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1、2021年河北省邯郸市高考数学模拟试卷（一模）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(5 分)已知集合 4=x l x /3 C.4 D.4 08.（5分）中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于 周礼 春官大师.八 音 分 为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.某同学安排了包括“土、匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要 求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，且“
2、丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为（）A.9 6 0 B.1 0 2 4 C.1 2 9 6 D.2 0 2 1二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.9.(5 分)函 数/(x)=2氐 inxcosx-2sin%+l 的图象向右平移2个单位长度后得到函数g(x)的图象，对于函数g(x),下列说法正确的是()A.g(x)的最小正周期为万B.g(x)的图象关于直线工=.对称24C.g。)在区间-工，与上单调递增4 4D.g(x)的图象关于点(一生,0)对称2410.(5
3、 分)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为。，这个角接近30。，若取9=30。，侧棱长为屈 米，贝1()A.正四棱锥的底面边长为6 米B.正四棱锥的底面边长为3 米C.正四棱锥的侧面积为2 4 6 平方米D.正四棱锥的侧面积为1 2 4 平方米I I.(5 分)新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面 向 2020级本科生开放.该校学生小华选完内容后，其他三
4、位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测.甲说:小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食.乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心.丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝.已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容()A.可能是家常菜青椒土豆丝C.可能是烹制西式点心B.可能是川菜干烧大虾D.可能是烹制中式面食1 2.（5分）已知函数，。）=标+2，-2 轴1,若关于x的方程=恰有两个不同解为，伍 1 其，e0,Z?0,+4Z?=4,则一+的最小值为_ _ _.a b1 5.（5 分）已知函数/。）=加+加
5、 满 足 l i m 二0-2=2,则曲线y =/（x）在点30 x（;,/）处的切线斜率为.1 6.（5 分）在正四棱锥P-A B C O 中，PA =&B ,若四棱锥P-4 8 c 的体积为 空，3则该四棱锥外接球的体积为.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.（1 0分）已知各项均为正数的等差数列%的公差为4,其前项和为S,，且2%为 邑，S3的等比中项.（1）求 4,的通项公式；4（2）设-,求数列依 的前项和7；.1 8.（1 2 分）设A A 3 C 的内角A ,B,C的对边分别为a ,b,c,且满足a c o sB-b c o s
6、 A =c .5（1）求 四 4 的值；t a n B（2）若点。为边AB 的中点，A B=1 0,C D =5,求 8c的值.1 9.（1 2 分）为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复，某市在其辖区内某一个县的2 7 个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中的铅、镉、铭等重金属的含量进行了检测，并按照国家土壤重金属污染评价级标准（清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染）进行分级，绘制了如图所示的条形图.（1）从轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村中按分层抽样的方法抽取6个，求在轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数；（2）规定：轻度污染记污染度
