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1、1均值不等式及不等式综合均值不等式及不等式综合目录题型一：公式直接用题型二：公式成立条件题型三：对勾型凑配题型四：“1”的代换：基础代换型题型五：“1”的代换：有和有积无常数型题型六：“1”的代换：有和有积有常数型题型七：分母构造型：分母和定无条件型题型八：分母构造型：分离型型题型九：分母构造型：一个分母构造型题型十：分母构造型：两个分母构造型题型十一：分离常数构造型题型十二：换元构造型题型十三：分母拆解凑配型题型十四：万能“K”型题型十五：均值不等式应用比大小题型十六：利用均值不等式求恒成立参数型题型十七：因式分解型题型十八：三元型不等式题型一：公式直接用1(22-23高三北京阶段练习)若a
2、b0，且a+b=1，则在下列四个选项中，最大的是()A.12B.a2+b2C.aD.2ab2(22-23高三全国课后作业)若a0,b0，则下列不等式中不成立的是()A.a2+b22abB.a+b2 abC.a2+b212(a+b)2D.1a+1b0，y0，且xy=9，则x+y的最小值为()A.18B.9C.6D.32024高考数学专项均值不等式及不等式综合含答案24(23-24高一下河南开学考试)设a1,babC.ab-1D.b0且x+2y=1，则log2x+log22y的最大值为题型二：公式成立条件1(23-24高三辽宁本溪开学考试)下列函数中，最小值为2的是()A.y=x+2xB.y=ex
3、2+e-x2C.y=sinx+1sinx0 x0，b0，则“a+b26”是“ab 6”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3(23-24高三西藏林芝期中)下列命题中正确的是()A.若a0,b0，且a+b=16，则ab64B.若a0，则a+4a2a4a=4C.若a,bR，则ab(a+b)22D.对任意a,bR，a2+b22ab,a+b2 ab 均成立.4(多选)(23-24高三四川眉山期中)下列结论正确的是()A.若x1，则 1+a1+1a65(多选)(23-24高三重庆南岸期中)下列说法正确的是()A.函数y=x+4x(x-2)的最小值是6D.若x+y
4、=4，则x2+y2的最小值是86(多选)(23-24高三贵州贵阳阶段练习)下列命题中正确的是()A.当a,bR时，aba2+b22B.若x0，则函数 f x=x2+4x的最小值等于4 x3C.若2x+2y=1，则x+y的取值范围是-,-2D.3-aa+6-6a3的最大值是92题型三：对勾型凑配1(2023湖南岳阳模拟预测)已知函数 f x=3-x-2x，则当x5的最小值为()A.2B.5C.6D.73(21-22高二上陕西咸阳期中)已知函数 f x=4x-2+14x-5的定义域为-,54，则 f x的最大值为()A.5B.-5C.1D.-14(23-24高三吉林阶段练习)已知x3，则y=2x-
5、3+2x的最小值是()A.6B.8C.10D.125(23-24高三广东佛山模拟)函数 f x=x+1x-1，x1的最小值为()A.1B.2C.3D.5题型四：“1”的代换：基础代换型1(2022高三上全国专题练习)若a，bR R，ab0且a+b=2，则1a+1b的最小值为()A.2B.3C.4D.52(23-24高三贵州黔南阶段练习)已知x,y0且x+4y=1，则1x+1y的最小值为()A.4 2B.8C.9D.103(23-24高三河南南阳阶段练习)若a0,b0，a+3b=1，则的1a+13b最小值是()A.2B.4C.3D.844(22-23高一下湖南邵阳阶段练习)设a0，b0，若2a+
6、b=2，则2a+1b的最小值为()A.3 2B.4C.9D.925(22-23高三内蒙古呼和浩特期中)已知x，y为正实数，且2x+1y=2，则x+2y的最小值是()A.2B.4C.8D.16题型五：“1”的代换：有和有积无常数型1(23-24高三上江苏连云港阶段练习)若a0，b0，且a+b=ab，则2a+b的最小值为()A.3+2 2B.2+2 2C.6D.3-2 22(23-24高二上陕西西安期中)已知a0,b0且2ab=a+2b，则a+8b的最小值为()A.4 2B.10C.9D.2723(2022四川乐山一模)已知x0，y0，且4x+2y-xy=0，则2x+y的最小值为()A.16B.8
