《2021年全国中考数学真题分类汇编：图形的旋转与相似及答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年全国中考数学真题分类汇编：图形的旋转与相似及答案解析.pdf（38页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年全国中考数学真题分类汇编：图形的旋转与相似一、选 择 题（共 6 小题）1.（2 0 2 1 黄石）如图，A A B C 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点 的 坐 标 是 现 将 Z V LB C 绕 A点按逆时针方向旋转9 0。，则旋转后点C的坐标是（）C.(-2,2)D.(-3,2)2.（2 0 2 1 贺州）在平面直角坐标系中,点4（3,2）关于原点对称的点的坐标是（）A.(-3,2)B.(3,-2)C.(-2,-3)D.(-3,-2)3.（2 0 2 1 哈尔滨）如图，在中,D E/B C,A D=2,B D =3 ,A C =1 0,则 他 的长为（）C.5D.64.
2、（2 0 2 1 广西）平面直角坐标系内与点尸（3,4）关于原点对称的点的坐标是（）A.(-3,4)B.(-3,Y)C.(3,-4)D.(4,3)5.（2 0 2 1 本溪）下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（C.B.6.（2 0 2 1 安徽）如图，在菱形A B C D 中，钻=2,Z A =1 2 O,过菱形A B C D 的对称中心。分别作边A 5,第1页 共3 8页8C的垂线，交各边于点E,F,G ,H ,则四边形 F G”的周长为（C.2 +G D.1 +2 /3二、填 空 题（共 5小题）7.（2
3、 0 2 1 上海）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2,中心为O,在正方形外有一点尸，O P=2,当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离”的取值范围为C8.（2 0 2 1 青海）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转1 2 0。后可以和自身重合.若每个叶片的面积为4 cm2,Z A O B为 1 2 0。，则图中阴影部分的面积之和为 cm2.9.（2 0 2 1 牡丹江）如图，矩形4 3 C D 中，4 0 =7 1 4 8,点 E在 边 上，且 隹=4 4 _ 1 _ 他 于 点 F,连接。,BF,防 的 延 长
4、 线 交 于 点 O,交 C ）于点G.以下结论：A F =D C,O F:B F =CE:CG,S cc=y/2SFG,图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号第2页 共3 8页10.（2021抚顺）在平面直角坐标系中，点M（-2,4）关于原点对称的点的坐标是.11.（2021大庆）已知二=2=三，则三3=2 3 4 yz三、解 答 题（共 9 小题）12.（2021长春）如图，在菱形ABCD中，对角线A C与 相 交 于 点O,A C =4,瓯=8,点E在边AD上，A E =-AD,连结BE交AC于点3（1）求A M的长.（2）tanNMBO的值为.第3页 共3 8页13.（2021 江西
5、）已知正方形4 3 8的边长为4个单位长度，点E是 8 的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）.（1）在 图1中，将直线AC绕着正方形ABC。的中心顺时针旋转45。；（2）在图2中，将直线A C向上平移1个单位长度.第4页 共3 8页14.(2021百色)如图，P M、PN是 OO的切线，切点分别是A、B,过点O 的直线CE/PN,交。于点 C、D,交 R 0 于点；,4)的延长线交PN于点尸，若 BCJ iPM.(1)求证：ZP=45；(2)若 CD=6,求 的 的长.第5页 共3 8页1 5.（2 0 2 1 黑龙江）已知N A B C=6 0。，点 F在直线BC上，以 跖
6、 为边作等边三角形4 E,过点E作 中 _ L 4?于点。.请解答下列问题：图 图 图（1）如图，求证：A B+B F =2 B D；（2）如图、图，线段A 3,BF,又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明.第6页 共3 8页1 6.(2 0 2 1 黑龙江)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内,430的三个顶点坐标分别为4(-1,3),8(T,3),0(0,0).(1)画出A A 8 O 关于x 轴对称的 48Q,并写出点A的坐标；(2)画出A A B O 绕点。顺时针旋转9 0。后得到的 4 打0,并写出点&的坐标；(3)在(2)的条件下，求点
