《2021年河南省洛阳市涧西区中考数学一模试卷（含解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年河南省洛阳市涧西区中考数学一模试卷（含解析）.pdf（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年河南省洛阳市涧西区中考数学一模试卷一、选 择 题（共 io 小题）.1.下面四个数中比-3 小的数是（）A.2 B.0 C.-2 D.-42.聪聪在阅读一篇文章时看到水分子的直径约为0.4纳米，通过百度搜索聪聪又知道1 纳米=10-9米，则水分子的直径约为（）A.4X10-1。米 B.0.4X10 10C.4X10”米 D.4X10-8米3.如图，A C/B D,AO与 BC相交于点O,若NAOB=85,ZB=40,则/A 的度数为（）A.75B.60C.45D.304.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与 神”字所在面相对的面上的汉字是（）A.
2、发 B.扬 C.三 D.牛5.有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里放有四个完全一样的球，标号分别为1、2、3、4；乙袋子里装有三个完全一样的球，标号分别为1、2、3,分别从甲、乙两个袋子里各拿出一个球，两个球标号相同的概率是（）A.B.C.D.6 4 3 26.下列计算正确的是（）A.（-3加）2=6 2 4B.-6a3b-3ab=-2a2hC.(足)3 一(5 3)2=0 D.(a+1)2=a2+l7.某商场今年2月份的营业额为4 0 0万元，3月份的营业额比2月份增加1 0%,5月份的营业额达到6 3 3.6万元.若设商场3月份到5月份营业额的月平均增长率为x,则下面列出的方程中正确的是()
3、A.6 3 3.6 (1+x)2=4 0 0 (1+1 0%)B.6 3 3.6 (l+2 x)2=4 0 0 X (1+1 0%)C.4 0 0 X (1 +1 0%)(1+2 x)2=6 3 3.6D.4 0 0 X (1 +1 0%)(1+x)2=6 3 3.68 .如图，在平面直角坐标系x O y中，直线 =后 经 过 点A,作轴于点8,将A B O绕点H顺时针旋转6 0 得到 B C D,若点B的坐标为(2,0),则点C的坐标为()99 .如图，在平面直角坐标系中，直 线 尸2 x与反比例函 数 尸 二(Q0)的图象交于点人 将x直线y=2 r沿y轴向上平移z个单位长度，交y轴于点3
4、,交反比例函数图象于点C若OA =2 B C,则 用的值为()2 31 0 .如图，在 A B C中，分别以点2,C为圆心，以 大 于 的 长 为 半 径 画 弧，两弧分别交于M,N两点，作直线M N,分别交A C,B C于点。，E,若N 4 B C=1 0 5 ,B D LA C,且8 c=2,则A B。的周长为()ANA.3近 点B-3炳-二、填 空 题（每小题3 分，共 1 5 分）1 1 .写出一 个 比 听 大 比/五 小 的 整 数.，区41 2 .不等式组 3 的解集是.-2x-l31 3 .飞机着陆后滑行的距离s （单位：，）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s=6 0
5、-1.5 凡 飞机着陆后滑行 米才能停下来.1 4 .如图，将半径为1 的半圆。，绕着其直径的一端点A顺时针旋转30。，直径的另一端点B的对应点为B O的对应点为（7,则图中阴影部分的面积是1 5.在矩形A B C 力中，A B=2,B C=4,点 E在边BC上，连接。E,将 C D E 沿 OE折叠,若点C的对称点C到A D的距离为1,则C E的长为三、解 答 题（8 个小题，共 75分）21 6.先化简，再求值：x-卢+l+（早 _ 彳+1）,其中x满足N-尤-2=0.x2-l x+11 7.20 20 年是全面建设小康社会实现之年，是脱贫攻坚战收官之年.某县政府派出调查小组对农村地区经济
6、情况进行摸底，以便出台更精准的扶贫政策.调查小组开展了一次调查研究，请将下面的过程补全.收集数据 调查小组计划选取4、B两村各2 0 户上一年度家庭收入作为样本，下面的取样方法中，合理的是 （填字母）；A.随机抽取A、8两村各20 户上一年度家庭收入组成样本B.抽取4、B两村各20 户上一年度家庭收入较好的组成样本C.抽取4、B两村各20 户上一年度家庭收入较差的组成样本 整理数据 抽样方法确定后，调查小组获得的数据（单位：万元）如下：A 村：1.8,1.5,2.2,2.4,2.4,2.2,2.6,2.0,1.8,2.1,1.6,2.0,2.4,2.4,2.1,3.0,3.2,2.8,2.7,