7、+4 2C.12D.6+4 24(21-22高三山西太原阶段练习)已知a0，b0，3a+b=2ab，则a+b的最小值为()A.2B.3C.2+2D.2+35(23-24高一下广西开学考试)已知a0，b0，且a+b=ab，则2ab-a+7b的最小值是()A.6B.9C.16D.19题型六：“1”的代换：有和有积有常数型1(23-24高三广西模拟)已知a2+b2=ab+4，则a+b的最大值为()A.2B.4C.8D.2 22(23-24高三甘肃模拟)若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是()A.-,6B.6,9C.9,+D.9,123(23-24高三江苏模拟)已知正实数a，b满足ab
8、+a+b=8，则a+b的最小值是()5A.8B.6C.4D.24(23-24高三安徽阜阳模拟)已知正实数x，y满足2x+y+6=xy，记xy的最小值为a；若m，n0且满足m+n=1，记1m+9n的最小值为b.则a+b的值为()A.30B.32C.34D.365(23-24高三福建莆田模拟)已知x2，y1，xy=x+2y+2，则x+y的最小值是()A.1B.4C.7D.3+17题型七：分母构造型：分母和定无条件型1(2020高三全国专题练习)9sin2+1cos2的最小值为()A.2B.16C.8D.122(21-22高三福建莆田期末)当0 x1时，1x+41-x的最小值为()A.0B.9C.6
9、D.103(2024山西临汾三模)若0 x1，则1x+21-x的最小值是()A.1B.4C.2+2 2D.3+2 24(22-23高三江苏南通模拟)函数 f(x)=1x+1+25-2x-1x52的最小值是()A.76B.87C.98D.655(23-24高三四川成都期中)若0 xa在区间 0,1上有解，则实数a的取值范围是()A.a2-12B.a1C.a43D.a2 2-1262(23-24高三海南海口阶段练习)若函数 f(x)=x2+2x+ax+1在x0,+)是增函数，则实数a的取值范围是()A.-,2B.0,1C.(-,1D.1,23(2020高三河北石家庄阶段练习)已知x1)有解”的()
10、A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5(20-21高三浙江绍兴期中)若-1x0，b0，2a+b-3=0，则12a+1+1b的最小值为()A.2B.1C.32D.343(23-24高三下江苏扬州开学考试)已知实数a1，b0，满足a+b=3，则2a-1+1b的最小值为()A.3+2 24B.3+2 22C.3+4 22D.3+4 244(23-24高三浙江模拟)已知a1，b0，且a+1b=2，则4a-1+b的最小值为()A.4B.6C.8D.95(23-24高三广东肇庆模拟)已知a0，b1，a+4b-1=1，则4a+b的最小值为()7A.15B.16C.
11、17D.18题型十：分母构造型：两个分母构造型1(2024全国模拟预测)设正实数a，b满足a+b=2，则1a+1+1b+2的最小值为()A.23B.34C.45D.562(23-24高三浙江期中)已知a1,b12，且2a+b=3，则1a-1+12b-1的最小值为()A.1B.92C.9D.123(23-24高三江苏徐州阶段练习)已知正实数a,b满足4a+b+1b+1=1，不等式ma+2b恒成立，则实数m的取值范围是()A.m6B.m5C.m9D.m84(23-24高三上江苏南京阶段练习)已知非负实数x，y满足13x+y+12y+2=1，则x+y的最小值为()A.16B.14C.12D.235(
12、23-24高三湖北阶段练习)若x0,y0，且1x+1+1x+2y=1，则3x+y的最小值为()A.3B.2 5C.12+5D.4+2 5题型十一：分离常数构造型1(23-24高三广东佛山阶段练习)已知正数x，y满足x+y=2，则4x+2+3x-73y+4的最小值是()A.1116B.1316C.58D.27162(23-24高三上广东东莞期中)已知a，b为正实数，且a+2b=1，则a2+1a+2b2+1b的最小值为()A.1+2 2B.2+2 2C.3+2 2D.4+2 283(23-24高三全国期末)已知x0，y0，且x+y=4，则x2+4x+y2+1y的最小值为()A.4B.74C.254
13、D.54(23-24高三湖北武汉模拟)已知x0,y0且x+y=1，则x2x+1+y2y+2的最小值为()A.14B.12C.1D.135(22-23高一下云南阶段练习)已知a-2，b0，a+2b=3，则2a+b+4a+2+5b的最小值为()A.4B.6C.8D.10题型十二：换元构造型1(23-24高三上四川巴中开学考试)已知xy0且4x+3y=1，则12x-y+2x+2y的最小值为()A.10B.9C.8D.72(23-24高三上山东阶段练习)已知实数x，y满足xy0，且3x-y=2，则2x+y+1x-y的最小值为()A.3B.4C.5D.63(21-22高三河南洛阳阶段练习)已知正数x，y