7、A旋转到点儿所经过的路径长(结果保留；r).第7页 共3 8页1 7.(2 0 2 1 贵港)尺规作图(只保留作图痕迹，不要求写出作法).如图，已知A A 8 C，且(1)在A B边上求作点。，使D B =)C;(2)在A C边上求作点E，使AADES A4 c B.第 8 页 共 3 8 页1 8.（2 0 2 1 绥化）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形。4 B C 的 4个顶点均在格点上，连接对角线0 8.（1）在平面直角坐标系内，以原点。为位似中心，把 。钻 缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与A
8、O A B 的相似比等于1；2（2）将 A O A B 以O为旋转中心，逆时针旋转9 0。，得到 O A 4，作出。4 罔，并求，出线段08旋转过第9页 共3 8页19.（2021北京）如图，在AA8C中，AB=AC,Z B A C =a ,M为 的 中 点，点。在上，以点A为中心，将线段4）顺时针旋转a得 到 线 段 他，连接BE,DE.（1）比较N S A E V N C，山的大小；用等式表示线段座，B M ,之间的数量关系，并证明；（2）过点M作A B的垂线，交 D E 于点、N,用等式表示线段N E与N 的数量关系，并证明.第1 0页 共3 8页20.（2021 重庆）在等边AABC中
9、，45=6,B D L A C,垂足为。，点 E 为 4 3 边上一点，点下为直线双）上一点，连接 F.（1）将 线 段 所 绕 点 E 逆时针旋转60。得到线段E G,连接FG.如图1,当点E 与点3 重合，且G F 的延长线过点C 时，连接O G,求线段0 G 的长；如图2,点 E 不与点A,B 重合，G尸的延长线交8 c 边于点，连接E H,求证：B E+B H =6 B F ；（2）如图3,当点E 为 4 3 中点时，点”为3 E 中点，点 N 在边AC上，旦 D N =2 N C,点 F 从 皮中点。沿射线8 运动，将线段）绕点E 顺时针旋转60。得到线段比，连 接 用 当 种+品
10、最小时直接写出ADPN的面积.第1 1页 共3 8页2021年全国中考数学真题分类汇编：图形的旋转与相似参考答案与试题解析一、选 择 题（共 6 小题）1.（2 0 2 1黄石）如图，A48C的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（-1,0）,现将AA8C绕A点按逆时针方向旋转9 0。，则旋转后点C的坐标是（）【答案】BC.(-2,2)D.(-3,2)【考点】坐标与图形变化-旋转【专题】几何直观；作图题【分析】利用旋转变换的性质分别作出8,C的对应点夕，C可得结论.【点评】本题考查坐标与图形变化-旋转，平移等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型.2.（2 02 1
11、 贺州）在平面直角坐标系中,点A（3,2）关于原点对称的点的坐标是（）A.(-3,2)B.(3,-2)C.(2,3)D.(-3,-2)【答案】D【考点】关于原点对称的点的坐标【专题】符号意识：平面直角坐标系第1 2页 共3 8页【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O 的对称点是P(-x,-y).【解答】解：点(3,2)关于原点对称的点的坐标是：(-3,-2).故选：D.【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键.3.(2021哈尔滨)如图，在 A/WC 中，D E/BC,4)=2,BD=3,AC=1 O,则 他 的长为()
12、A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【考点】平行线分线段成比例【专题】推理能力；图形的相似【分析】根据平行线分线段成比例由D E/B C 得 到 丝=空，然后根据比例的性质可求出M.AB AC【解答】解：.DE/BC,_ AD AE AB-AC .,犯=2,BD=3,AC=1O,.2 _ AE 2+3-m:.A E=4.故选：B.【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.4.(2021广西)平面直角坐标系内与点尸(3,4)关于原点对称的点的坐标是()A.(-3,4)B.(-3,-4)C.(3,-4)D.(4,3)【答案】B【考点】关于原点对称的点的坐
