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1、目录 目录 CH1.伯努利不等式.2 CH2.均值不等式.2 CH3.幂均不等式.2 CH4.柯西不等式.3 CH5.切比雪夫不等式.4 CH6.排序不等式.5 CH6.排序积不等式（新加）.6 CH7.琴生不等式.6 CH8.波波维奇亚不等式.7 CH9.加权不等式.8 CH10.赫尔德不等式.8 CH11.闵可夫斯基不等式.10 CH12.牛顿不等式.10 CH13.麦克劳林不等式.11 CH14.定义多项式.11 CH15.舒尔不等式.12 CH16.定义序列.14 CH17.缪尔海德不等式.14 CH18.卡拉玛塔不等式.15 CH19.单调函数不等式.16 CH20.3个对称变量pq
2、r法.16CH21.3个对称变量uvw法.17CH22.ABC法.18CH23.SOS法.18CH24.SMV法.19CH25.拉格朗日乘数法.20 CH26.三角不等式.21 CH27.习题.22 CH27.习题解析.23 2024高考数学专项练习不等式常用公式2024高考数学专项练习不等式常用公式不等式高级水平必备不等式高级水平必备-tobeenoughtobeenough-wanhuihua 第 2 页 共 49 页 Ch1.伯努利不等式伯努利不等式 1.11.1 若实数若实数ix（i1 2n,.,）各项符号相同，且）各项符号相同，且ix1 ，则，则：12n12n1x1x1x1xxx()
3、().().1()1()式为式为伯努利不等式伯努利不等式.当当12nxxxx.时，时，1()式变为：式变为：n1x1nx()2()Ch2.均值不等式均值不等式 2.12.1 若若12na aa,.,为正实数，记：为正实数，记：22212nnaaaQn.，为，为平方平均数平方平均数，简称，简称平方均值平方均值；12nnaaaAn.，为，为算术平均数算术平均数，简称，简称算术均值算术均值；nn12nGa aa.，为，为几何平均数几何平均数，简称，简称几何均值几何均值；n12nnH111aaa.，为，为调和平均数调和平均数，简称，简称调和均值调和均值.则：则：nnnnQAGH 3()iff 12na
4、aa.时，等号成立时，等号成立.（注：注：iffifand only if 当且仅当且仅当当.）3()式称为式称为均值不等式均值不等式.Ch3.幂均不等式幂均不等式 3.13.1 设设12naa aa(,.,)为正实数序列，实数为正实数序列，实数r0，则记：，则记：1rrrr12nraaaM an.()4()4()式的式的rM a()称为称为幂平均函数幂平均函数.3.23.2 若若12naa aa(,.,)为正实数序列，且实数为正实数序列，且实数r0，则：，则：rsM aM a()()5()不等式高级水平必备不等式高级水平必备-tobeenoughtobeenough-wanhuihua 第
5、3 页 共 49 页 当当rs 时，时，5()式对任何式对任何r都成立，即都成立，即rM a()关于关于r是单调递增函数是单调递增函数.5()式称为式称为幂平均不等式幂平均不等式，简称，简称幂均不等式幂均不等式.3.33.3 设设12nmm mm(,.,)为非负实数序列，且为非负实数序列，且12nmmm1.，若，若12naa aa(,.,)为正实数序列，且实数为正实数序列，且实数r0，则：，则：1mrrrrr1122nnMam am am a()(.)6()6()式称为式称为加权幂平均函数加权幂平均函数.3.43.4 若若12naa aa(,.,)为 正 实 数序 列，且 实数为 正 实 数序
6、 列，且 实数r0，对，对mrMa()则：则：mmrsMaMa()()即：即：11rrrssssr1122nn1122nnm am am am am am a(.)(.)7()当当rs 时，时，7()式对任何式对任何r都成立，即都成立，即mrMa()关于关于r是单调递增函数是单调递增函数.7()式称为式称为加权幂平均不等式加权幂平均不等式，简称，简称加权幂均不等式加权幂均不等式.Ch4.柯西不等式柯西不等式 4.14.1 若若12na aa,.,和和12nb bb,.,均为实数，则：均为实数，则：222222212n12n1 122nnaaabbba ba ba b(.)(.)(.)8()if
