向都切割的分割方法。图 1图 2沿大长方体长、宽、高中的两个方向切割时如图 1，两个面涂色的小长方体的个数为a2(b2)个，大长方体被分成的块数为 ab1 块。沿大长方体三个方向切割时如图 2，两个面涂色的小长方体的个数为=2612=a2(b2)=34ab1=56=303=2+1+0abc=432=243=3+0+0abc=522=20a2(b2)(C2)4 个，大长方体被分成的块数是abc 块。分类两个面涂色状况长方体的体积体积挨次大到小沿 两 个12=a2(bab1=314=42方 向 分割 的 状况2)=11212=a2(b2)ab1=48=32沿三个3=1
18、+1+1abc=333=27方向分 124=3割的情=a2况 (b 2) (c2)10所以，此题应选 A、B、C、D。二、解答题。9、现有十箱小球，依据标准，每个小球质量应为10 克，但这十箱中，混进了两箱次品，次品的外观与正品没有区分，只是一箱球每只质量比正品少 1 克，另一箱球每只质量比正品少 2 克。请设计一种方案，只称一次将这两箱次品球找出来。分析与解答：先给箱子编上号，但取球方法改为：从第一箱中取1 只30=1，其次箱中取3 只31=1，第三箱中取 9 只32=1，第十箱中取39=19683 只小球放在一起称一次，假设全是正品，质量应为295240 克，但由于混有质量较轻的次品小球，
19、实际总质量应比标准总质量 295240 克轻些。假设总质量比 295240 克轻 15 克，由于 15=9+32=132231030，即把十进制数 15 写成三进制数为1203，可知其次箱每只小球比标准轻 2 克，第三箱每只小球比标准轻 1 克。假设总质量比标准 295240 克轻 495 克，由于495=24329=235132，即把十进制数 495 写成三进制数为2023003，可知第三箱每只小球比标准球轻1 克，第六号箱子每只小球比标准球轻 2 克。由于只混进了两只次品球，且一箱每只比标准质量轻 1 克，另一箱每只比标准质量轻 2克，所以实际总质量与标准总质量的差肯定能写成 3m13n2
20、m、n 不相等，且为不大于 9 的自然数的形式，且由于这个差十进制数能唯一地表示为一个三进制数， 所以只称一次，依据这个三进制的表达式可以把两箱次品球找出来。华杯赛集训试题精选及详解刘强教师资料10、有很多白色或黑色的棱长是 1 厘米的小正方体。取其中的 27 个，拼成一个棱长是 3 厘米的大正方体，每个面都各用 2 个黑色的小正方体拼成一样的图案，见例图。例图中正方体的每一个面的图案一样，用 8 个或 9 个黑色的小正方体就可以拼成例图中的大正方体。除例图之外，还可以用 27 块小正方体拼成每面是其它图案的大正方体，且大正方体六个面的图案一样。请答复：（1） 拼成的大正方体的每一个面的图案，
21、有可能是下面图的那些图形？（2） 在上一问中可以按要求拼成的大正方体各用了几个黑色的小正方体？【分析与解】一、小组成员一起审题、理解题目条件。1、依据每个小正方体在大正方体的外表露出面的个数多少，可以把组成大正方体的 27 个小正方体分成四类。第一类是在大正方体顶点处的小正方体，有 8 个，每个露出 3 个面。其次类是在大正方体棱上的小正方体，有 12 个，每个露出 2 个面。第三类是在大正方风光上的小正方体，有 6 个，每个露出 1 个面。第四类是在大正方体中心的小正方体，有 1 个，露出 0 个面。2、依据小正方体在大正方体一个外表中露出的图案位置，可以把大正方体一个面中露出的 9 个小正
22、方体外表分成三类。如以下图第一类为所在位置的小正方体的外表，所在位置的正方体是在大正方体的顶点，假设在这个位置消灭阴影，在其它的两个面中必定同时消灭阴影。其次类为所在位置的小正方体的外表，所在位置的小正方体是在大正方体的棱上，假设在这个位置消灭阴影，就要在另一个外表中相应的位置消灭一个阴影。第三类为所在位置的小正方体的外表，所在位置的小正方体是在大正方体的面上。11注：1、用以下图表示正方体的六个面。2、下面正方形中有，表示这个正方形是黑色小正方体的外表。二、小组内分工，在集体审题的根底上分工争论 7 种状况。状况 1、如以下图，“左面”和“下面”的图案都已经符合图 1 的要求，但 “后面”的