13、标【专题】平面直角坐标系；符号意识【分析】平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-阳-y),记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆.第1 3页 共3 8页【解答】解：点尸（3,4）关于中心对称的点的坐标为（-3,-4）.故选：B.【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键.5.（2021 本溪）下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）【答案】A【考点】轴对称图形；中心对称图形【专题】平移、旋转与对称；空间观念【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，
14、对各选项分析判断即可得解.【解答】解：A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意.故选：A.【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋 转180度后与原图重合.6.（2021 安徽）如图，在菱形AfiCD中，43=2,ZA=1 2 0,过菱形4 3 c o的对称中心O分别作边43,3 c的垂线，交各边于点E,F,G,H,则四边形E
15、FG”的周长为（）AG第1 4页 共3 8页A.3+73 B.2+2后 C.2+6 D.1 +273【答案】A【考点】等边三角形的判定与性质；中心对称；菱形的性质【专题】平移、旋转与对称；矩形 菱形 正方形；推理能力【分析】证明Afi7是等边三角形，求 出 厮，同法可证ADG”，EOH,A O G 都是等边三角形，求出,GF,尸 G 即可.【解答】解：如图，连接如，AC.四边形ABC。是菱形，ZL4D=120,.AB=BC=CD=AD=2,ZBAO=ZZMO=60。，BDA.AC,.NABO=NC8O=30。，/.OA=AB=1 ,OB=fiOA=G ,2 OE.LAB,O F工 BC,:.Z
16、BEO=ZBFO=90o,在 ABA?和 反3R9中，ZBEO=ZBFO 边长为2,。为正方形中心,：.AE=,Z O A E =45 ,OEAfi,OA=/2 ,-.OP=2,:.d=PA=2-y/2；r.d 的取值范围为2-&蒯/1 .故答案为：2-麴 h 1.【点评】本题考查正方形的性质，旋转的性质，根据题意得出d最大、最小时点P的位置是解题的关键.8.（2 02 1 青海）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O 旋转12 0。后可以和自身重合.若每个叶片的面积为4 d,N A O B 为 12 0。，则图中阴影部分的面积之和为 4 c m?.A【考点】旋转对称图形【专题】平移、旋转与对称
17、；几何直观【分析】由于N A Q B 为 12 0。，由三个叶片组成，绕点O 旋转12 0。后可以和自身重合，所以图中阴影部分的面积之和等于三个叶片的面积和的三分之一.【解答】解：三个叶片组成，绕点。旋转12 0。后可以和自身重合，而 N A O 8 为 12 0。，图中阴影部分的面积之和=：（4+4+4）=4（5 2）.故答案为4.【点评】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360。）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形.9.（2 02 1 牡丹江）如图，矩形A B C D 中，A O =0 A8,点 E在 边 上，且 A E =AO,。尸_ L他
18、 于 点 尸，连接D E,BF,8F的延长线交DE于点O,交 C D 于点G .以下结论：第1 7页 共3 8页 A F =D C,O F:B F =CE:CG,S CG=42SfG,图形中相似三角形有6 对，则正确结论的序号【答案】.【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质【专题】三角形；矩 形 菱 形 正 方 形；应用意识【分析】根据A4S证即可得。尸=心，根据AZ=V L w,得出A B=B E,即AA3E是等腰直角三角形，A AfD 是等腰直角三角形，即尸=心，故正确；作于H,得 出 歹是 3 G 的 中 点，即 3F=F G,连 接 CF,证 O EFsA/
19、pG即可得证O F:B F =CE-.CG,即正确；令43=1,分别求出。G 和 C G 的长度，可得出CG=0 G,故错误，即不正确；根据角相等可以得出图形中相似三角形如下：M B E M F D,这 是 1对；AA8尸SAO所SA 4)E,可组成 3 对；A B C G M)C E A D F E,又可组成3 对；A B E F A B O E A D O G A F D G ,还可组成6 对.综 上，图形中相似三角形有13对，故不正确.【解答】解：-,-AE=AD,A D =41 AB,:.AE=41AB,即AASE是等腰直角三角形,:.ZBAE=45,Z D A F=90-45=45,