7、f n1212naaabbb.时，等号成立时，等号成立.（注：注：iffifand only if 当且仅当且仅当当.）8()式为式为柯西不等式柯西不等式.4.24.2 柯西不等式柯西不等式还可以表示为：还可以表示为：222222212n12n1 122nnaaabbba ba ba bnnn.()()()9()简称：“简称：“平方均值两乘积，大于积均值平方平方均值两乘积，大于积均值平方”我们我们将将1122nna ba ba bn.简称为简称为积均值积均值，记：，记：1122nnna ba ba bDn.不等式高级水平必备不等式高级水平必备-tobeenoughtobeenough-wanh
8、uihua 第 4 页 共 49 页 则：则：224nnnQ aQ bD ab()()()，即：，即：nnnQ a Q bD ab()()()10()4.34.3 推论推论 1 1：若：若a b c x y z,为实数，为实数，x y z0,，则：，则：2222n12n1212n12naaaaaabbbbbb(.).11()iff n1212naaabbb.时，等号成立时，等号成立.11()式是式是柯西不等式柯西不等式的推论，称的推论，称权方和不等式权方和不等式.4.44.4 推论推论 2 2：若：若12na aa,.,和和12nb bb,.,均为实数，则：均为实数，则：.(.)(.)2222
9、22221122nn12n12nabababaaabbb 12()iff n1212naaabbb.时，等号成立时，等号成立.4.54.5 推论推论 3 3：若：若a b c x y z,为正实数，则：为正实数，则：xyzbccaab3 abbccayzzxxy()()()()13()Ch5.切比雪夫切比雪夫不等式不等式 5.15.1 若若12naaa.；12nbbb.，且均为实数，且均为实数.则：则：12n12n1 122nnaaabbbn a ba ba b(.)(.)(.)14()iff 12naaa.或或12nbbb.时，等号成立时，等号成立.12()式为式为切比雪夫切比雪夫不等式不等
10、式.由于有由于有12naaa.，12nbbb.条件，即序列同调，条件，即序列同调，所以使用时，常采用所以使用时，常采用WLOG 12naaa.(注：注：WLOGWithout Loss OfGenerality 不失一般性不失一般性)5 5.2.2 切比雪夫切比雪夫不等式不等式常常表示为：常常表示为：12n12n1 122nnaaabbba ba ba bnnn.()()()15()简称：“简称：“切比雪夫切比雪夫同调数，均值积小积均值同调数，均值积小积均值”.即：对即：对切比雪夫切比雪夫不等式不等式采用同单调性的两个序列表示时，两个序列数的均采用同单调性的两个序列表示时，两个序列数的均不等式
11、高级水平必备不等式高级水平必备-tobeenoughtobeenough-wanhuihua 第 5 页 共 49 页 值之积不大于两个序列数各积之均值值之积不大于两个序列数各积之均值.则：则：2nnnA a A bD ab()()()即：即：nnnA a A bD ab()()()16()Ch6.排序不等式排序不等式 6.16.1 若若12naaa.；12nbbb.为实数，对于为实数，对于12na aa(,.,)的任何轮换的任何轮换12nxxx(,.,)，都有下列不等式：，都有下列不等式：1 122nn1 122nnn 1n 121 na ba ba bx bx bx ba baba b.1
12、7()17()式称式称排序不等式排序不等式（也称（也称重排不等式重排不等式）.其中，其中，1 122nna ba ba b.称正序和，称正序和，n1n 121 na baba b.称反序和，称反序和，1 122nnx bx bx b.称乱序和称乱序和.故故17()式可记为：式可记为：正序和正序和 乱序和乱序和 反序和反序和 18()6.26.2 推论：若推论：若12na aa,.,为实数，设为实数，设12nxxx(,.,)为为12na aa(,.,)的一个排序，的一个排序，则：则：22212n1122nnaaaa xa xa x.19()不等式高级水平必备不等式高级水平必备-tobeenoug