14、满足3x+2yy+83x+2yx=2，则xy的最小值是()A.58B.54C.43D.744(22-23高三上江西南昌阶段练习)已知正数x，y满足3x+2yy+83x+2yx=1，则xy的最小值是()A.54B.83C.43D.525(2022安徽合肥模拟预测)已知正数x，y满足2x+3y+13x+y=1，则x+y的最小值()9A.3+2 24B.3+24C.3+2 28D.3+28题型十三：分母拆解凑配型1(22-23高三上河北保定阶段练习)不等式x2-4x+m0的解集为 xaxb，其中0mbcB.bcaC.acbD.cab2(2023河南洛阳一模)下列结论正确的是()A.log202120
15、22log2022202320232022B.log20222023log2021202220232022C.20232022log20222023log20212022D.20232022log202120221且2，设a=log，b=log，c=log，则()A.abcB.bacC.bcaD.caabB.bacC.acbD.abc5(23-24高三浙江温州模拟)已知x1=log32,x2=log56,x3=12log25，则()A.x1x2x3B.x1x3x2C.x3x1x2D.x3x21,y12，不等式x2a22y-1+4y2a2x-11恒成立，则实数a的最大值()A.2B.4C.142
16、D.2 23(23-24高三上河北邢台阶段练习)不等式tx+y2x+2y 对所有的正实数x,y恒成立，则t的最大值为()A.2B.2C.24D.14(22-23高三上河南郑州模拟)已知正数a，b满足a+b=3，若a5+b5ab恒成立，则实数的取值范围为()A.-,812B.-,274C.-,814D.-,272题型十七：因式分解型1(2023全国高三专题练习)已知正数a，b满足ab+2a+b=7，则ab+3a+2b的最小值是2(22-23高三上江西吉安模拟)已知实数x，y满足x0，y0，且x+y2+1x+2y=5，则2x+y的最大值为()A.10B.8C.4D.23(2023高三全国专题练习)
17、已知a,b(0,+)，且a+b+1a+1b=5，则a+b的取值范围是()A.1,4B.2,+)C.(1,4)D.(4,+)4(2023全国模拟预测)已知实数a、b、c满足a+b-2c=2 b-ac-a-2，则 3a-b-2c的最小值为()A.0B.1C.2D.35(22-23高三上吉林开学考试)已知4x4+9x2y2+2y4=4，则5x2+3y2的最小值是()A.2B.127C.52D.4题型十八：三元型不等式121(20-21高三上北京强基计划)已知x，y，z是非负实数，且x+y+z=2，则x2y2+y2z2+z2x2+xyz的最大值为()A.1B.2C.54D.以上答案都不对2(21-22
18、高三浙江温州模拟)已知a,b,c(0,+)且abc，a+b+c=12，ab+bc+ca=45，则a的最小值为A.5B.10C.15D.203(2023安徽滁州二模)若a，b，c均为正数，且满足a2+3ab+3ac+9bc=18，则2a+3b+3c的最小值是()A.6B.4 6C.6 2D.6 34(22-23高三江苏常州阶段练习)实数a，b，c满足a+b0，b0，a2-ab+2b2-c=0，则cab+b2的最小值为()A.-2B.1C.34D.385(22-23高三上江苏宿迁阶段练习)已知实数a、b、c满足a2+b2+c2=1，则2ab+3c的最大值为()A.3B.134C.2D.51均值不等
19、式及不等式综合均值不等式及不等式综合目录题型一：公式直接用题型二：公式成立条件题型三：对勾型凑配题型四：“1”的代换：基础代换型题型五：“1”的代换：有和有积无常数型题型六：“1”的代换：有和有积有常数型题型七：分母构造型：分母和定无条件型题型八：分母构造型：分离型型题型九：分母构造型：一个分母构造型题型十：分母构造型：两个分母构造型题型十一：分离常数构造型题型十二：换元构造型题型十三：分母拆解凑配型题型十四：万能“K”型题型十五：均值不等式应用比大小题型十六：利用均值不等式求恒成立参数型题型十七：因式分解型题型十八：三元型不等式题型一：公式直接用1(22-23高三北京阶段练习)若ab0，且a