7、为1,中度污染记污染度为2,重度污染记污染度为3.从（1）中抽取的6个行政村中任选3 个，污染度的得分之和记为X,求 X 的数学期望.样品个数io|-2 0.（1 2 分）如图，在直三棱柱AB C-AB C 中，底面4 8 c 是等边三角形，。是 4 c的中点.（1）证明：A 8 J/平面B C Q.（2）若 A4=2A8,求二面角4-AC-G的余弦值.2 1.（1 2 分）已知椭圆C:+与=1（。0）的左、右焦点分别为K，F,离心率为也a h 2且点（孥,-#）在 C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过鸟的直线/与C交于A,B 两点、,若与，求|AB|.22.（1 2分）已知函数/（x）
8、=（x+/.（1）若/（X）在（-8,1 上是减函数，求实数机的取值范围；（2）当 7 =0 时，若对任意的“（0,+o o）,n r/（n x）,（2x）恒成立,求实数的取值范围.2021年河北省邯郸市高考数学模拟试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(5 分)已知集合4=打1 7,=X|X*2 -4X-5 0,A C&B)=()场.2 1.。2 。1 2tantz 1-tan2 a故sin a sin2a-cos a =sm2a cos2a=x-2 2 2 1 +tan a 1 +tan*
9、-a故选：D.4.（5 分）函数/（幻二 的 部 分 图 象 大 致 是（）cosx-1A.(5,7)B.(1,5)C.(-1,1)D.(-1,1)U(5,7)【解答】解：集合A=xlx7,3=x|x2-4x-5效 0=x|-l A?5,dwB=x|x 5,/.Ap|(B)=x|5x7=(5,7).故选：A .2.(5 分)已 知 复 数 竺=4-初，a,b e R,则a+6=()iA.2 B.-2 C.4 D.6【解答】解：里=4 一方，.2+ai=i(4-/”)=6+4i,i则 =4,b=2 ,故 Q+Z?=6.故选：D.3.(5 分)已知 2sin(/r-a)=3sin(至+a),则 s
10、in%-L sin2a-cos2 a =().,j r【解答】解：已知2sin(九 一 a)=3sin(+c),2Q整理得 2sina=3cosa,所以 tana=-，21【解答】解：由cosx w 1得 X。2攵 f（_x）=x=-/（x）,则函数/（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除3,cosx-1当 0 c x e c 时，cos x-1 0,贝!/（x）9.3 9.1 ,故 C 正确；D：两班的德育分相等，智育分相差9.5-9 =0.5,体育分相差9.5-9 =0.5,美育分相差9.5-9 =0.5,劳育得分相差9.3-8.5=0.8,劳育得分相差最大，所以。错误.故选：C .6.（
11、5 分）已知抛物线C:/=8 x 的焦点为尸，P为 C在第一象限上一点，若 P 尸的中点到y轴的距离为3,则直线P F的斜率为（）A.7 2 B.2 应 C.2 D.4【解答】解：由抛物线的方程可得焦点尸（2,0）,设尸的,）,0,可 得 依 的 中 点 的 横 坐 标 由 题 意 可 得 山 =3,所以?=4,2 2将 m =4 代入抛物线的方程可得：/r=8 x 4,可得 =4 衣，即 P（4 ,4A/2）,所以 k=2 五,4-2故选：B.x2 v27.（5分）设巴，巴是双曲线C i 1-=1 的两个焦点，。为坐标原点，点 P 在 C 的左支上，且 也 竺+笆 竺=2 若，则 片 鸟 的
12、 面 积 为（）OP OPA.8 B.8百 C.4 D.4 7 3【解答】解：由W+隹 9=2 百，可得|Q P|=2 百，OP OP片，鸟是双曲线C：彳r2-1v2=1 的两个焦点，不妨设耳（2 6,0）,月（2 百,0）,所以l O P b g l E I，所以点P 在以入为直径的圆上，即/56 工是以P 为直角顶点的直角三角形，故|%|2+1 PR|2=|耳用 I2,即 IP4 1+1 尸 玛|2=48.又 IIP用一|鸟|=2.=4,所以 16斗 P6|-|2=|PF+PF212-2PFt PF2=48-2PFPF2,解得I PG II产入1=16,所以S p/=g l 尸 耳 用=8
13、故选：A.8.(5 分)中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于 周礼 春官大师.八 音 分 为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.某同学安排了包括“土、匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要 求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为()A.960 B.1024 C.1296 D.2021【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论：“丝”被选中：不同的方式种数为2=第号6 团-盘&隹&=
