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1、第三十三讲 已知极值点求参数的值或范围知识与方法1 .已知函数/(另有极值点方,求参数的值或范围，一般有两种情况：(1)由(%) = 0可以解出参数的值，这类题较为简单，只需由/(%) = 0求出参数的 值，再代回/(月去研究/(月的单调性，确认可在x = x0处取得极值即可.(2)由(%) = 0不能解出参数的值，这类题一般需要对参数进行分类讨论，研究函数 的单调性，当尸(力的表达式较为复杂时，可能需要用到二阶导数，甚至三阶导数.2 .高等代数视角：设函数y = /(x)在/处存在(之2)阶导数，且满足 /。) = /() =#2)(%) = 0,而/()(力0,则当为偶数时，/必为/(%)
2、的极值 点，若，)(/)。，则与为极小值点，若/(品)()，则与为极大值点；当为奇数时, X。不是/(X)的极值点，其中/(X。)表示“X)在X = X。处的阶导数值.注意：采用高等代数的方法作答存在被扣分的风险，所以在正式作答时不建议大家使用 此法，本节后续题目给出的高等代数解法仅供参考.在实际作答时，如有必要，可先用高等代 数的方法来快速地获得问题的答案，为用初等方法研究问题指明方向.典型例题【例1】已知函数 X)= VX在x = l处取得极小值，求实数，的值.【例2】已知x = l是函数x)=(x-2)，-人/+日的极小值点，求实数攵的取值范围.【例3】已知函数x) = %ln%- -加
3、+(一1)% ,其中qeR.(1)若4 = 2,求/(X)在x = l处的切线方程；(2)若/是/(x)的极大值，求。的取值范围.图1图2图3【例4】(2018 新课标HI卷)已知函数/(%) =(2 + x +加)ln(l + x)-2x. (1)若 q = 0,证明：当一 1xv0时，/(%) 0 时，/(%) 0 ； (2)若x = 0是/(x)的极大值点，求。的值.强化训练1 .设函数4x) = lnx6a2 -Zzx ,其中a/wR,若x = 1是/(x)的极大值点，求a的取值范围.2 .已知函数x) = -*2,其中qgR, e为自然对数的底数.(1)讨论力的导函数,尸(X)的单调性；(2)设g(x) = cosx + x-/(X),若x = 0是g(x)的极小值点，求实数Q的取值范围.3 .已知函数=/ + J其中QR(1)若a = 0,证明：当 lvI时,/(%)()；(2)若x = 0是/(x)的极小值点，求。的取值范围.