20、+b=1，则在下列四个选项中，最大的是()A.12B.a2+b2C.aD.2ab【答案】C【分析】(1)先判断a12b0，可得2b1，所以2abb0且a+b=1，a12b0，可排除A；又2b12aba，排除D；a2+b2-a=a+b2-2ab-a=1-2ab-a=a+b-2ab-a=b-2ab=b 1-2a0，即a2+b2b0且a+b=1，可取a=23，b=13.则：a2+b2=59，2ab=49，因为23591249.故选：C.2(22-23高三全国课后作业)若a0,b0，则下列不等式中不成立的是()A.a2+b22abB.a+b2 abC.a2+b212(a+b)2D.1a+1b0,b0，
21、所以a+b2 ab，故B正确；又a2+b2-12(a+b)2=12a2+12b2-ab=12(a-b)20，所以a2+b212(a+b)2，故C正确；不妨令a=2,b=1,则1a+1b=321a-b=1(ab)，故D错误.故选：D.3(22-23高一下黑龙江佳木斯开学考试)设x0，y0，且xy=9，则x+y的最小值为()A.18B.9C.6D.3【答案】C【分析】根据基本不等式，即可求解.【详解】x0,y0 x+y2 xy=6，(当且仅当x=y=3，取“=”)故选：C.4(23-24高一下河南开学考试)设a1,babC.ab-1D.b1,b0，所以ab0，则a2+b2ab1，所以1-a0，又b
22、0，即b-ab0，所以a+b-ab0，即a+bab，则B3选项正确；当a=2,b=-12时，ab=-1，则C选项错误；因为a1,b0，所以bab，则D选项错误.故选：B5(2024重庆模拟预测)设x,y0且x+2y=1，则log2x+log22y的最大值为【答案】-2【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式即可求解.【详解】因为x,y0且x+2y=1，则1=x+2y2 2xy，解得：2xy14，当且仅当x=12，y=14时等号成立，所以2xy的最大值为14，则log2x+log22y=log22xylog214=-2，即log2x+log22y的最大值为-2故答案为：-2题型二：公式成立
23、条件1(23-24高三辽宁本溪开学考试)下列函数中，最小值为2的是()A.y=x+2xB.y=ex2+e-x2C.y=sinx+1sinx0 x2D.y=x2+3x2+2【答案】B【分析】举反例可判断A错误；由基本不等式可得B正确；由基本不等式和正弦函数的值域可判断 C错误；由基本不等式和完全平方可判断D错误.【详解】A：当x0时，y=x+2x0，b0，则“a+b26”是“ab 6”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据基本不等式以及必要不充分条件的定义求解.【详解】a0，b0，a+b2ab，当且仅当a=b时等号成立，若ab 6时，
24、a+b2ab 6，则ab 6a+b26，即“a+b26”是“ab 6”的必要不充分条件，而a+b26无法推出ab 6，所以“a+b26”是“ab 6”的必要不充分条件.故选：B.3(23-24高三西藏林芝期中)下列命题中正确的是()A.若a0,b0，且a+b=16，则ab64B.若a0，则a+4a2a4a=4C.若a,bR，则ab(a+b)22D.对任意a,bR，a2+b22ab,a+b2 ab 均成立.【答案】A【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，aba+b22=64，当且仅当a=b=8时等号成立，A选项正确.B选项，当a0时，a+4a0,b0时，ab0,
25、a+b220，所以C选项错误.D选项，当a0,b0时，a+b0，a+b2 ab 不成立，所以D选项错误.故选：A4(多选)(23-24高三四川眉山期中)下列结论正确的是()A.若x1，则 1+a1+1a6【答案】ABC5【分析】利用基本不等式可判断ABC选项，利用特殊值法可判断D选项.【详解】对于A选项，若x0，则x+1x=-x+1-x-2-x1-x=-2，当且仅当-x=-1xx1，取a=32，则 1+a1+1a=5253=2566，D错.故选：ABC.5(多选)(23-24高三重庆南岸期中)下列说法正确的是()A.函数y=x+4x(x-2)的最小值是6D.若x+y=4，则x2+y2的最小值是