7、2.88 村：1.6,1.7,2.2,2.2,2.1,2.2,2.2,3.0,2.8,2.2,1.5,1.8,2.0,2.2,2.6,2.8,3.1,3.0,2.8,2.0 描述数据 按如下分段整理，描述这两组样本数据：上一年度家庭收入（单位：万元）1.5 22 2.52.5 33x 3.54村4a4hB村4943 分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示:平均数中位数众数村2.3C2.4B村2.32.22.2 得出结论 请根据以上数据，回答下列问题：（1）在 收集数据 阶段，取 样 方 法 合 理 的 是 （填字母）;（2）填空：a=,b=,c=；（3）若 4村有30 0 户人
8、家，请估计4村上一年度家庭收入不少于2.5万元的户数；（4）结合这两组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为4村和8村中哪个经济比较好？请至少从两个方面说明理由.1 8.如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地 到 C地需经8地行，已知B地位于A地北偏东67 方向，距 4地 3 9（W n,C 地位于B 地南偏东3 0 方向，若打通穿山隧道，建成两地直达公路，求公路A C的 长（结果保留整数），（参考数据：s i n 67。弋-c o s 67 555-7：ta n 67 7 3)l o 1 3 b北东1 9.甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y （米）与登山时间x（分
9、）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟 米，乙在A地时距地面的高度b为 米.（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中,距地面的高度y （米）与登山时间x （分）之间的函数关系式.（3）在（2）的条件下，登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？付（米）/,垂足为。，C O与 交 于 点E,连接0 4,B E,A E,B E交0 A于点F.（1）求证：AQ E四ER 4；（2）若 B C=4,连接 A8,当4 8=时，四边形0 CE4为菱形；当AB=时，四边形AF E。为正方形.D21.在平面直角坐标
10、系xOy中，点 4 的坐标为（0,4）,点 B 的坐标为（6,4）,抛物线yx2-5x+a-2 的顶点为 C.（1）若抛物线经过点B时，求顶点C 的坐标;（2）若抛物线与线段4 8 恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围.22.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程.结合已有的学习经验，请画出函数y=-一3 一的图象并探究该函数x”+2（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“作答，错误的用“X”作答）：函数y=-一翼一的图象关于y 轴对称；x+219当x=0 时，函数），=-有最小值，最小值为
11、-6；,X2+2在自变量的取值范围内函数y 的值随自变量x 的增大而减小.（3）已知函数y=-1-当的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式一19 -o奈-岑10的 解 集.X2+2 3 32 3.在ABC 中，AB=AC,NBAC=a，点 D 为 AB 边上一动点,ZCDE=a,CD=ED,连接BE,EC.(1)问题发现：如图，若a=60 ,则N EBA=,与E B的数量关系是；(2)类比探究：如图，当a=1 2 0。时，请写出/E 8 A的度数及A O与E B的数量关系并说明理由；(3)拓展应用:如图，点E为正方形A 8 C。的边A 8上的三等分点，以。E为边在。E上方作正方形
12、D E F G,点。为正方形O E F G的中心，若0 A=2&,请直接写出线段E F的长度.图图 图参考答案一、选 择 题（每小题3 分，共 30分）1.下面四个数中比-3 小的数是（）A.2 B.0 C.-2 D.-4【分析】有理数大小比较的法则：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.解：根据有理数比较大小的方法，可得-3 2,-3 0,-3 -4,四个数中比-3 小的数是-4.故选：D.2 .聪聪在阅读一篇文章时看到水分子的直径约为0.4 纳米，通过百度搜索聪聪又知道1 纳米=1 0 一 9 米，则水分子的直径约为（）A.4 X 10