20、即A A fD 为等腰直角三角形,:.AF=D F,.ADI IBC,:.ZADE=Z D E C,:A E=A D,：.ZAED=ZADE,第1 8页 共3 8页:.ZAED=ZDEC,又 NDRE=ZDCE=90。，DE=DE,DFE=ADCE(AAS),:.DF=DC,即 AF=DC,故正确；由知AAFD为等腰直角三角形，如 图1,作/_LAD于，连接CF,.点”是 的 中 点，.点F是BG的中点,BF=FG=FC,ZAEB=45,乙EFC=/ECF=-ZAEB=22.5，2/.ZFCG=ZFGC=90-22.5=67.5,ZOFE=ZAFB=1(180-45)=67.5,ZOEF=90
21、-ZEDF=90-22.5=67.5,:.ZFCG=NFGC=NOFE=/O EF,:.NGFCs 江OE,:.OFFC=EFCG,又 .FC=BE,EF=CE,;.OF:BF=CE:CG,即正确；令 AB=1,则 A=AE=3C=也，/.CE=y/2 1 f NGBC=NEDC,ZDCE=NBCG=90。,.ABCGsADCE,BC DC.-=-，CG CE第1 9页 共3 8页C G=2 /2 ,D G =l-(2-V 2)=V 2-l,:.CG=/2DG,SiBCG=9FG 不成乂，即不正确；根据角相等可以得出图形中相似三角形如下：A B E M F D,这 是 1 对；,可组成 3 对
22、；A B C G A D C E A D F E,又可组成 3 对；A B E F A B O E A D O G A F D G ,还可组成 6 对，综上，图形中相似三角形有13对，故不正确.【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用辅助线构造相似三角形是解题的关键.10.（2 02 1 抚顺）在平面直角坐标系中，点知（-2,4）关于原点对称的点的坐标是_（2,一1）_.【答案】（2,T）.【考点】关于原点对称的点的坐标【专题】数感；平面直角坐标系【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案.【解答】解：点（-2,4）关于原点对称的点的坐标
23、为（2,T）.故答案为：（2,-4）.【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.11.（2 02 1大庆）已知二=2=三，则+#=-.2 3 4 y z 一 6一【考点】比例的性质【专题】实数；运算能力第2 0页 共3 8页【分析】设2 =.=幺，分别求出x、y、z 的值，代入所求式子化简即可.2 3 4【解答】解：设/=上=，2 3 4/.x=2 k y=3 k,z=4%,x2+xy _ 4 k 2 +2 k-3 k _ 10 A;2 _ 5 y z-3 k-4 k-12 一 6 故答案为2.6【点评】本题
24、考查比例的性质，利用比值相等的特点，将已知等式进行转化得到x =2%,y =3&,z=4%是解题的关键.三、解 答 题（共 9 小题）12.（2 0 2 1长春）如图，在菱形458中，对角线AC 与 比 相交于点O,A C =4,B D =8,点 E在边A D上，A E =-AD,连结BE 交AC 于点M.3（1）求 A/的长.（2）t an NMB O 的值为-1-2)4【考点】菱形的性质；解直角三角形；相似三角形的判定与性质【专题】解直角三角形及其应用；矩 形 菱 形 正 方 形；推理能力【分析】（1）由菱形的性质可得再由空求解.C M B C（2）由 t an NA e O =&e求解.
25、B O【解答】解：（1）在菱形A f i S 中，A D/B C,A D =B C,M EMSACBM,A M A EC M -B C第 2 1 页 共 3 8 页/AE=-A D,3AE=-B C,3.AM AE 1GW-5 C-3 AM=-CM =-A C =.3 4（2）.AO AC=2,=ACB）,2 2/.ZBOM=90,4M=O M AO=I,2八i OM 1r.tan AMBO=-=.BO 4故答案为：.4【点评】本题考查菱形与直角三角形，解题关键是熟练掌握菱形的性质与解直角三角形的方法.13.（2021江西）已知正方形钻8 的边长为4 个单位长度，点 E 是 CD的中点，请仅用
26、无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）.（1）在 图 1 中，将直线AC绕着正方形A 8 8 的中心顺时针旋转45。；（2）在图2 中，将直线AC向上平移1 个单位长度.【考点】作图-平移变换；正方形的性质；作图-旋转变换；全等三角形的判定与性质【专题】几何直观；作图题；平移、旋转与对称【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质即可作出图形；（2）根据平移的性质即可作出图形.【解答】解：（1）如 图 1,直线/即为所求；第2 2页 共3 8页图 2（2）如图2中，直线a 即为所求.【点评】本题考查了作图-旋转变换，作图-平移变换，正方形的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质和平移的性质.14