26、8【答案】ACD【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，对于函数y=x+4x(x-2)，x+20，x+16x+2=x+2+16x+2-22x+216x+2-2=6，当且仅当x+2=16x+2,x=2时等号成立，所以C选项正确.D选项，由基本不等式得x2+y22x+y22，所以x2+y22x+y22=222=8，6当且仅当x=y=2时等号成立，所以D选项正确.故选：ACD6(多选)(23-24高三贵州贵阳阶段练习)下列命题中正确的是()A.当a,bR时，aba2+b22B.若x0，则函数 f x=x2+4x的最小值等于4 xC.若2x+2y=1，则x+y的取
27、值范围是-,-2D.3-aa+6-6a3的最大值是92【答案】ACD【分析】利用基本不等式知识即可判断，需注意“一正二定三相等”.【详解】当a,bR时，重要不等式aba2+b22成立，故A正确；B选项中对于均值不等式的运用出错，不满足“一正二定三相等”中的“积为定值”条件，故 B错误；由于2x+y=2x2y2x+2y22=122=14，当且仅当x=y时等号成立.因此2x+y2-2,x+y-2，即x+y的取值范围是-,-2，故C正确；由于-6a3，3-a0,a+60根据均值不等式得3-aa+63-a+a+62=92，当且仅当3-a=a+6，即a=-32时等号成立，即3-aa+6有最大值为92，故
28、D正确.故选：ACD.题型三：对勾型凑配1(2023湖南岳阳模拟预测)已知函数 f x=3-x-2x，则当x0时，f x有()A.最大值3+2 2B.最小值3+2 2C.最大值3-2 2D.最小值3-2 2【答案】B【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由题意当x5的最小值为()A.2B.5C.6D.7【答案】D【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由x25可得x2-50，所以y=x2+1x2-5=x2-5+1x2-5+52x2-51x2-5+5=7，当且仅当x2-5=1x2-5，即x=6 时等号成立，故选:D3(21-22高二上陕西咸阳期中)已知函数 f x=4x-2+14x-5的定义域为-
29、,54，则 f x的最大值为()A.5B.-5C.1D.-1【答案】C【分析】令4x-5=t之后用基本不等式求函数的最值.【详解】x-,54,令4x-5=t,t3，则y=2x-3+2x的最小值是()A.6B.8C.10D.12【答案】C【分析】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件.【详解】由x-30，则y=2x-3+2(x-3)+622x-32(x-3)+6=10，当且仅当x=4时等号成立，故最小值为10.故选：C5(23-24高三广东佛山模拟)函数 f x=x+1x-1，x1的最小值为()A.1B.2C.3D.5【答案】C【分析】利用配凑法结合基本不等式求解即可.8【详解】因为x1，所以
30、x-10，则 f x=x+1x-1=x-1+1x-1+12x-11x-1+1=3，当且仅当x-1=1x-1，即x=2时取等号，所以函数 f x=x+1x-1，x1的最小值为3.故选：C.题型四：“1”的代换：基础代换型1(2022高三上全国专题练习)若a，bR R，ab0且a+b=2，则1a+1b的最小值为()A.2B.3C.4D.5【答案】A【详解】将1a+1b=1a+1ba+b展开利用基本不等式求得最小值可得答案.【分析】因为ab0且a+b=2，所以a,b0，1a+1b=121a+1ba+b=122+ba+ab122+2baab=2，当且仅当ba=ab，即a=b=1时等号成立，所以1a+1
31、b的最小值为2.故选：A.2(23-24高三贵州黔南阶段练习)已知x,y0且x+4y=1，则1x+1y的最小值为()A.4 2B.8C.9D.10【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】1x+1y=1x+1yx+4y=1+4+xy+4yx5+2xy4yx=9，当且仅当xy=4yx，即x=13,y=16时，等号成立，故1x+1y的最小值为9.故选：C3(23-24高三河南南阳阶段练习)若a0,b0，a+3b=1，则的1a+13b最小值是()A.2B.4C.3D.8【答案】B9【分析】利用常数代换的思想和基本不等式即可求得.【详解】因a0,b0，a+3b=1，故由1a+13