23、另一个黑色阴影只有所在的两个位置可以放，由“左面”和“下面”来看这两个位置又都不能是黑色的小正方体，冲突，所以大正方体的六个面不行能都是图 1 中的图案。状况 2、如以下图，“下面”和“左面”都已经符合要求，“前面”的另一个黑色阴影只有所在的两个位置可以放，由“左面”和“下面”来看这两个位置又都不能是黑色的长方体，冲突，所以大正方体的六个面不行能都是图 2 中的图案。状况 3、如以下图，大正方形的外表积可以是图 3。这种状况用了 5 个或 6 个黑色小正方体拼成。状况 4、如以下图，大正方形的外表积可以是图 4。这种状况用了 4 个或 5 个黑色小正方体拼成。状况 5、如以下图，大正方形的外表
24、积可以是图 5。这种状况用了 9 个或 10 个黑色小正方体拼成。状况 6、如以下图，大正方形的外表积可以是图 6。这种状况用了 6 个或 7 个黑色小正方体拼成。状况 7、如以下图，“上面”、“下面”、“前面”、“后面”的图案都已经符合图 7 的要求，但“左面”、“右面”的黑色阴影无论放在那个位置，都影响“上面”、“下面”、“前面”、“后面”中团的状况，所以“左面”、“右面”的黑色阴影无处可放，故大正方体的六个面不行能都是图 7 中的图案。三、分工争论中先完成任务的同学，可以帮助其他没有争论出结论的同学。 四、本组内相互检查、沟通。五、确定正确答案后解题。构成梯形面积最小，应当是第四次相遇时
25、，即 D、E4点距 A 的路程为AB 的 5 时，这时梯形的面积为 18 平方厘米。我们利用“等分图形”的思路来解答如图3。从图93 中，很简洁看出梯形面积为三角形 ABC 面积的 25 ，三角9形 ABC 的面积为 18 25 =50平方厘米图 3补充题：图 111、如以下图，在等边三角形ABC 上有两个动点D、E，动点 D 从 A 动身到 B，每秒移动 1 厘米，动点E 以每秒 4 厘米的速度在AC 间来回运动。D、E 两点同时从A 点动身，随时连结 DE 两点，在 D 由 A 到 B 的这段时间内，线段DE 与三角形的一局部构成的最小梯形面积是 18 平方厘米图中阴影局部。三角形 ABC
26、 的面积是多少平方厘米？分析与解答：要使线段DE 与三角形ABC 的一局部构成梯形，就要满足DB=EC 这个条件。假设D、E 都在同一条边上走只有他们相遇时，才满足DB=EC想一想：为什么？。此时问题转化为：D、E 两点在 AB 上运动，D 的速度为 1 厘米/秒，E 的速度为 4 厘米/秒，在D 由A 到B 的这段时间内，D、E 相遇几次，分别在什么位置？由于 E 的速度是 D 的速度的 4 倍，所以在 D 由 A 到 B 的这段时间内，E 应当走 4 个AB 的长度，即D、E 相遇 4 次。第一次在A 点处E 走第一遍AB；其次次在距 A 点 2 份的地方，即AB 的 2 处E 走其次遍A
27、B；第三次在距A 点31 处，即全程的2 处E 走第533三遍 AB；第四次在距 A 点 4 份处，即全程的 5 处E 走第四遍AB。图 2412、某俱乐部有 11 个成员，他们的名字分别是 AK。这些人分为两派， 一派人总说实话，另一派人总说谎话。某日，教师问：“11 个人里面，总说谎话的有几个人？”那天，J 和 K 休息，余下的 9 个人这样答复：A 说：“有 10 个人。” B 说：“有 7 个人。” C 说：“有 11 个人。” D 说：“有 3 个人。” E 说：“有 6 个人。” F 说：“有 10 个人。” G 说：“有 5 个人。” H 说：“有 6 个人。” I 说：“有 4
28、 个人。”那么，这个俱乐部的 11 个成员中，总说谎话的有几个人？分析与解答：由于 9 个人答复出了 7 种不同的人数，而且答复一样的最多是两个人。所以说谎话的不少于 7 人。假设说谎话的有 7 人，则除 B 外，其它答复以下问题的 8 人均说了谎话，与假设消灭冲突；假设说谎话的有 8 人，则答复以下问题的 9 人均说了谎话，消灭冲突；假设说谎话的有 10 人，则只能 1 人说实话，而 A 和 F 都说了实话，消灭了冲突；假设说谎话的有11 人，则没有说实话的，而C 说了实话， 消灭冲突；明显说谎话的有 9 人，答复以下问题的 9 人均说谎话，休息的两人说实话。13、有甲、乙、丙、丁四个人，各
29、对某个两位整数的性质用两句话表述： 甲：“用 2 除余 1”，“用 3 除余 2”。乙：“用 4 除余 3”，“用 5 除余 4”。丙：“用 6 除余 5”，“用 7 除余 6”。丁：“用 8 除余 7”，“用 9 除余 8”。策略：四人中每个人都只说对了一句话，而另一句话是错的。请问这个两位整数是几？通过观看可以觉察四个人的第一句话中除数都是偶数，余数都是奇数；而其次句话中除数都是奇数余数都是偶数。解答此题时要分析除数与余数的特点，利用我们所学的整除学问，先假设再排解，通过否认与确定的层层深入推出正确的结论。详解：为了便于说明，将甲的第一句话用甲，其次句话用甲表示。1.先假设甲是错的。假设甲