13、htobeenough-wanhuihua 第 6 页 共 49 页 Ch6.排序积不等式排序积不等式（新加）（新加）12121111111.,.,0,0,(1,2.,2)(1,2.),1,()(=)()()iinnniiiiiiiitttniiiiittitaaa bbbxaybbyin nbyinytxyxyayaxayxayayx设是的一求证个排列，是的一个排列,证明：不妨设设 最小，如果，现在我们交换和，得到新的111111111111k11()(),()()-()()=0)0=(2,.)k(tttttttttttniiniitiiayayayayayaya ya ya ya yyyy
14、byabxb kn乘积由于，有排序不等式，上式大于等于，也就是交换 和 的位置不会变小，同时新的两数大小在旧的两数之间，依然是大于等于 的，这样我们把调整到第一个位置，类似的我们可以将调整到第个位置变成12111121)(.0,.0,)iinniiinniiiinniiiiiiibyaaabaxxabbxaybyb，于是我们有 证毕。类似的可以证明如下结论：设是的一个排列，是求证的一个排列,Ch7.琴生不等式琴生不等式 7.17.1 定义凸函数：对一切定义凸函数：对一切x ya b,，0 1(,)，若函数，若函数fa bR:,是是向下向下凸函数凸函数，则：，则：fx1yf x1f y()()(
15、)()20()不等式高级水平必备不等式高级水平必备-tobeenoughtobeenough-wanhuihua 第 7 页 共 49 页 20()式是向下凸函数的定义式式是向下凸函数的定义式.注：注：fa bR:,表示区间表示区间a b,和函数和函数f x()在在a b,区间都是实数区间都是实数.7.27.2 若若fa bR:(,)对任意对任意xa b(,)，存在二次导数，存在二次导数fx0()，则，则f x()在在a b(,)区间为向下凸函数；区间为向下凸函数；iffxa b(,)时，若时，若fx0()，则，则f x()在在a b(,)区间为严格区间为严格向下凸函数向下凸函数.7.37.3
16、 若若12nfff,.,在在a b(,)区间为区间为向下凸函数向下凸函数，则函数，则函数1122nnc fc fc f.在在在在a b(,)区间对任何区间对任何12nc cc0,.,(,)也是也是向下凸函数向下凸函数.7.47.4 若若fa bR:(,)是 一 个 在是 一 个 在a b(,)区 间 的 向 下 凸 函 数，设区 间 的 向 下 凸 函 数，设nN，12n0 1,.,(,)为 实 数，且为 实 数，且12n1.，则 对 任 何，则 对 任 何12nxxxa b,.,(,)，有：，有：1122nn1122nnfxxxf xf xf x(.)()().()21()21()式就是加权
17、的式就是加权的琴生不等式琴生不等式.简称：“简称：“对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值”.Ch8.波波维奇亚不等式波波维奇亚不等式 8.18.1 若若fa bR:,是一个在是一个在a b,区间的向下凸函数，则对一切区间的向下凸函数，则对一切x y za b,，有：有：xyzf xf yf z2xyyzzxffff333222()()()()()()()22()22()式就是式就是波波维奇亚不等式波波维奇亚不等式.8.28.2 波波维奇亚不等式波波维奇亚不等式可以写成：可以写成：xyzf xf yf zxyyzzxffff3322223()(
18、)()()()()()23()简称：“简称：“对于向下凸函数的三点情况，三点均值的函数与函数的均值之平对于向下凸函数的三点情况，三点均值的函数与函数的均值之平均值，不小于两点均值的函数值之平均值均值，不小于两点均值的函数值之平均值”.8.38.3 若若fa bR:,是一个在是一个在a b,区间的向下凸函数，区间的向下凸函数，12na aaa b,.,，则：，则：12n12nf af af an n2 f an1f bf bf b()().()()()()()().()不等式高级水平必备不等式高级水平必备-tobeenoughtobeenough-wanhuihua 第 8 页 共 49 页 2
19、4()其中：其中：12naaaan.，ijij1ban1 （对所有的（对所有的i）24()式是普遍的式是普遍的波波维奇亚不等式波波维奇亚不等式.当当1ax，2ay，3az，n3 时，时，xyza3，1yzb2 ，2zxb2 ，3xyb2 代入代入23()式得：式得：xyzyzzxxyf xf yf z3 f2 fff3222()()()()()()()即：即：xyzf xf yf z2xyyzzxffff333222()()()()()()()25()25()式正是式正是22()式式.Ch9.加权不等式加权不等式 9.19.1 若若ia0(,)，i0 1,（i1 2n,.,），且），且12n1