32、b(a+3b)=2+3ba+a3b2+23baa3b=4，当且仅当3ba=a3b时，等号成立.由a+3b=13ba=a3b,解得：a=12b=16.即当且仅当a=12,b=16时，1a+13b取最小值为4.故选：B.4(22-23高一下湖南邵阳阶段练习)设a0，b0，若2a+b=2，则2a+1b的最小值为()A.3 2B.4C.9D.92【答案】D【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】2a+1b=12 2a+b2a+1b=12 5+2ab+2ba12 5+22ab2ba=92，当且仅当2ab=2ba,a=b=23时等号成立.故选：D5(22-23高三内蒙古呼和浩特期中)已知x，y为正实数
33、，且2x+1y=2，则x+2y的最小值是()A.2B.4C.8D.16【答案】B【分析】结合基本不等式求得正确答案.【详解】依题意，x0,y0，x+2y=12x+2y2x+1y=124+xy+4yx124+2xy4yx=4，当且仅当xy=4yx,x=2y=2时等号成立.故选：B题型五：“1”的代换：有和有积无常数型1(23-24高三上江苏连云港阶段练习)若a0，b0，且a+b=ab，则2a+b的最小值为()A.3+2 2B.2+2 2C.6D.3-2 210【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】a0，b0，由a+b=ab得1a+1b=1，故2a+b=2a+b1a+1b
34、=2+1+2ab+ba3+22abba=3+2 2，当且仅当2ab=ba，即a=1+22,b=1+2 时，等号成立，故2a+b的最小值为3+2 2.故选：A2(23-24高二上陕西西安期中)已知a0,b0且2ab=a+2b，则a+8b的最小值为()A.4 2B.10C.9D.272【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.【详解】由2ab=a+2b可得，1a+12b=1，所以a+8b=a+8b1a+12b=8ba+a2b+528baa2b+5=9，当且仅当8ba=a2b，即a=3,b=34时取得等号，所以a+8b的最小值为9，故选:C.3(2022四川乐山一模)已知x0，y0，且4x+
35、2y-xy=0，则2x+y的最小值为()A.16B.8+4 2C.12D.6+4 2【答案】A【分析】由题意得，2x+4y=1，再根据基本不等式乘“1”法即可得最小值.【详解】由题可知2x+4y=1，乘“1”得2x+y=(2x+y)2x+4y=8xy+2yx+828xy2yx+8=16，当且仅当8xy=2yx时，取等号，则2x+y的最小值为16.故选：A4(21-22高三山西太原阶段练习)已知a0，b0，3a+b=2ab，则a+b的最小值为()A.2B.3C.2+2D.2+3【答案】D【详解】根据题意，3a+b=2ab32b+12a=1，11a+b=32b+12a(a+b)=2+3a2b+b2
36、a2+23a2bb2a=2+3，当且仅当b=3a且3a+b=2ab时等号成立，a+b的最小值为2+3，故选：D5(23-24高一下广西开学考试)已知a0，b0，且a+b=ab，则2ab-a+7b的最小值是()A.6B.9C.16D.19【答案】C【分析】由题干等式变形得出1a+1b=1，可得出2ab-a+7b=a+9b，将代数式a+9b与1a+1b相乘，展开后利用基本不等式可求得a+9b的最小值.【详解】因为a+b=ab且a0，b0，所以1a+1b=1，则2ab-a+7b=2a-a+2b+7b=a+9b=1a+1ba+9b=9ba+ab+1029baab+10=16，当且仅当9ba=ab1a+
37、1b=1 时，即当a=4，b=43时，等号成立.因此，2ab-a+7b的最小值是16.故选：C.题型六：“1”的代换：有和有积有常数型1(23-24高三广西模拟)已知a2+b2=ab+4，则a+b的最大值为()A.2B.4C.8D.2 2【答案】B【分析】利用基本不等式可得关于a+b的一元二次不等式，解不等式即可.【详解】a2+b2=ab+4，则有(a+b)2=3ab+43(a+b)24+4，可得(a+b)216，即a+b4，当且仅当a=b=2时，等号成立.所以a+b的最大值为4.故选：B2(23-24高三甘肃模拟)若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是()A.-,6B.6,9C
38、.9,+D.9,12【答案】C12【分析】利用基本不等式a+b2 ab 将等式转化为关于ab的不等式即可求解.【详解】a+b2 ab，ab=a+b+32 ab+3，即ab-2 ab-30.ab+1ab-30，又因为a，b为正数，所以ab+10.ab-30，即ab9，当且仅当a=b等号成立，故ab的取值范围是 9,+.故选：C.3(23-24高三江苏模拟)已知正实数a，b满足ab+a+b=8，则a+b的最小值是()A.8B.6C.4D.2【答案】C【分析】注意到不等式aba+b22，所以可将条件等式转换为关于a+b的一元二次不等式，从而即可得解.【详解】注意到 a-b202aba2+b24aba