27、.（2 0 2 1百色）如图，P M、/W是 的 切 线，切点分别是A、B,过点O的直线CE/P N,交G）O于点C、D,交 P M 于点、E,4）的延长线交/W于点尸，若 B C I I P M .（1）求证：Z P =4 5 ;（2）若 C D =6,求 PF 的长.【答案】（1）见解析；（2）PF=3.【考点】圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质；切线的性质【专题】图形的相似；正多边形与圆；应用意识【分析】（1）连接O B,P M、PN 切。于点A、B,根据平行四边形的判定得出四边形P B C E 是平行四边形，即 N P =/C =4 5 ,（2）C D=6 ,由（1 ）得 4
28、=Z P =4 5。，根据勾股定理得出OE 的长度，由相似三角形的判定得出第2 3页 共3 8页AAEEAAPF,根据相似比可以得出PF的长.【解答】解：（1）证明：连接03,；PM、PN切OO于点A、B,:.OAPM,OB工 PN,CE/W,:.OBCE,OB=OC,/.ZC=45,.BC/PM,.四 边 形 蹬CE是平行四边形，/.ZP=ZC=45；(2)CD=6,：.OB=OA=OD=3,由(1)WZ1=ZP=45,AE=OA=3,/.OE=+32=3y/2=BC,:.PE=BC=3五,ED=OE-OD=3y/2-3,;EDI/PF,/.AAEDAAPF,AE ED=,AP PF即 l-
29、=0,3 及+3 PF:.PF=3.第2 4页 共3 8页【点评】本题考查相似三角形的判定与定理、垂径定理、圆周角定理、切线的性质.解本题要熟练掌握相似三角形的判定与定理、垂径定理、圆周角定理、切线的性质等这些基本知识点.15.(2 0 2 1 黑龙江)已知NA B C=6 0。，点尸在直线B C1上，以A F为 边 作 等 边 三 角 形 过 点E作 即_ L于点。.请解答下列问题：图 图 图(1)如图，求证：A B+B F =2 B D；(2)如图、图，线段 至，B F,如 又 有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明.【答案】(1)证明见解析部分.(2)如图，结论：A B-B F =
30、2 B D,如图，结论：B F-A B =2 B D,证明见解析部分.【考点】几何变换综合题【专题】几何综合题；推理能力【分析】(1)如图中，连接8 E,在B C的 延 长 线 上 截 取 使 得 取=8 4,连接A T.根据等边三角形的性质得到=A F =AE,ZTAB=ZFAE=60 ,推出=证得=根据全等三角形的性质得到7F =3E,ZATB=Z A B E=M 0,根据直角三角形的性质得到BO ,等量代换2即可得到结论；(2)如图中，结论：A B-B F =2 B D.连接在3 c的延长线上截取取，使得87=54,连接AT .根据 等 边 三 角 形 的 性 质 得 到AC=AB,A
31、F =A E ,N C4B=N E4E=6 0。，推 出N C4F =N B 4 E,证得AACF =A A B ,根据全等三角形的性质得到C=BE,N C =N A8E=6 0。，根据直角三角形的性质得到BD=-B E,等量代换即可得到结论.如图中，结论：B F-A B =2 B D,证明类似中.2【解答】(1)证明：如图中，连接3 E,在 的 延 长 线 上 截 取3 7,使得37=3 4,连接AT.第2 5页 共3 8页E.A4B7是等边三角形，/AABT,AAEF是等边三角形，：.AT=AB,AF=AE,ZTAB=ZFAE=60,:.ZTAF=ZBAE,在AA7F与AA5E中，AT=A
32、B ZTAF=NBAE,AF=AE：.ATF=/ABE(SAS),；.TF=BE,ZATB=ZABE=60,.ED上AB,:DEB=30。,:.BD=-B E,2:.TF=2BD,.BT=AB,:.AB+BF=2BD.(2)如图，结论：AB-BF=2BD.理由：连接B E,在3。的延长线上截取 取，使得=连接AT.第2 6页 共3 8页图/A4BT,AAF是等边三角形，：.A T=AB,AF=AE,ZTAB=ZFAE=60,:.ZTAF=ZBAE,在AA7F与AA破 中，AT=AB ZTAF=NBAE,AF=AEAA7F=ABE(SAS),：.TF=BE,ZATF=ZABE=60,:.ZEBD