14、720种；“丝”不被选中：不同的方式种数为=576种.故共有N=720+576=1296种排课方式，故选：C.二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.9.(5 分)函 数/(x)=2G sinxcosx-2sin2x+l 的图象向右平移卷个单位长度后得到函数g(x)的图象，对于函数g(x),下列说法正确的是()A.g(x)的最小正周期为万B.g(x)的图象关于直线犬=包对称24C.g(x)在区间-工，工 上单调递增4 4D.g(x)的图象关于点(_ 3,0)对称24【解答】解：
15、因为/(x)=2V3sinxcosx-2sin2 x+1 =2sin(2x+),6其图象向右平移看个单位长度后得到函数g(x)=2sin2(x-6+?=2sin(2x+)的图象,所以g(x)的最小正周期为万，A正确；当工=2时,2471 712x+=12 2此时函数取得最大值 飘、)的图象关于直线、=与 对称，3正确;当侬-行 时c 4 r 5 4 九、2x+G-,12 12 12g(x)在区间-&，工 上单调递增是不正确的，C错误;4 4当工=时，2X+-=-7T,24 12函数g(x)的图象关于点(-臣,0)对称，O正确.24故选：A BD.10.(5分)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构
16、形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑,园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四楂锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为。，这个角接近30。，若取9=30。，侧棱长为百 米，贝 1()A.正四棱锥的底面边长为6米B.正四棱锥的底面边长为3米C.正四棱锥的侧面积为24招 平方米D.正四棱锥的侧面积为12 平方米【解答】解：如图，在正四棱锥S-A 8C。中，。为正方形ABC。的中心，SH 1 A B,设底面边长为2 a.正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为0,这个角接近30。，若取。
17、=30,4SHO=30,所以 OH=a,OS=a,SH =空（1 .3 3在 RtASAH中，/+（竽“）2=21,所以a=3,底面边长为6 米,SX6*2A/5X4=245/5 平方米.2故选：AC.1 1.（5 分）新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面 向 2020级本科生开放.该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测.甲说:小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食.乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心.丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝.已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全
18、不对，由此推断小华选择的内容（）A.可能是家常菜青椒土豆丝 B.可能是川菜干烧大虾C.可能是烹制西式点心 D.可能是烹制中式面食【解答】解：若甲说的全对，则小华选的是烹制中式面食，所以乙全错，丙对了一半，故满足题意，若乙说的全对，则小华选的是烹制西式点心，所以甲对了一半，丙全对，故不满足题意，若丙说的全对，则小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝，所以小华选的是川菜干烧大虾，所以甲全错，乙对了一半，故符合题意，综上推断小华选的是烹制中式面食或川菜干烧大虾,故选：BD.1 2.(5 分)已知函数，。)=标+2，-2 融1,若关于x的方程=恰有两个不同解为，bvc-,其，e x2),则(
19、/-司)/(与)的取值可能是()A.-3 B.-1 C.0 D.2 初免初n物、12*+2,-2皴 1【解答】解：函数/(%)=，/M X-1,1 x,y e因为/(1)=相的两 根 为 W(X X2=6 叫利(一1,。,从而(/一毛)/(%2)=3山-m)m =me,n+l-胃+m.令 g(x)=双严|-gf+X,X G(-1,0,则 g (x)=(x +l)e，x +1 ,x E(1 f 0,因为 x c(-l,0 ,所以 x +l 0,ex+I e=1 f-x +1 0,所以g 0在(-1,0 上恒成立，从而 g(x)在(-1,0 上单调递增.又 g(0)=0,g(1)=3,所以 g(x
20、)e(9,0J ,即(工2-办)/&)的取值范围是(一|,0故选：BC .三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.(5 分)已知平面向量a =(3,4),非零向量万满足5 _ L a,则万=_(4,3)_.(答案不唯写出满足条件的一个向量坐标即可)【解答】解：平面向量=(3,4),非零向量5满足5 _L 1,设 5 =(x,y),则无 5 =3 x +4 y=0,二.可以取月=(4,3).故答案为：(4-3).4 914.(5 分)已 知。0,b 0,o +4 b =4,则一+二的最小值为 1 6.a b【解答】解：:。，b0,a +4 b =4