30、是错的，乙所说的整数用 4 除余 3，假设用 2 除会怎样呢？用 4 除余 3 的整数，也可以说成是 4 的倍数加上余数 3 的整数。4 是 2 的倍数，那么能被 4 整除的数也肯定能被 2 整除，余数是 3，3 被 2 除余 1。因此甲，乙所说的内容一样，既他们说的都是错的。用同样的思考方法可以说明丙和丁也都是错的。这时可以确定甲、乙、丙、丁、是正确的。从各句话的除数与余数的关系来看，全部话中的余数都是除数减 1，因此满足甲、乙、丙、丁条件的整数应当是3、5、7、9 的公倍数减 1 的整数，而这样的整数最小的是 314，不符合题目要求。2. 假设甲是错的。和1的思考方法一样，假设甲是错的，丙
31、、丁也是错的。想一想，为什么？那么，考虑一下乙说的话，由于丁是错的，所以丁是正确的。因此，乙也是正确的。探究与总结：探究：通过以上的分析，可以知道甲、乙、丙、丁是正确的。那么符合条件的数应当是 2、4、7、8 的公被数减 1 的整数。满足这个条件的 2 位整数只有 55。（1） 想一想，为什么从甲的话开头分析？从另外三个人的话开头分析结果会怎样？总结：（2） 假设所求的数在 1200 之间那么这个数可能会是多少呢？（1） 规律推理要求正确的前提，从正确的前提动身才能推出正确的结论。然而有时我们事先并不知道哪一个推断是正确的，这时我们可以承受假设法解答。依据事物之间的相 对性，先作一个假设，然后
32、依据条件进展推理。假设得到符合条件的结果，那么这个假 设是正确的；假设从这个假设动身，推出冲突，说明这个假设是错误的，可将这种情形排 除，这时就需要我们在相反的前提下重进展推理。（2） 两件相互冲突对立的事情，假设一件是不正确的，另一件就是正确的。4、有一些除法算式，被除数、除数、商都是自然数，它们的和是 178，且商和余数一样。写出全部满足条件的除法算式。分析与解：1. 先由简洁状况考虑（1） 当商和余数是时，被除数-除数、178-2=被除数-+除数178-2 应为1+1倍的除数。（2） 当商和余数是 2 时，被除数-22除数、178-4=被除数-2+除数178-4 应为2+1倍的除数。（3
33、） 当商和余数是 3 时，可以推知，178-6 应为3+1倍的除数。2. 由上面分析可以推知，178+2 应为商+1倍的除数+21180=1180商=0不符合题意2180=290商=1除数=888988=113180=360商=2除数=5811858=224180=445商=3除数=4313243=335180=536商=4除数=3414034=446180=630商=5除数=2814528=557180=920商=8除数=1815218=888180=1018商=9除数=1615316=999180=1215商=11除数=1315413=111110180=1512商=14除数=10由于商=
34、余数除数，不成立。在往下考虑，余数都要大于除数，均不成立。所以符合要求的算式只有上面所列出的八个。14、有一些除法算式，被除数、除数、商都是自然数，它们的和是，且算式中的商和余数一样，满足条件的算式至少有五个，可以是 ，请写出一组符合要求的算式。分析与解：1. 先由简洁状况考虑，设商和余数分别为1、2、3、4、5。1当商和余数是 1 时，+1=11 +1+1=A A-2 应为 2 倍的除数。2当商和余数是 2 时，2+2=22 2+2+2=A A-4 应为 3 倍的除数。（3） 当商和余数是 3 时，可以推知，A-6 应为 4 倍的除数。（4） 当商和余数是 4 时，可以推知，A-8 应为 5
35、 倍的除数。（5） 当商和余数是 5 时，可以推知，A-10 应为 6 倍的除数。2. 由于A-2 是 2 的倍数；A-4 是 3 的倍数；A-6 是 4 的倍数；A-8 是 5 的倍数；A-10 是 6 的倍数，所以A+2应为 2、3、4、5、6 的公倍数。2、3、4、5、6 的公倍数有 60、120、180，A 可以是 58、118、178。当 A 是 58 时，可以写出五个符合要求的算式：2928=113818=224213=334410=44458=55说明：这两个问题都是一题多解的开放性式题，它们考察了学生的运算力量以及和倍问题、孙子定理等根本学问的把握状况，在解答此题时要求学生有很
