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1、2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学试题一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合，则集合 2.已知复数满足（为虚数单位），则 3.双曲线的渐近线方程为 4.某中学共有人，其中高二年级的人数为.现用分层抽样的方法在全校抽取人，其中高二年级被抽取的人数为，则 5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字，）先后抛掷次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于的概率为 6.如图是一个算法的流程图，则输出的值是 7.若正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为 8.设是等差数列的前项和，若，则 9.已知，且
2、，则的最小值是 10.设三角形的内角，的对边分别为，已知，则 11.已知函数（是自然对数的底）.若函数的最小值是，则实数的取值范围为 12.在中，点是边的中点，已知，则 13.已知直线：与轴交于点，点在直线上，圆：上有且仅有一个点满足，则点的横坐标的取值集合为 14.若二次函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，.（1）若角的终边过点，求的值；（2）若，求锐角的大小.16.如图，正三棱柱的高为，其底面边长为.已知点，分别是棱，的中点，点是棱上靠近的三等分点.求证：（1
3、）平面；（2）平面.17.已知椭圆：经过点，点是椭圆的下顶点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点且互相垂直的两直线，与直线分别相交于，两点，已知，求直线的斜率.18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径为，是圆心，且.在上有一座观赏亭，其中.计划在上再建一座观赏亭，记.（1）当时，求的大小；（2）当越大，游客在观赏亭处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭处的观赏效果最佳时，角的正弦值.19.已知函数，.（1）若，且恒成立，求实数的取值范围；（2）若，且函数在区间上是单调递减函数.求实数的值；当时，求函数的值域.20.已知是数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）对于正整数，已知，成等差数列，
4、求正整数，的值；（3）设数列前项和是，且满足：对任意的正整数，都有等式成立.求满足等式的所有正整数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学（附加题）21.【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1：几何证明选讲如图，是圆的直径，为圆上一点，过点作圆的切线交的延长线于点，且满足.（1）求证：；（2）若，求线段的长.B. 选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，列向量.（1）求矩阵；（2）若，求，的值.C. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆经过点，圆心
5、为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程.D. 选修4-5：不等式选讲已知，都是正数，且，求证：.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥中，底面是矩形，垂直于底面，点为线段（不含端点）上一点.（1）当是线段的中点时，求与平面所成角的正弦值；（2）已知二面角的正弦值为，求的值.23.在含有个元素的集合中，若这个元素的一个排列（，）满足，则称这个排列为集合的一个错位排列（例如：对于集合，排列是的一个错位排列；排列不是的一个错位排列）.记集合的所有错位排列的个数为.（1）直接写出，的值；（2）当时，试
6、用，表示，并说明理由；（3）试用数学归纳法证明：为奇数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学试题参考答案一、填空题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、解答题15.解：（1）由题意，所以.（2）因为，所以，即，所以，则，对锐角有，所以，所以锐角.16.证明：（1）连结，正三棱柱中，且，则四边形是平行四边形，因为点、分别是棱，的中点，所以且，又正三棱柱中且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）正三棱柱中，平面，平面，所以，正中，是的中点，所以，又、平面，所以平面，又平面，所以，由
7、题意，所以，又，所以与相似，则，所以，则，又，平面，所以平面.17.解：（1）由题意得，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）由题意知，直线，的斜率存在且不为零，设直线：，与直线联立方程有，得，设直线：，同理，因为，所以，无实数解；，解得，综上可得，直线的斜率为.18.解：（1）设，由题，中，所以，在中，由正弦定理得，即，所以，则，所以，因为为锐角，所以，所以，得；（2）设，在中，由正弦定理得，即，所以，从而，其中，所以，记，；令，存在唯一使得，当时，单调增，当时，单调减，所以当时，最大，即最大，又为锐角，从而最大，此时.答：观赏效果达到最佳时，的正弦值为.19.解：（1）函数的定义域为.当，恒成
8、立，恒成立，即.令，则，令，得，在上单调递增，令，得，在上单调递减，当时，.（2）当时，.由题意，对恒成立，即实数的值为.函数的定义域为.当，时，.，令，得.-+极小值当时，当时，当时，.对于，当时，当时，当时，.当时，当时，当时，.故函数的值域为.20.解：（1）由得，两式作差得，即.，所以，则，所以数列是首项为公比为的等比数列，所以；（2）由题意，即，所以，其中，所以，所以，；（3）由得，所以，即，所以，又因为，得，所以，从而，当时；当时；当时；下面证明：对任意正整数都有，当时，即，所以当时，递减，所以对任意正整数都有；综上可得，满足等式的正整数的值为和.2017-2018学年度苏锡常镇四
9、市高三教学情况调研（一）数学（附加题）参考答案21.【选做题】A. 选修4-1：几何证明选讲证明：（1）连接，.因为是圆的直径，所以，.因为是圆的切线，所以，又因为，所以，于是，得到，所以，从而.（2）解：由及得到，.由切割线定理，所以.B. 选修4-2：矩阵与变换解：（1）；（2）由，解得，又因为，所以，.C. 选修4-4：坐标系与参数方程解：在中，令，得，所以圆的圆心的极坐标为.因为圆的半径，于是圆过极点，所以圆的极坐标方程为.D. 选修4-5：不等式选讲证明：因为，都是正数，所以，又因为，所以.【必做题】22.解：（1）以为原点，为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设，则，；所以，设平
10、面的法向量，则，即，解得，所以平面的一个法向量，则与平面所成角的正弦值为.（2）由（1）知平面的一个法向量为，设，则，设平面的法向量，则，即，解得，所以平面的一个法向量，由题意得，所以，即，因为，所以，则.23. 解：（1），（2），理由如下：对的元素的一个错位排列（，），若，分以下两类：若，这种排列是个元素的错位排列，共有个；若，这种错位排列就是将，排列到第到第个位置上，不在第个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于个元素的错位排列，共有个；根据的不同的取值，由加法原理得到；（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，均为自然数；当，且为奇数时，为偶数，从而为偶数，又也是偶数，故对任意正奇数，有均为偶数.下面用数学归纳法证明（其中）为奇数.当时，为奇数；假设当时，结论成立，即是奇数，则当时，注意到为偶数，又是奇数，所以为奇数，又为奇数，所以，即结论对也成立；根据前面所述，对任意，都有为奇数.