13、-1。米 B.0.4 X l（）r。米C.4 X 1 0”米 D.4 义10一 8 米【分析】绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为4 X 1（/,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定.解：0.4 纳米=0.4 X 10-9 米=4 x 10-1。米.故选：A.3 .如图，A C/B D,AO与 BC相交于点O,若乙4。8=8 5 ,4 8=4 0,则NA的度数为)A.75 B.60 C.45 D.30【分析】先利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等可求出N C 的度数为，再利用三角形aA O C 外
14、角和定理求得N 4 的度数.解：AC/BD,NB=40,；./C=/B=4 0 ,./AOB=NC+NA,NAOB=85,A ZA=85-40=45,故选：C.4.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“神”字所在面相对的面上的汉字是（）A.发 B.扬 C.三 D.牛【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可.解：由正方体的表面展开图的“相间、Z 端是对面”可知，“发 与“三”是对面，“扬”与“精”是对面，“牛”与“神”是对面，故选：D.5.有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里放有四个完全一样的球，标号分别为1、2、3、4；乙袋子里装有三个完全一样的球，标
15、号分别为1、2、3,分别从甲、乙两个袋子里各拿出一个球，两个球标号相同的概率是（）【分析】画树状图，共 有 12 个等可能的结果，其中两个球标号相同的结果有3个，再由概率公式求解即可.解：画树状图如图：开始共 有 12 个等可能的结果，其中两个球标号相同的结果有3个，两个球标号相同的概率为最=J,12 4故选：B.6 .下列计算正确的是()A.(-3 拄)2=6a2b4 B.-6a3b+3ab=-2a2bC.(a2)3-(-)o D.(a+1)2=出+1【分析】根据整式的运算法则即可求出答案.解：A、原式=9 出巩 故 A错误.B、原式=-2,，故 3错误.C、原式=6-4 6 =0,故 C正
16、确.D、原式=a 2+2 a+l,故。错误.故选：C.7 .某商场今年2 月份的营业额为400万元，3 月份的营业额比2 月份增加10%,5 月份的营业额达到633.6万元.若设商场3 月份到5 月份营业额的月平均增长率为x,则下面列出的方程中正确的是()A.633.6(1+x)2=400(1+10%)B.633.6(l+2x)2=400X (1+10%)C.400X (1+10%)(l+2x)2=633.6D.400X (1+10%)(1+无)2=633.6【分析】设平均增长率为x,由题意得出400X (1+10%)是 3 月份的营业额，633.6万元即5 月份的营业额，根据三月份的营业额X
17、 (1+x)2=五月份的营业额列出方程即可.解：设 3 月份到5 月份营业额的月平均增长率为x,根据题意得，400X(1+10%)(1+x)2=6336故选：D.8.如图，在平面直角坐标系宜万中，直线经过点A,作 AB_Lx轴于点B,将AB。绕点8 顺时针旋转6 0 得到B C D,若点B 的坐标为（2,0）,则点C 的坐标为（）/T?A.（5,）B.（-2,）C.（-,1）D.（-73 2）【分析】求出点A 的坐标，再利用勾股定理列式求出O A,然后判断出NC=30,CDx 轴，再根据直角三角形3 0 角所对的直角边等于斜边的一半求出B E,利用勾股定理列式求出C E,然后求出点C 的横坐标
18、，再写出点C 的坐标即可.解：Y A BLr轴于点B,点 8 的坐标为（2,0）,7=2-3.点4 的坐标为（2,2 ）,；.A 8=2 ,OB=2,由勾股定理得，O A=J/柏（2）2+22=4,A ZA=30,/AOB=60,/ABO绕点B顺时针旋转6 0 得到BCD；./C=3 0 ,CCx 轴，设 AB 与 CO 相交于点 E,则 B E B C=-A B X 2 =,C=VBC2-BE2=3）二点 C 的横坐标为3+2=5,.点C 的坐标为（5,）.故选：A.9.如图，在平面直角坐标系中，直线y=2 r与反比例函数=三（0）的图象交于点A.将x直线y=2x沿 y 轴向上平移机个单位长
19、度，交 y 轴于点8,交反比例函数图象于点C若O A=2 B C9则m的 值 为（）o oA.2 B.C.3 D.2 3【分析】解析式联立，解方程求得A 的横坐标，根据定义求得C 的横坐标，把横坐标代入反比例函数的解析式求得C的坐标，代入y=2x+m 即可求得m的值.解：直线y=2x与反比例函数y=2 （x 0）的图象交于点A.X 二 解 2 x=2 求得x=1,X A 的横坐标为1,：O A=2 B Cf C 的横坐标为,1 9把无=7；代入y=一得，y=4,2 x：.C（5，4）,2 将直线y=2x沿 y 轴向上平移m个单位长度，得到直线y=2x+m,，把C的坐标代入得4=1+加，求得加=