36、灵敏的观看、归纳、递推的力量，有很强的迁移、转化的数学意识。15、某人从住地外出有两种方案：一种是骑自行车去；另一种是乘公共汽车去。明显公共汽车的速度比自行车的速度快，但乘公共汽车有一个等待时间候车时间可看作固定不变的。在任何状况下，他总是承受花时间最少的方案。下表表示他到达A、B、C 三地承受最正确方案需要的时间。为了到达离驻地 8 千米的地方，他需要花多少分钟？并简述理由。目的地目的地离驻地距离最正确方案所需时间A2 千米12 分钟B3 千米155 分钟C4 千米18 分钟分析与解：从 A、B 两地相差 1 千米，多用 3.5 分钟；而 B、C 两地相差 1 千米，只多用 2.5 分钟。可
37、以推出他到较远的C 地是乘公共汽车，而到较近的A 地是骑自行车。明显去B 地不是骑自行车，由于假设去 B 地承受骑自行车方案，那么需要时间是1223=18分钟，而实际最正确方案只需 155 分钟，故到B 地是乘公共汽车。由 B、C 两地都是乘公共汽车，可知汽车 1 千米需 18155=25分钟，由此可求得候车时间是 18254=8分钟。故到达离驻地 8 千米的地方应当用乘公共汽车的方案，需要8258=28分钟7、中、日双方进展围棋擂台赛，双方各出 5 名超一流棋手，按事先排好的挨次出场竞赛。双方先由 1 号棋手竞赛，负者被淘汰，胜者连续与对方 2 号棋手竞赛，直到有一方队员全部被淘汰为止，另一
38、方获胜，这样形成一个竞赛过程。全部可能消灭的竞赛过程共有252种。分析：中方和日方获胜所能形成的竞赛过程状况是一样的，只需考虑一方。假设中方获胜，获胜的状况又五大类：（1） 一号棋手完毕竞赛：连胜五盘，竞赛过程只有 1 种；（2） 二号棋手完毕竞赛：他胜的场数可能是 1、2、3、4、5，竞赛过程有5 种；（3） 三号棋手完毕竞赛：他胜的场数可能是 1、2、3、4、5。假设胜 1 场：另外 4 场是 1 号或 2 号胜的，40、31、22、13、04，有 5 种竞赛过程。假设胜 2 场：另外 3 场是 1 号或 2 号胜的，30、21、12、03，有 4 种竞赛过程。假设胜 3 场：另外 2 场
39、是 1 号或 2 号胜的，20、11、02，有 3 种竞赛过程。假设胜 4 场：另外 1 场是 1 号或 2 号胜的，10、01，有 2 种竞赛过程。假设胜 5 场：有 1 种竞赛过程。此类共有 15 种竞赛过程。（4） 四号棋手完毕竞赛。他胜的场数可能是 1、2、3、4、5。假设胜 1 场：另外 4 场是 1 号或 2 号或 3 号胜的，400、310、301、220、211、202、130、121、112、103、040、031、022、013、004，有 15 种竞赛过程。假设胜 2 场：另外 3 场是 1 号或 2 号或 3 号胜的，300、210、201、120、111、102、03
40、0、021、012、003，有 10 种竞赛过程。假设胜 3 场：另外 2 场是 1 号或 2 号或 3 号胜的，200、110、101、020、011、002，有 6 种竞赛过程。假设胜 4 场：另外1 场是 1 号或 2 号或 3 号胜的，100、010、001，有3 种竞赛过程。假设胜 5 场：有 1 种竞赛过程。此类共有 35 种竞赛过程。（5） 五号棋手完毕竞赛。他胜的场数可能是 1、2、3、4、5。假设胜 1 场：另外 4 场是 1 号或 2 号或 3 号或 4 号胜的，4000、3100、3010、3001、2200、2110、2101、2023、2023、2023、1300、1
41、210、1201、1120、1111、1102、1030、1021、1012、1003、0400、0310、 0301、0220、0211、0202、0130、0121、0112、0103、0040、0031、0022、0013、0004，共有 35 种竞赛过程。假设胜 2 场：另外 3 场是 1 号或 2 号或 3 号或 4 号胜的，3000、2100、2023、2023、1200、1110、1101、1020、1011、1002、0300、0210、0201、0120、0111、0102、0030、0021、0012、0003，共有 20 种竞赛过程。假设胜 3 场：另外 2 场是 1 号或 2 号或 3 号或 4 号胜的，2023、1100、1010、1001、0200、0110、0101、0020、0011、0002，共有 10 种竞赛过程。假设胜 4 场：另外 1 场是 1 号或 2 号或 3 号或 4 号胜的，1000、0100、0010、0001，有 4 种竞赛过程。假设胜 5 场：有 1 种竞赛过程。此类共有 70 种竞赛过程。中方获胜共有：1+5+15+35+70=126 种竞赛过程，日方获胜的竞赛过程和中方一样，所以，共有 1262=252 种不同的竞赛过程。