20、.，则：，则：n1212n1122nnaaaaaa.26()26()式就是加权的均值不等式，简称式就是加权的均值不等式，简称加权不等式加权不等式.26()式形式直接理解为：几何均值不大于算术均值式形式直接理解为：几何均值不大于算术均值.Ch10.赫尔德不等式赫尔德不等式 10.110.1 若实数若实数a b0,，实数，实数p q1,且且111pq，则：，则：pqababpq 27()iff pqab 时，等号成立时，等号成立.27()式称为式称为杨氏不等式杨氏不等式.10.210.2 若若12na aa,.和和12nb bb,.为正实数，为正实数，p q1,且且111pq，则：，则：11ppp
21、qqqpq1 122nn12n12na ba ba baaabbb.(.)(.)不等式高级水平必备不等式高级水平必备-tobeenoughtobeenough-wanhuihua 第 9 页 共 49 页 28()28()式称为式称为赫尔德不等式赫尔德不等式.iff pppn12qqq12naaabbb.时，等号成立时，等号成立.10.310.3 赫尔德不等式赫尔德不等式还可以写成：还可以写成：11pppqqqpq1122nn12n12na ba ba baaabbbnnn.()()29()即：即：2npqD abMa M b()()()，即：，即：pqnMa M bD ab()()()30(
22、)简称：“简称：“幂均值的几何均值不小于积均值幂均值的几何均值不小于积均值”.（注：赫尔德与注：赫尔德与切比雪夫切比雪夫的不同点：赫尔德要求是的不同点：赫尔德要求是111pq，切比雪夫切比雪夫要要求是同求是同调；赫尔德的积均值小，调；赫尔德的积均值小，切比雪夫切比雪夫的积均值大的积均值大.）10.410.4 若若12na aa,.、12nb bb,.和和12nm mm,.为三个正实数序列，为三个正实数序列，p q1,且且111pq，则：，则：11nnnpqpqiiiiiiii 1i 1i 1a bma mb m 31()31()式称为加权式称为加权赫尔德不等式赫尔德不等式.iff pppn12
23、qqq12naaabbb.时，等号成立时，等号成立.10.510.5若若ija(i1 2m,.,;j1 2n,.,)，12n,.,为 正 实 数 且为 正 实 数 且.12n1，则：，则：()()jjmmnnijijj 1j 1i 1i 1aa 32()32()式称为普遍的式称为普遍的赫尔德不等式赫尔德不等式.10.610.6 推论：若推论：若123a a aN,，123b b bN,，123c c cN,，则：，则：33333333331231231231 1 1222333aaabbbccca b ca b ca b c()()()()33()简称：“简称：“立方和的乘积不小于乘积和的立方
24、立方和的乘积不小于乘积和的立方”.不等式高级水平必备不等式高级水平必备-tobeenoughtobeenough-wanhuihua 第 10 页 共 49 页 Ch11.闵可夫斯基不等式闵可夫斯基不等式 11.111.1 若若12na aa,.,；12nb bb,.,为正实数为正实数，且，且p1，则：，则：111nnnppppppiiiii 1i 1i 1abab()()()34()iff n1212naaabbb.时，等号成立时，等号成立.34()式称为第一式称为第一闵可夫斯基不等式闵可夫斯基不等式.11.211.2 若若12na aa,.,；12nb bb,.,为正实数，且为正实数，且p
25、1，则：，则：11nnnppppppiiiii 1i 1i 1abab()()()35()iff n1212naaabbb.时，等号成立时，等号成立.35()式称为第二式称为第二闵可夫斯基不等式闵可夫斯基不等式.11.311.3 若若12na aa,.,；12nb bb,.,；12nm mm,.,为三个正实数序列，且为三个正实数序列，且p1，则：则：111nnnppppppiiiiiiii 1i 1i 1abma mb m()()()36()iff n1212naaabbb.时，等号成立时，等号成立.36()式称为第三式称为第三闵可夫斯基不等式闵可夫斯基不等式.Ch12.牛顿不等式牛顿不等式