20、3,故选：C,1 0.如图，在ABC中，分别以点B,C 为圆心，以大于a B C 的长为半径画弧，两弧分别交于M,N 两点，作直线M N,分别交AC,B C 于点、D,E,若NABC=105。，BDVAC,且 8 C=2,则48。的周长为（）【分析】利用线段的垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质可求NOBC=45,B D=*BC=再根据含30。的直角三角形的性质和勾股定理可求4B,4力，再根据周长的等腰三角形的定义即可解决问题.解：.OE垂直平分线段BC,：.D B=D C,B D _LA C,NAB=N5QC=90,：.ZD B C=45 ,B C=2,:.BD=BC=,V ZABC=10
21、5 ,A ZA B D=60 ,A ZA=30,:.A B=2B D=2 近,在 RtAOB 中，AD=7ABM2=V6AABD的周长为2近+后+a=3&+通.故选：A.二、填 空 题（每小题3 分，共 15分）H.写 出 一 个 比 大 比 J 五小的整数【分析】先确定有和丁五的整数部分，再选择符合条件的整数即可.解：V 2 77 3 3 V 11 41 2.不等式组 3k 的 解 集 是 x26.2x-l 4短(1)-2x-l -2,不等式组的解集是x26,故答案为：x26.13.飞机着陆后滑行的距离s(单位：，)关于滑行的时间t(单位：s)的函数解析式是s=60r-1.5凡 飞机着陆后滑
22、行6 0 0 米才能停下来.Q Q解：V s=-铲+60f=-(r-20)2+600,.当 Z=20时，s 取得最大值6 0 0,即飞机着陆后滑行600米才能停下来，故答案为：600.14.如图，将半径为1 的半圆O,绕着其直径的一端点A 顺时针旋转30,直径的另一端点 B 的 对 应 点 为。的对应点为。，则图中阴影部分的面积是 3-瓜 一2 1 2 一解：连接。D、B D,/AB=30,NAO)=120,的是半圆O 的直径,A AADB=90,又/4 AB=30,：.B D=-AB=1,由勾股定理得，AD=M=30。，：.ZCDC=60,A ZCDE=ZCDC=30,2A C E=C D
23、Xt an 300=2 X 返=4/；3 3%J如图2,当点。落在矩形A B C。的外部，过点。作CG，A 于点G,则C G=1,同理 C =C O=2,：.ZCDG=30,：.ZCHD=60,;矩形 A B C。中，AD/BCf：.ZCHD=ZHBC=60,A DBC=Z.HBC=3(,2：.CE=2-/j.综上可得，CE的 长 为 竿 或2 y.故答案为：乎或2 y.三、解 答 题（8个小题，共75分）oX，-2x+l .(x-1丁X1 6.先化简，再求值:2 1x -1x+17+1）,其中x满足1 2-冗 一2=0.解：原式(x+1)(x-l)X-l .-x(x-l)x+1 x+1x-l
24、 x+1x+1 -x(x-l),XV x 满足 x2-x-2=0,.*.%=-1 或冗=2,又.x W l且x WO,.*.x=2,则原式=1 7.2020年是全面建设小康社会实现之年，是脱贫攻坚战收官之年.某县政府派出调查小组对农村地区经济情况进行摸底，以便出台更精准的扶贫政策.调查小组开展了一次调查研究，请将下面的过程补全.收集数据 调查小组计划选取A、B两 村 各2 0户上一年度家庭收入作为样本，下面的取样 方 法 中，合理的是 （填 字 母）；A.随 机 抽 取A、8两 村 各20户上一年度家庭收入组成样本B.抽 取A、B两 村 各20户上一年度家庭收入较好的组成样本C.抽 取A、B两
25、 村 各20户上一年度家庭收入较差的组成样本 整理数据 抽样方法确定后，调 查 小 组 获 得 的 数 据（单位：万 元）如下：A 村：1.8,1.5,2.2,2.4,2.4,2.2,2.6,2.0,1.8,2.1,1.6,2.0,2.4,2.4,2.1,3.0,3.2,2.8,2.7,2.8B 村：1.6,1.7,2.2,2.2,2.1,2.2,2.2,3.0,2.8,2.2,1.5,1.8,2.0,2.2,2.6,2.8,3.1,3.0,2.8,2.0 描述数据 按如下分段整理，描述这两组样本数据：上一年度家庭收入（单 位：万 元）1.522 2.52.533 3.5A村4a4b8村494
26、3 分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：平均数中位数众数A村2.3C2.4B村2.32.22.2 得出结论丁请根据以上数据，回答下列问题：（1）在 收集数据 阶 段，取 样 方 法 合 理 的 是4（填 字 母）；（2）填 空：a 1 0,b 2,c 2,3；（3）若A村 有300户人家，请 估 计A村上一年度家庭收入不少于2.5万元的户数；（4）结合这两组样本数据的平均数、中位数和众数，你 认 为A村 和B村中哪个经济比较好？请至少从两个方面说明理由.【分析】(1)根据抽样调查的可靠性解答可得;(2)根据所给数据计数即可得；(3)求出A 村收入不小于2.5万元的家庭所占得