21、,+=(+)(a +4b)x a b a b 4=(-+4 0)x-.(27 14 4 +4 0)x 1=16 ,a b 4 4当 且 仅 当 他=%,又.。+4 6 =4,即。=1,人=3时取等号,a b 4.42+NQ的最小值为16.a h故答案为：16.15.（5分）已知函数/（%）=加?+而 满 足 l i m 幽山3A T 03 D x=2,则曲线y=/（x）在点处 的 切线斜率为3.【解答】解：函数.f（X）=G：2+/“，可 得/（X）=2o r +2,Xl i m/(1)-/(1-3：U)=2 W2l i m/(1)-/(1-W)=2)八5)3 D x3 D2E U7即:广（1
22、）=2,所以r（1）=3,可得3 =2 +1,解得a=1 ,所以r（x）=2 x+L rd）=2 x 1+2=3,x 2 2故答案为：3.16.（5分）在正四棱锥P-4 B C D 中，PA =&B ,若四棱锥P-A B C D 的体积为 变,3则该四棱锥外接球的体积为.一 3 1【解答】解：设 A C,3。的交点为E,球心为。，设 A B=a,;近PA =亚1A B,则 A,E=a 1 PA.=-a,2 2PE=-J P -A E2=-fia,四棱锥P-A B C D的体积为,3/.a2-PE=a =4 /2,3 3在 RTA O3 E 中，OB2=O E2+EB2 R2=(8-/?)2+1
23、6=/?=5 ,该四棱锥外接球的体积为:4万内 5 00-=-71 3 3故答案为：迎工3P四、解答题：本题共6 小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知各项均为正数的等差数列 凡 的公差为4,其前项和为S,且2%为$2,名的等比中项.（1）求 q 的通项公式；（2）设 =一，求数列 2 的前八项和7；.【解答】解：（1）因为数列 凡 是公差为4的等差数列，3 x 2所以阻=%+4,S?=2 a+2）,53=3）+=、4 =3（4 +4）.（2 分）又4a；=S2s 3，所以4 +4）2=6（a,+2）（a,+4）,即（q +4）（-2）=0,解得q=2或
24、4=T （舍去），（4分）所以4,=2 +4（-1）=4-2.（5 分）4（2）因为勿=-4（4/2 2）（4 +2）4/?2 4 +2二，（7 分）所以骞=4 -vb2+.4-bn_+bn1111-1-F +112 6 6 10-+-.（8 分）4/t-6 4 -2 4 -2 4 +2-（9分）2 4/7 +2.（1 0 分）2/7+11 8.（1 2分）设A A 3C的内角A ,B ,C的对边分别为，b ,c ,且满足a c o s B-b c o s 4 =2 c .5（1）求位的值;t a n B（2）若点。为边45的中点，A8 =1 0,CD=5,求8c的值.【解答】解：（1）由正弦
25、定理知，s i n A s i n B s i n C,:acosB-hcosA=c,5/.s i n Ac o s B-s i n B c o s A =s i n C =s i n(A+B)=(s i n Ac o s B+c o s As i n B),2 Q化简得，s i n Ac o s B =c o s As i n B ,5 5t a n A=4 t a n B,即 n=4 .t a n B(2)作 C E _ LAB 于 E,t a n A=q,t a n 8 =.AE BEt a n 4t a n B=4,B P B E=4 A E,AE.点。为边43的中点，且4 B =1
26、0,BD=A D =5,A E =2,DE =3,在 Rt AC D E 中，CE=ylCD2-D E2=7 52-32=4,在 Rt AB C E 中，BE=BD+D E =8,r.B C 7BE?+C E?=后+4 2 =46.1 9.（1 2分）为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复,某市在其辖区内某一个县的2 7个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中的铅、镉、铭等重金属的含量进行了检测，并按照国家土壤重金属污染评价级标准（清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染）进行分级，绘制了如图所示的条形图.（1）从轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村中按分
27、层抽样的方法抽取6个，求在轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数；（2）规定：轻度污染记污染度为1,中度污染记污染度为2,重度污染记污染度为3.从（1）中抽取的6个行政村中任选3个，污染度的得分之和记为X,求X的数学期望.样品个数【解答】解：（1）轻度污染以上的行政村共9 +6 +3 =1 8个，所以抽样比为：1 8 3所以从轻度污染的行政村中抽取x 9 =3个，中度污染的行政村抽取x 6 =2个,3 3重度污染的行政村抽取1 x 3 =1个.3（2）X的所有可能取值为3,4,5,6,7,“）一可一历P(X=5)=C f；3T oP(X=6)=半CC=33C：1 0C2 IP(X =7)