26、12.112.1 若若12na aa,.,为任意实数，考虑多项式：为任意实数，考虑多项式：nn 112n01n 1nP xxaxaxac xc xcxc()()().().37()的系数的系数01nc cc,.,作为作为12na aa,.,的函数可表达为：的函数可表达为：0c1；112ncaaa.；21213n 1nijca aa aaaa a.；（；（ijn）不等式高级水平必备不等式高级水平必备-tobeenoughtobeenough-wanhuihua 第 11 页 共 49 页 3ijkca a a ；（；（ijkn）n12nca aa.对每个对每个k1 2n,.,，我们定义，我们定义
27、kkkkncknkpcCn!()!38()则则37()式类似于二项式定理，系数为：式类似于二项式定理，系数为：kknkcC p.12.212.2 若若12na aa,.,为正实数，则对每个为正实数，则对每个k1 2n1,.,有：有：2k 1k 1kppp 39()iff 12kaaa.时，等号成立时，等号成立.39()式称为式称为牛顿不等式牛顿不等式.Ch13.麦克劳林不等式麦克劳林不等式 13.113.1 若若12na aa,.,为正实数，按为正实数，按38()定义，则：定义，则：111kn212knpppp.40()iff 12kaaa.时，等号成立时，等号成立.40()称称麦克劳林不等式
28、麦克劳林不等式.Ch14.定义多项式定义多项式 14.114.1 若若12nxxx,.,为正实数序列，并设为正实数序列，并设12n,.,为任意实数为任意实数.记：记：n1212n12nF xxxxxx(,.,).；12nT,.,为为12nF xxx(,.,)所有可能的积之和，遍及所有可能的积之和，遍及12n,.,的所的所有轮换有轮换.14.214.2 举例说明举例说明 T 1 0 0,：表示共有：表示共有3个参数的所有积之和，共有个参数的所有积之和，共有36!项项.第第1个参数个参数的指数是的指数是1，第，第2和第和第3个参数的指数是个参数的指数是0.故：故：,()!()()100100100
29、T 1 0 031x y zy x zz y x2 xyz.T 1 1,：表示共有：表示共有2个参数的所有积之和，共有个参数的所有积之和，共有22!项项.第第1个和第个和第2个参数的指数是个参数的指数是1.不等式高级水平必备不等式高级水平必备-tobeenoughtobeenough-wanhuihua 第 12 页 共 49 页 故：故：,()!()11T 1 121x y2xy.T 1 2,：表示共有：表示共有2个参数的所有积之和，共有个参数的所有积之和，共有22!项项.第第1个参数的个参数的指数是指数是1，第，第2个参数的指数是个参数的指数是2.故：故：,()!()121222T 1 2
30、21x yy xxyx y.T 1 2 1,：表示共有：表示共有3个参数的所有积之和，共有个参数的所有积之和，共有36!项项.第第1个参数个参数的指数是的指数是1，第，第2个参数的指数是个参数的指数是2，第，第3个参数的指数个参数的指数是是1.故：故：,()222T 1 2 12 xy zx yzxyz.即：即：,T 1 2 1T 2 1 1 T 2 1 0,：表示共有：表示共有3个参数的所有积之和，共有个参数的所有积之和，共有36!项项.第第1个参数个参数的指数是的指数是2，第，第2个参数的指数是个参数的指数是1，第，第3个参数的指数是个参数的指数是0.故：故：222222T 2 1 0 x
31、 yx zy xy zz xz y,.T 3 0 0,：表示共有：表示共有3个参数的所有积之和，共有个参数的所有积之和，共有36!项项.第第1个参数个参数的指数是的指数是3，第，第2个和第个和第3个参数的指数是个参数的指数是0.故：故：333T 3 0 02 xyz,().,T a b c：表示共有：表示共有3个参数的所有积之和，共有个参数的所有积之和，共有36!项项.第第1个参数个参数的指数是的指数是a，第，第2个参数的指数是个参数的指数是b，第，第3个参数的指数是个参数的指数是c.故：故：,abcacbbcabaccabcbaT a b cx y zx y zx y zx y zx y z