33、=。,.ED工AB,.ZDEB=30,；.BD=LBE,2:.TF=2BD,BT=AB,:.AB=2BD,:,A B-B F =2BD.如图，结论：BFAB=2BD.理由：连 接 的，在8。上截取B T,使得取=8 4,连接AT.第2 7页 共3 8页A图.AAB7,AAEF是等边三角形，:.A T=AB,AF=AE,.Z7AF=Zfi4E,在AA7F与AAfiE中，AT=AB AC.（1）在 A B 边上求作点O,使DB=DC；（2）在 A C 边上求作点E,使AADES A4c B.【考点】线段垂直平分线的性质；作图-相似变换【专题】作图题；几何直观【分析】（1）作线段8 C 的垂直平分线
34、交相于点O,连接C D 即可.（2）作 N A O T =NA C 8,射线）7 交 A C 于点E,点 E 即为所求.【解答】解：（1）如图，点。即为所求.（2）如图，点 E 即为所求.【点评】本题考查作图-相似变换，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.1 8.（2 0 2 1 绥化）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形。4 B C 的 4 个顶点均在格点上，连接对角线0 3.（I）在平面直角坐标系内，以原点。为位似中心，把 A aR 缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似
35、图形与A O A B 的相似比等于L;2（2）将 A O A 8 以O为旋转中心，逆时针旋转9 0。，得到。4,耳，作出 O A 4，并求，出线段08旋转过第3 0页 共3 8页(2)4 a+岳 兀.【考点】矩形的性质；弧长的计算；作图-旋转变换：作图-位似变换【专题】作图题；几何直观【分析】(1)根据位似变换的性质作出图形即可，注意有两种情形.(2)利用勾股定理，弧长公式求解即可.第3 1页 共3 8页(2)如图，OAB1 即为所求.03=2,线段C旋转过程中所形成扇形的周长=2 x 2 g+9 ”=4万+屈 兀.【点评】本题考查作图-位似变换，旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握
36、旋转变换的性质，属于中考常考题型.19.(2021北京)如 图，在AABC中，AB=AC,ZBAC=a,为8C的中点，点。在上，以点A为中心，将线段 顺时针旋转a得到线段A E,连接BE,DE.(1)比较N&4E与NC4的大小；用等式表示线段BE,BM,之间的数量关系，并证明；(2)过点M作AB的垂线，交。于点N,用等式表示线段AE与A的数量关系，并证明.【答案】(1)ZBAE=ZCAD,BE+MD=BM；(2)EN=DN.【考点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力【分析】(1)由NmE=N84C可得N84E=NC4r,然后SAS证=AAC即可；(2)作
37、EH工AB交BC于-H,可证MEF三MHF得BE=BH,再证MF/=M D,再借助M V/,由平行线分线段成比例即可证出.【解答】解：(1)-.-ZDAE=ZBAC=a,：.ZDAE-ABAD=ABAC-NBAD,即 ZBAE=ZCAD,在A45E和AACD中，AB=AC G的长；如图2,点E不与点A ,5重合，G F的延长线交3 c边于点“，连接,求证：B E+B H =BF；(2)如图3,当点E为4 J中点时，点 为 班:中点，点N在边A C上，旦 D N =2 N C,点尸从3 D中点Q沿射线Q D运动，将 线 段 所 绕 点E顺时针旋转6 0。得到线段即，连接即，当NP+MP最小时，直
38、接写第3 3页 共3 8页【答案】（1）证明见解答过程；也.3【考点】几何变换综合题【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力；模型思想；应用意识【分析】（1）过。作_LGC于，先证明ABG/7是等边三角形，求出CO长度，再证明8尸=。尸=6/，从 而 在RtABDC中，求 出 CF=-=2/3,即得 GN,在RtACDH 中，求出cos Z.DCF cos 30=8 1130。=3 和 C，=O c o s 3（）o=更，nJ W GW=GF+FW=,RtzXGHD 中，即可得到2 2 2DG=y/GH2+DH2=拘；过E作EPJ_A3交 即 于P,过H作MH上BC交BD于M,连接
39、PG,作B P中点N,连接ETV ,由ZABC+ZEFH=180,得3、E、F、”共圆，可得 NFBH=NFEH,从而可证F=G R,由 E、P、F、G 共圆可得 NBMW=NGPF=60。，故./SGFPHFM,PF=FM,可得 NF=MH,BF=MH+EP,在 RtABEP 中，EP=BE tan300=BE,RtAMHB 中，MH=BH tan300=BH,即 可得到3 3BE+BH=B F；(2)以M为顶点，MP为一边，作ZPML=30。,ML交BD于G,过P作尸”_LML于”，设MP交BD于K,RtAPMH中，HP=-M P,NP+工MP最小即是NP+”P最小,此时N、P、H共线，而