39、2+2ab+b2=a+b2aba+b22，等号成立当且仅当a=b，从而ab+a+b=8a+b22+a+b，因为a，b是正实数，所以解得a+b4或a+b-8(舍去)，即a+b的最小值是4，等号成立当且仅当a=b=2.故选：C.4(23-24高三安徽阜阳模拟)已知正实数x，y满足2x+y+6=xy，记xy的最小值为a；若m，n0且满足m+n=1，记1m+9n的最小值为b.则a+b的值为()A.30B.32C.34D.36【答案】C【分析】由条件2x+y+6=xy，利用基本不等式可求得xy18，可得a的值，又由“1”的代换可求得1m+9n的最小值，可得b的值，进而得解.【详解】根据题意，2x+y+6
40、=xyxy=2x+y+62 2xy+6，当且仅当2x=y时等号成立，令xy=t(t0)，有t22 2t+6，解得t3 2，即xy18，a=18；m+n=1，131m+9nm+n=1+9+nm+9mn10+2nm9mn16，当且仅当nm=9mn，即m=14，n=34时等号成立，b=16；a+b=34.故选：C.5(23-24高三福建莆田模拟)已知x2，y1，xy=x+2y+2，则x+y的最小值是()A.1B.4C.7D.3+17【答案】C【分析】利用基本不等式求和的最小值.【详解】由xy=x+2y+2，得 x-2y-1=4，又x2，y1，即x-20，y-10，则 x-2y-1x-2+y-122，
41、即x+y-3224，解得x+y7，当且仅当x-2=y-1=2，即x=4，y=3时，等号成立，所以x+y7，故选：C.题型七：分母构造型：分母和定无条件型1(2020高三全国专题练习)9sin2+1cos2的最小值为()A.2B.16C.8D.12【答案】B【分析】先构造9sin2+1cos2=sin2+cos29sin2+1cos2，再利用均值不等式求最值即可.【详解】解：sin2+cos2=1，9sin2+1cos2=sin2+cos29sin2+1cos2=10+sin2cos2+9cos2sin210+2sin2cos29cos2sin2=10+6=16，当且仅当sin2cos2=9co
42、s2sin2，即sin2=34，cos2=14时“=”成立，故9sin2+1cos2的最小值为16.故选：B.【点睛】本题考查了均值不等式的应用，重点考查了构造均值不等式求最值，属基础题.2(21-22高三福建莆田期末)当0 x1时，1x+41-x的最小值为()A.0B.9C.6D.1014【答案】B【分析】利用x+1-x=1，借助基本不等式计算即可.【详解】因为0 x0,1-xx0,4x1-x0,因为x+1-x=1，所以1x+41-x=1x+41-x1=1x+41-x x+1-x=1-xx+4x1-x+5，1x+41-x=1-xx+4x1-x+521-xx4x1-x+5=9，当且仅当1-xx
43、=4x1-x时，即x=13时，1x+41-x取得最小值9.故选：B.3(2024山西临汾三模)若0 x1，则1x+21-x的最小值是()A.1B.4C.2+2 2D.3+2 2【答案】D【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可【详解】因为0 x0，则1x+21-x=1x+21-x x+1-x=3+1-xx+2x1-x3+2 2，当且仅当1-xx=2x1-x，即x=2-1时，等号成立，取得最小值3+2 2，故选：D4(22-23高三江苏南通模拟)函数 f(x)=1x+1+25-2x-1x52的最小值是()A.76B.87C.98D.65【答案】B【分析】由 f(x)=27(2x+2)+(5-
44、2x)12x+2+15-2x展开后，运用基本不等式可得所求最小值，注意取值条件.【详解】由-1x0,5-2x0，f(x)=1x+1+25-2x=22x+2+25-2x=27(2x+2)+(5-2x)12x+2+15-2x=272+5-2x2x+2+2x+25-2x272+25-2x2x+22x+25-2x=87，仅当5-2x2x+2=2x+25-2x，即x=34时等号成立，故 f(x)的最小值为87.故选：B5(23-24高三四川成都期中)若0 x0，且(1-3x)+3x=1，将y=32x+21-3x变形为923x+21-3x(1-3x)+3x，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】因为