32、x y z.由于由于,.T a b cT b c aT c a bT c b aT b a c表达式 比较表达式 比较多，多，所以我们规定：所以我们规定：,T a b c（abc）.Ch15.舒尔不等式舒尔不等式 15.115.1 若若R ，且，且0 ，则：，则：,T20 0T2T0 ()41 ()41式称为式称为舒尔不等式舒尔不等式.不等式高级水平必备不等式高级水平必备-tobeenoughtobeenough-wanhuihua 第 13 页 共 49 页 15.2 15.2 解析解析()41式式 ,()222T20 02 xyz；,()T2 x y zx y zx y z ；,T0 xy
33、x yyzy zx zxz 将上式代入将上式代入()41式得：式得：222xyzx y zx y zx y z xyx yyzy zx zxz 即：即：222yx y zzx yxzx y z yx yyzxyxz0zx z 即：即：()()22xxy zx yx zyyx zx yy z ()2zzx yy zx z0 即：即：()()()()()()xxyxzyyzyxzzxzy0 ()42 ()42式与式与()41式等价，称为式等价，称为舒尔不等式舒尔不等式.15.315.3 若实数若实数,x y z0，设，设tR，则：，则：()()()()()()tttxxy xzyyzyxz zx
34、zy0 ()43 iff xyz或或,xy z0及轮换，等号成立及轮换，等号成立.按照按照()41式写法，即：式写法，即：t ，1 ，则：，则：,T t2 0 0T t 1 12T t1 1 0 ()44 ()43式是我们最常见的式是我们最常见的舒尔不等式舒尔不等式形式形式.15.415.4 推论：设实数推论：设实数,x y z0，实，实数数,a b c0 且且abc或或abc，则：，则：()()()()()()a xy xzb yzyxc zx zy0 ()45 ()43式中，式中，txa，tyb，tzc，就得到，就得到()45式式.15.515.5 推论：设实数推论：设实数,x y z0，
35、则：，则：()()()3333332223xyzxyz2 xyyzzx ()46 不等式高级水平必备不等式高级水平必备-tobeenoughtobeenough-wanhuihua 第 14 页 共 49 页 15.615.6 推论：若推论：若(,k0 3，则对于一切，则对于一切,a b cR ，有：，有：()()()2222k3kk abcabc2 abbcca ()47 Ch16.定义序列定义序列 16.116.1 设存在两个序列设存在两个序列()(,.,)ni i 112n 和和()(,.,)ni i 112n ，当满，当满足下列条件：足下列条件：.12n12n .12n且且.12n .
36、12s12s 对一切对一切,s1 n，式都成立式都成立.则：则：()ni i 1 就是就是()ni i 1 的优化值，记作：的优化值，记作：()()ii.注：这里的序列只有定性的比较，没有定量的比较注：这里的序列只有定性的比较，没有定量的比较.Ch17.缪尔海德不等式缪尔海德不等式 17.117.1 若若,.,12nxxx为非负实数序列，设为非负实数序列，设()i 和和()i 为为正实数序列，且正实数序列，且()()ii，则：，则：iiTT ()48 iff ()()ii 或或.12nxxx时，等号成立时，等号成立.()48式就式就缪尔海德不等式缪尔海德不等式.17.217.2 解析解析()4
37、8式式 若 实数若 实数123aaa0，实 数，实 数123bbb0，且满 足，且满 足11ab，1212aabb，123123aaabbb；设；设,x y z0，则：满足序列，则：满足序列(,)(,)123123b b ba aa 条件，条件，则：则：,333333121221211221bbbbbbbbbbbbbbbbbb123T b b bx y zx y zxy zxy zxy zxy z ,333333121221211221aaaaaaaaaaaaaaaaaa123T a aaxy zxy zxy zxy zxy zxy z不等式高级水平必备不等式高级水平必备-tobeenough