28、=T =一c；2 0.X的分布列为:X34567P12 031 03W31 012 01 3 3 3 1.,(X)=3 x +4 x +5 x +6 x +7 x =52 0 1 0 1 0 1 0 2 02 0.（1 2分）如图，在直三棱柱AB C-A Bq中，底面AB C是等边三角形，。是A C的中点.（1）证明：A 5 /平面B G O.（2）若 A 4,=2 4 3,求二面角耳-A C-G的余弦值【解答】（1）证明：记 4C0|BG=E,连接3 E.由直棱柱的性质可知四边形8 C G 片是矩形，则 E为的中点.（1 分）因为。是 4C的中点，所以D E/A B（2分）因为A 4U平面B
29、 C Q,OEu平面BCQ,所以4 片/平面B C Q （4分）（2）解：因为底面A B C 是等边三角形，。是 A C的中点，所以8 _ L4 C,由直棱柱的性质可知平面A B C，平面A CGA，则平面A CC/.（5分）取 A G的中点尸，连接。尸，则 NM,DC,。尸两两垂直，故以。为原点，分别 以 丽，觉，丽的方向为x，y,z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 -x y z.设 钻=2,则 A(0,-l,0),C(0,l,0)，4(7 5,0,4),从 而/=(0,2,0),诟=(6,1,4)(6 分)设平面48c的法向量为元=（x,y,x）,则 产 2 y =0n-AB】=
30、y/ix+y +4 z =0令 x =4.得元=(4,0,(8 分)平面ACG的一个法向量为沅=（1，0，。），（9 分）则 c o s 沅,n)=fn-n _ 4 _ 4/1 9tnn 晒 1 9（1 1 分）设二面角线一 AC-0为9,由图可知。为锐角，则c o sO=|c o s 玩，万|=凶 9.（1 2 分）1 92 1.（1 2 分）已知椭圆C:+=1（4。0）的左、右焦点分别为巴，F2,离心率为它,a b 2且点（竽,-9）在 C上.（1）求椭圆c的标准方程；（2）设过工的直线/与C交于A,B两点，若求|A B|.【解答】解：（1）由题意可知:C yfla T4 1/3+屏3 一
31、|a2=b2+c2a=42解得：b =1 ,c=2.椭圆C的标准方程为：+/=1.2（2）易知6（1,0）,当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y =Mx-1）,设 4（%，y）,B（X2,y2）,y=k（x-）联立方程，炉 ，消去y 得：（1 +2 公 2 4公工+2 女？-2 =0,+y =124k2 2 二 一2-1 +2 公 勺-1 +2 公A q,y）,B（X2,y?）在椭圆。上，.I A耳|=Ja+1）.+y j=J x；+2西 +1 +1 -千=J；（玉 +2）2 ,.I BF|=J（w+1）2 +y 2 2 +2 x,+1 +1-=+2）2 ,-，1 /l/0,n 0 ,所以
32、-。优一加几.0 对于任意的x w(0,+o o)恒 成 立.(6 分)n2 4 1设(%)=/一。比 一/7,%0,0 ,贝|J (x)=/.n n x因为函数y =e 2*和丫=-在(0,内)上均为单调递增函数，X所以函数hx)在(0,+8)上单调递增.当 x-0 时，hr(x)0 .故存在 x(0,4O，使得/(x 0)=3e 2*-!=0,即 2e2%=_L(8 分)n xQ n 2 x()当 X(O,X o)时，hx)0 .所以力。)在(0,%)上单调递减，在(为,+8)上单调递增，故 h(x)min=力(X。)=e2 Xn-lrucQ-Inn=-lnx-妨儿.。恒 成 立.(9 分
33、)n 2 x0又由-e2 x,-=0 ,得=4X(；/而，n%所以 h(x)=2 x0-2/r t J C()-2 加2.0 恒 成 立.(1 0 分)2 玉)因为y =_ 2 x 和 y =-2/，犹在(0,+o o)上单调递减，2 x所以函数(x 0)在(0,+o o)上单调递减.因为；)=0,所以飞w(0,J (1 1 分)因为函数丫=4*和 =/*在(0,+c o)上单调递增，且 4x 0,e2 x 0.所以函数=4X(/M在(0,J 上单调递增，所以0%2e,即实数的取值范围是(0,2 e.(1 2 分)法二：对任意的x (0,-K O),n r历(n x),/(2 x)恒成立，即心/(心),，2 泥2 一恒成立，亦即/”3)/(心),，2.2 一恒成立(6 分)因为f(%)=x e*,所 以/(x)=(x +l)e,易知/(x)=x e，在(0,+8)上单调递增，.且在(-8,0)上/(%)，则 g(x)=G*I)，-.(9 分)XXT当 时，g(x)0 .则 g(x)在(0,g)上单调递减，在 g,+8）上单调递增，所以g（x“,=g g）=2 e,（1 1 分）所以4,2 e,显然”0,故实数的取值范围是（0,2 e .（1 2 分）