40、将线段研2 2绕点E顺时针旋转60。得到线段E P,可得NQKP=NFEP=60。,从而可证M L/A C,四 边 形 是 矩形，由DN=2 N C,得DN=GH=2,由等边AABC中，45=6,点E为4 3中点时，点M为3 f中点，可得 8M=，BD=AB sinA=3/3,RtABGM 中，MG=-B M=-,BG=cos30=,可求2 2 4 4第3 4页 共3 8页MH=MG+GH=,GD=BD-BG=,RtAMHP 中，可 得 HP=-,从 而 可 得4 4 124、hPN=H N-H P=GD-H P=q,故 S PN=LpN-D N =23【解答】解：（1）过。作 D_LGC于
41、H,如图:线段跖绕点石逆时针旋转60。得到线段E G,点 与点3 重合，且 G尸的延长线过点。,；.BG=B F,NFBG=60。，是等边三角形,:.ABFG=ZDFC=(f,BF=GF,等边 AABC,AB=6,BD VAC,，ZDCF=18。一 /B D C/D FC =30。,ZDBC=-ZABC=30,CD=-A C =-A B =3f2 2 2.ZBCG=ZACB-ZDCF=30,/BCG =/D B C,:.BF=CF,:.GF=C F,ORtAFDC 中，CF=-cos Z.DCF3cos30=2/3,.GF=2y/3 fRtACDH 中，D/7=C sin3O0=-,CA/=C
42、D cos30=2 2：.FH=C F-C H=,2c/Q.GH=GFFH =2RlAGHD 中，DG=-JGH2+DH2=屈;过E 作 P_L/W 交 班）于 P,过“作A/_L8C交 处 于 ，连接P G,作 B P中点N,连 接 硒，如图:第3 5页 共3 8页4C EF绕点、石逆时针旋转60。得到线段E G，AEGF是等边三角形,.ZFG=ZEGF=ZGEF=60,NEFH=120。,AA8C是等边三角形，/.ZABC=60，=G F,ZABC+ZEFH=180,；.B、E、F、共圆，F B H =NFEH,而 AABC是等边三角形，B D A C9:.ZDBC=ZABD=30o,即/
43、m”=30。，./FEH =30。,.NFHE=180。ZEFH-NFEH=30。,：.EF=HF=GF,v E P lA B,ZABD=30,.NEP8=60。，NEP尸=120。，NEPF+NEGF=180。,.石、P、F、G 共圆，/.ZGPF=ZGF=60,MH 工 B C,ZD8C=30。，.NBMH=60。,:.ABMH=NGPF,而 NGFP=ZHFM,由得bGFP=AHFM(AAS)，第3 6页 共3 8页:.PF=F M,：EPV AB,BP 中点 N,ZABD=30,:.EP=-B P =BN=NP,2.-.PF+NP=FM+B N,2RtAMHB 中，,2:.NF=MH,
44、.N F+BN=MH+E P,B F M H +EP,RtABEP 中，EP=B tan30=BE,3JqRtAMHB 中，MH=BH-tan30=B77,3:.BF=BE+BH,3 3:.BE+BH=B F；(2)以例为顶点，MP为一边,作 NPA=30。，M L交BD于G,过 P 作 PHJLML于“，设M P交皮)于K,如图:RtAPMH 中，HP=-M P,2.NP+MP最小即是N P+H P最小，此时N、P、共线,2将线段EF绕点E 顺时针旋转60。得到线段EP,F 在射线Q F上运动，则 P 在 射 线 上 运 动，根据“瓜豆原理”，尸为主动点，P是从动点,E 为定点,Z F E
45、P=60,则 F、P 轨迹的夹角 NQKP=NEEP=60。，第3 7页 共3 8页:,ZBKM=6O9 ZABD=30,:.ABMK=90,vZPA7L=30,:.ZBML=60。，;.ZBML=ZA,.ML/AC,.ZHNA=180-/PHM=90,而也）_LAC,.ZBDC=ZHNA=ZPHM=90,四边形GHVD是矩形，:.DN=GH,等边 AABC 中，AB=6,BD1.AC,.CD=3，又 DN=2NC,:.DN=GH=2,.等边A4BC中，M =6,点E为4 3中点时，点M为BE中点，a,BD=AB-sinA=6xsin600=3y/3,2i o 3/oRtABGM 中，MG=BM=，BG=BM cos30=,2 4 4:.MH=MG+GH=,GD=BD-BG=,4 4RtAMHP 中，HP=M tan300=U ,124J3:.PN=HN HP=GD HP=,3、S =；P N D N=芈-【点评】本题考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换、解直角三角形、三角形全等的判定及性质、矩形的判定及性质等知识，难度较大，解题的关键是构造辅助线.第3 8页 共3 8页