27、百分比即可得到结论；(4)根据中位数、众数、平均数进行判断即可.解：(1)根据样本的广泛性和代表性可知，取样方法中，合理的是：A.随机抽取A、B两村各20户上一年度家庭收入组成样本，故选：A；(2)由统计频数的方法可得，a=10,b=2,将 A 村家庭收入从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为4 2 1 之全=2.3,因此中位数是2.3万元，即 c=2.3,故答案为：10,2,2.3；4+9(3)300X-=9 0 (户)，20答：A 村有300户人家中一年度家庭收入不少于2.5万元的大约有90户；(4)A 村的比较好，理由为：由于A 村、8 村的平均数相同，而 A 村的中位数、众数都比
28、B村的高，所以A 村的经济情况比较好.1 8.如图，C 地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，由A 地到C 地需经8 地行，已知B 地位于A 地北偏东6 7 方向，距 A 地 390M2,C 地位于B 地南偏东3 0 方向，若打通穿山隧道，建成两地直达公路，求公路A C 的长(结果保留整数),(参考数据：sin67-Y-COS67 tan67 弋洛：73)lo lo b北东【分析】过点8 作 2J_AC于点D,利用锐角三角函数的定义求出4。及 C。的长，进而可得出结论.解：过点B 作 8。，4 c 于点。，地位于A 地北偏东6 7 方向，距 A 地 390公”.在 RtZA8 中，NABD=67
29、,：.AD=AB-sin67 3 9 0 X*=3 6 0 6.135BD=ABcos67 390X=150te.13V C 地位于B 地南偏东30。方向，在 RtaBOC 中，ZCBD=30,A CD=BD*t a n300=150X-=50,/3(相).3：.AC=AD+CD 360+5073446.5(k m).AG447(k m).答：公路AC的长约为447h”.1 9.甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟1 0 米,乙在4 地时距地面的高度6 为3 0 米.
30、（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3 倍，请求出乙登山全程中,距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式.（3）在（2）的条件下，登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？米）300.#.D【分析】(1)根据速度=高度+时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度=速度X时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值；(2)分 0 W x W 2 和 x2两种情况，根据高度=初始高度+速度X时间即可得出y关于x的函数关系；(3)当乙未到终点时，找出甲登山全程中y关 于 x的函数关系式，令二者做差等于5 0即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x值；当乙到达终点时，
31、用终点的高度-甲登山全程中y关于x的函数关系式=5 0,即可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x 值.综上即可得出结论.解：(1)(3 0 0-1 0 0)+2 0=1 0 (米/分钟)，6=1 5+1 X 2=3 0.故答案为：1 0;3 0.(2)当 0 W x W 2 时，y=1 5 x；当 x 2 时，y=3 0+1 0 X 3 (x-2)=3 0A-3 0.当 y=3 0 x-3 0=3 0 0 时，x=l l.乙登山全程中，距地面的高度y (米)与 登 山 时 间 无(分)之间的函数关系式为y=，1 5 x(0 x 2)(3 0 x-3 0(2 x.4 0 8 是等腰直角三角形，
32、:.A B=0 B=2 .，A8=2衣 时，四边形AFED是正方形.故答案为：2 1.在平面直角坐标系xOy中，点 4 的坐标为（0,4）,点 B 的坐标为（6,4）,抛物线yx2-5x+a-2 的顶点为 C.（1）若抛物线经过点3 时，求顶点C 的坐标；（2）若抛物线与线段A 2恰有一个公共点，结合函数图象，求。的取值范围.【分析】（1）将点8 坐标代入解析式可求a 的值，由顶点坐标可求点C 坐标；（2）分顶点C 在线段4 8 下方和线段4 8 上两种情况讨论，由图象列出不等式组可求解.解：（1）由题意可得：4=3 6-5 X 6+4-2,.*.47=0,抛物线的解析式为：y=x2-5 x-