45、0 x0，则(1-3x)+3x=1，故y=32x+21-3x=923x+21-3x(1-3x)+3x=132+9(1-3x)23x+6x1-3x132+29(1-3x)23x6x1-3x=252，当且仅当9(1-3x)23x=6x1-3x，即x=15时等号成立，即y=32x+21-3x的最小值为252，故选：D题型八：分母构造型：分离型型1(21-22高三辽宁沈阳模拟)若不等式2x2+x+12x+1a在区间 0,1上有解，则实数a的取值范围是()A.a2-12B.a1C.a43D.aa在区间 0,1上有解，只需a43，故选：C2(23-24高三海南海口阶段练习)若函数 f(x)=x2+2x+a
46、x+1在x0,+)是增函数，则实数a的取值范围是()A.-,2B.0,1C.(-,1D.1,2【答案】A【分析】变形换元得到y=t+a-1t，t 1,+，考虑a-10三种情况，结合对勾16函数性质得到不等式，求出实数a的取值范围.【详解】f(x)=x2+2x+ax+1=x+1+a-1x+1，令x+1=t 1,+，故y=t+a-1t，t 1,+，当a-10，即a0，即a1时，由对勾函数性质得到y=t+a-1t在a-1,+上单调递增，故0a-1 1，解得1a2，综上，实数a的取值范围是-,2.故选：A3(2020高三河北石家庄阶段练习)已知x3，则y=x2-3x+4x-3的最大值是()A.-1B.
47、-2C.2D.7【答案】A【分析】化简y=x2-3x+4x-3为y=(x-3)+4x-3+3，利用均值不等式求解即可.【详解】y=x2-3x+4x-3=(x-3)2+3(x-3)+4x-3=(x-3)+4x-3+3x3，x-30，4x-31)有解”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用基本不等式求得当x1时，x2-x+1x-1的最小值为3，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意知x1，可得x-10，17则x2-x+1x-1=(x-1)2+(x-1)+1x-1=x-1+1x-1+12(x-1)1x-1+1=
48、3，当且仅当x-1=1x-1时，即x=2时，等号成立，所以当x1时，x2-x+1x-1的最小值为3，当a4时，可得关于x的不等式x2-x+1x-1a有解成立，即充分性成立，反之：关于x的不等式x2-x+1x-1a有解时，a4不一定成立，即必要性不成立，所以“a4”是“关于x的不等式x2-x+1x-1a有解”的充分不必要条件.故选：A.5(20-21高三浙江绍兴期中)若-1x1，则y=x2-2x+22x-2有()A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1【答案】A【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.【详解】因-1x1，则01-x0且x+1+y=2，利用乘“1”法及基本
49、不等式计算可得.【详解】因为非负实数x,y满足x+y=1，显然x0，则x0，所以x+1+y=2，则1x+11+y=121x+11+yx+1+y=121+1+1+yx+x1+y122+21+yxx1+y=2，当且仅当1+yx=x1+y，即x=1，y=0时取等号，18所以1x+11+y的最小值为2.故选：B2(23-24高一下福建南平期中)已知a0，b0，2a+b-3=0，则12a+1+1b的最小值为()A.2B.1C.32D.34【答案】B【分析】由题意可得2a+14+b4=1，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解.【详解】因为2a+b-3=0，可得2a+14+b4=1，且a0，b0，可知
50、2a+10，则12a+1+1b=2a+14+b412a+1+1b=12+b4 2a+1+2a+14b12+2b4 2a+12a+14b=1，当且仅当b4 2a+1=2a+14b，即a=12,b=2时，等号成立，所以12a+1+1b的最小值为1.故选：B.3(23-24高三下江苏扬州开学考试)已知实数a1，b0，满足a+b=3，则2a-1+1b的最小值为()A.3+2 24B.3+2 22C.3+4 22D.3+4 24【答案】B【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】实数a1，b0，由a+b=3，得(a-1)+b=2，因此2a-1+1b=12(a-1)+b2a-1+1