38、tobeenough-wanhuihua 第 15 页 共 49 页 即即()48式为：式为：,123123T b b bT a aa 用通俗的方法表达即：用通俗的方法表达即：331212abaabbsymsymxy zxy z ()49 ()49式就式就缪尔海德不等式缪尔海德不等式的常用形式的常用形式.17.317.3 例题：设例题：设(,)x y z为非负变量序列，考虑为非负变量序列，考虑(,)2 2 1和和(,)3 1 1.由由 16.116.1 中的序列优化得：中的序列优化得：(,)(,)2 2 13 1 1 由由缪尔海德不等式缪尔海德不等式()48式得：式得：,T 2 2 1T 3
39、1 1 ,()22222 2T 2 2 12 x y zx yzxy z ,()333T 3 1 12 x yzxy zxyz 将将代入代入得：得：22222 2333x y zx yzxy zx yzxy zxyz 即：即：222xyyzzxxyz 由柯西不等式：由柯西不等式：()()()2222222xyzyzxxyyzzx 即：即：()()222 22xyzxyyzzx 即：即：222xyzxyyzzx 式式式等价，这就证明了式等价，这就证明了式是成立的，而式是成立的，而缪尔海德不等式缪尔海德不等式直接得到直接得到式是成立的式是成立的.式可以用式可以用,T 2 0 0T 1 1 0 来表
40、示，这正是来表示，这正是缪尔海德不等式缪尔海德不等式的的()48式式.Ch18.卡拉玛塔不等式卡拉玛塔不等式 18.118.1 设在实数区间设在实数区间IR 的函数的函数f为向下凸函数，且当为向下凸函数，且当,iia bI（,.,i1 2n）两个序列两个序列()ni i 1a 和和()ni i 1b 满足满足()()iiab，则：，则：()().()()().()12n12nf af af af bf bf b ()50 ()50式称为式称为卡拉玛塔不等式卡拉玛塔不等式.18.218.2 若函数若函数f为严格向下凸函数，即不等取等号，为严格向下凸函数，即不等取等号，()()iiab，且，且()
41、()iiab，则：则：()().()()().()12n12nf af af af bf bf b ()51 不等式高级水平必备不等式高级水平必备-tobeenoughtobeenough-wanhuihua 第 16 页 共 49 页 若函数若函数f为严格向上凸函数，则为严格向上凸函数，则卡拉玛塔不等式卡拉玛塔不等式反向反向.Ch19.单调函数不等式单调函数不等式 19.119.1 若实数函数若实数函数:(,)fa bR在区间在区间(,)a b对一切对一切,(,)x ya b 为单调增函数，为单调增函数，则当则当xy 时，有时，有()()f xf y；若；若f在区间在区间(,)a b对一切对
42、一切,(,)x ya b 为严为严格单调增函数，当格单调增函数，当xy 时，有时，有()()f xf y.19.219.2 若实数函数若实数函数:(,)fa bR在区间在区间(,)a b对一切对一切,(,)x ya b 为单调减函数，为单调减函数，则当则当xy 时，有时，有()()f xf y；若；若f在区间在区间(,)a b对一切对一切,(,)x ya b 为严为严格单调减函数，当格单调减函数，当xy 时，有时，有()()f xf y.19.319.3 若实数函数若实数函数:(,)fa bR在区间在区间(,)a b为可导函数，当对一切为可导函数，当对一切(,)xa b，()fx0，则，则f在
43、区间在区间(,)a b为单调递增函数；当对一切为单调递增函数；当对一切(,)xa b，()fx0，则，则f在区间在区间(,)a b为单调递减函数为单调递减函数.19.419.4 设两个函数设两个函数:,fa bR和和:,ga bR满足下列条件：满足下列条件：函数函数f和和g在在,a b区间是连续的，且区间是连续的，且()()f ag a；函数函数f和和g在在,a b区间可导；区间可导；导数导数()()fxgx 对一切对一切(,)xa b 成立，成立，则对一切则对一切(,)xa b 有：有：()()f xg x ()52 ()52式就是式就是单调函数不等式单调函数不等式.Ch20.3个对称变量个
44、对称变量pqr法法 20.120.1 设设,x y zR ，对于具有变量对称形式的不等式，采用，对于具有变量对称形式的不等式，采用下列变量代换：下列变量代换：pxyz；qxyyzzx；rxyz，则，则,p q rR .代换后的不等式代换后的不等式(,)f p q r，很容易看出其满足的不等式关系，这样证明，很容易看出其满足的不等式关系，这样证明不等式的方法称为不等式的方法称为pqr法法.20.220.2 常用的代换如下：常用的代换如下：22cycxp2q ()32cycxp p3q3r 不等式高级水平必备不等式高级水平必备-tobeenoughtobeenough-wanhuihua 第 17