33、2,Vy=x2-5x-2=（x-?）2-2 4二顶 点 c 坐 标 为（!，-学）；2 4（2）如图，当顶点C 在线段AB下方时,当顶点C 在 AB时，当 时，y=4,.25 25-+a-2=4,_ 4 9 Cl f4综上所述：当 0 W a=-条-的 图 象 如 图 所 示，结合你所画的函数图象，直接写出不等O O【分析】（1）将尤=-3,0分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象;（2）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；（3）根据图象求得即可.解：（1）x=-3 0 分另I 代入 y=-,得。=-7 7=-孕，b=-=-6,x%2 9+2 11 0+2（2）根据函数图象：12函
34、数y=-的图象关于y轴对称，说法正确；xz+219当x=O时，函数y=-有最小值，最小值为-6,说法正确；x”+2在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小，说法错误.（3）由图象可知I：不等式-一强一-务-的 解 集 为x=EB；(2)类比探究：如图，当 a=120时，请写出NE8A的度数及AO与 E 8的数量关系并说明理由；(3)拓展应用:如图，点 E 为正方形ABC。的边AB上的三等分点，以。E 为边在DE上方作正方形Q EFG,点。为正方形。EFG的中心，若 O A=2&,请直接写出线段EF的长度.图 图 图【分析】(1)证ACD丝/XBCE(SAS),得 A)=E8,/C
35、B E=N4=60,则/EBA=/A 8C+/C B E=120；(2)证CECsABC,N BCE=N A C D,得 男=绘，再证BC EsAC Q,得N E B CA C B C=NQAC=120，地=屁，则/E 8A=/E B C+/A B C=150，过 A 作 于 M,A D A C则 8 c=2 C M,进而得出结论；(3)连接8。，当A E=%B 时，证A OOS/XB E。，得 黑=理=黑=返，求出3 B E D E B D 2A B=6=AD,则 A E=2,在 RtaAED中，由勾股定理求出：。=2百 5即可；当 B E=A B 时，同得：=.,求 出 A B=1 2=A
36、 D,则 A E=8,在 RtAAED3 B E D E 2中，由勾股定理得EQ=4后 即 可.解：Va=60,A ZA B C=a=60 ,ZC D E=a=60 ,：A B=A C,C D=E D,：.A A BC和 C D E是等边三角形，：.A C=B C,C D=C E,/A B C=/A C B=N A =/CE=60,/ACD=NBCE,ACD丝BCE(SAS),：.AD=EB,NCBE=NA=60,A ZEBA=ZABCZCBE=nO0,故答案为：120,AD=EB；(2)ZEBA=50,EB=JA。，理由如下：Va=120,：.ZEDC=ZBAC=20,:CD=ED,AB=A
37、C9：.ZDEC=ZDCE=ZABC=ZACB=30,:A D E CSAABC,/B C E=N A C D,.D C _ EC 而 一 而.B C _ EC*A C-D C，:/BCEs4ACD,：.ZEBC=ZDAC=20,A D A CA ZEBA=ZBC+ZABC=120+30=150,过A作AMJ_BC于M,如图所示：贝ij BC=2CM,在 RtZACM 中，粤=cos30。=返，A C 2.EB _ B C _ 2 C M _ r-瓦 一 记 记-：.EB=42AD-,(3)连接BZ),分两种情况：当AE=44B时，如图所示：,四边形DEFG是正方形,:.EF=ED,对角线FD
38、与EG互相垂直平分，.QE。是等腰直角三角形，0 D .X。V 2.-=sin45D E 2在 RtZAB。中，,=s in 4 5 =华,.OD =A D瓦一丽,/ZODA+ZADE=45=ZBDE+ZADE,：.ZODA=ZBDE,：.AAODs/XBED,.A O _ O D _ A D _V2,瓦 应 一 而 一2.是*ABFoV 0/4=2-72 -.,.AB=6=A),：.AE A B2,在 RtaAED 中，由勾股定理得：O=VAE2+A D2=V22+62=2VW:.EF=ED=2K)；当时，如图所示:O同得:弛=皎=返BE-D E 一20 A.I-f A BO=返2：0A=2 近,.AB=12=AO,9.AE=-AB=S,3在 R tA A ED 中，由勾股定理得：ED=A E?+A D 2=+1 2 1 3,:.EF=ED=X忌综上所述，线段EF的长度为2万 或 4713.G图