45、 页 共 49 页 222cycx yq2pr ()()()xyyz zxpqr ()()2cycxyyzpq ()cycxy xypq3r ()()()1x 1y 1z1pqr ()()cyc1x 1y32pq ()()2cyccycxyzxy xypq3r 20.320.3 常用的常用的pqr法的不等式法的不等式 若若,x y z0，则：，则：3pqr4pq pq9r 2p3q 3p27r 32q27r 2q3pr 32p9r7 pq 322p9r7 pqr 22p q3pr4q Ch21.3个对称变量个对称变量uvw法法 21.121.1 在在,a b cR 的不等式中，采用下列变量代换
46、：的不等式中，采用下列变量代换：3uabc；23vabbcca；3wabc.上述变换强烈含有“平均”的意味：上述变换强烈含有“平均”的意味：u对应“算术平均值”；对应“算术平均值”；v对应“积均值”；对应“积均值”；w对应“几何平均值”对应“几何平均值”.不等式高级水平必备不等式高级水平必备-tobeenoughtobeenough-wanhuihua 第 18 页 共 49 页 21.221.2 当当,a b c0 时，则：时，则：uvw ()53 ()53式称为式称为傻瓜不等式傻瓜不等式.即：“算术平均值”“积均值”“几何平均值”即：“算术平均值”“积均值”“几何平均值”.21.321.3
47、 若若,a b c0，则，则,23u vw0 ()54 ()54式称为式称为正值定理正值定理.21.421.4 若若,23u vwR，任给，任给,a b cR，则当且仅当，则当且仅当22uv，且且(),()32322 32322 3w3uv2u2uv3uv2u2uv时，时，则：则：3uabc，23vabbcca，3wabc 等式成立等式成立.这称为这称为uvw定理定理.Ch22.ABC法法 22.1 22.1 ABC法即法即Abstract Concreteness Method 设设pxyz；qxyyzzx；rxyz.则函数则函数(,)f x y z变换为变换为(,)f r q p.这与这与
48、 Ch20.Ch20.3个对称变量个对称变量pqr法类似法类似.22.222.2 若函数若函数(,)f r q p是单调的，则当是单调的，则当()()()xyyz zx0时，时，(,)f r q p达达到极值到极值.22.322.3 若函数若函数(,)f r q p是凸函数，则当是凸函数，则当()()()xyyz zx0时，时，(,)f r q p达达到极值到极值.22.422.4 若函数若函数(,)f r q p是是r的线性函数，则当的线性函数，则当()()()xyyz zx0时，时，(,)f r q p达到极值达到极值.22.522.5 若函数若函数(,)f r q p是是r的二次三项式，
49、则当的二次三项式，则当()()()xyyz zx0时，时，(,)f r q p达到极值达到极值.Ch23.SOS法法 23.1 23.1 SOS法即法即Sum OfSquares 23.223.2 本法的全部思想是将给出的不等式改写成以下形式：本法的全部思想是将给出的不等式改写成以下形式：不等式高级水平必备不等式高级水平必备-tobeenoughtobeenough-wanhuihua 第 19 页 共 49 页()()()222abcSSbcSacS ab ()55 其中，其中，,abcSSS分别分别都都是是,a b c的函数的函数.若若,abcSSS0，则，则S0；若若abc或或abc，且
50、，且,bbabcSSSSS0，则，则S0；若若abc或或abc，且，且,acabcbSSS2SS2S0，则，则S0；若若abc，且，且,22bcbaSSa Sb S0，则，则S0；若若abSS0或或bcSS0或或caSS0，且，且abbccaS SS SS S0，则则S0.23.3 23.3 常用的形式常用的形式 ()22cyccyccyc1aabab2 ()32cyccyccyc1a3abcaab2 ()223cyccyccyc1a babab3 ()()322cyccyccyc1aa b2ab ab3 ()333cyccyccyccyc1a bababa3 ()()42 222cyccyc