《2021年全国新高考数学真题试卷（浙江卷）(答案+解析).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年全国新高考数学真题试卷（浙江卷）(答案+解析).pdf（26页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年高考数学真题试卷（浙江卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共4 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共10题；共4 0分）L 设集合，则(A=xx 1 B=x|-1%-1 B.C.x|-1%1 D.%|1%0 x-y 02%+3y-1 0 f(x)=ax2+f e(x e R)f(s-1),/(s),/(s+1)点 的轨迹是()(st)A.直线和圆 B.直线和椭圆 C.直线和双曲线 D.直线和抛物线10.已知数列 满足ax=l,an+1=.记数列 的前 项和为，则()(n e N,)&snA.B.2 5 。0 33 S1 00 4C.4 S o o
2、二44 S i。2 ff(/6)=3 a=z w-l|x-3|+a,x b 0)且(_&。)a2 b2F式 c,Q)(c 0),若过 的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P,且 轴，则该直线的斜率是.(x-c)2+y2=c2 P心x2椭 圆 的 离 心 率 是.三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(共5题；共74分)1 8.设函数=si n x +c o sx(x 6 R)(1)求函数 的最小正周期;y =7(%+加(2)求函数 在 上的最大值.y =/(%)/(%一 0申1 9.如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形,P-ABCD ABCDL ,M
3、 ,/V分别为 的中点,ZABC=1 2 0 *,AB=1,BC=4,PA=V 1 5 BC.PCPD L DC.P M L M D(1)证明:AB 1 PM(2)求直线与平面 所成角的正弦值.AN PDM2 0.已知数列 的前n项和为%sn,且9%=一；4 5 +I =3 5 n-9(1)求数列 的通项;(2)设数列 满足bn 3 bn+(n-4)a =0的前n项和为M q,若 对任意=初 兀 e N,记恒成立，求的范围.2 1.如图，已知F是 抛 物 线,的焦点，仞 是抛物线的准线与x轴的交点，且y2=2 px(p 0)MF=2(1)求抛物线的方程；(2)设过点F的直线交抛物线与4 B两点
4、，斜率为2的直线/与直线，x 轴依次交于点PMA.MB.ABQ,R,N ,且，求直线/在x 轴上截距的范围.RN2=|PN|QM2 2.设a ,b 为实数，且，函数,a 1/(x)=ax-bx+ex(xe R)(注:e=2.71828-是自然对数的底数)(1)求函数 的单调区间;(2)若对任意，函数 有两个不同的零点，求 a的取值范围;b 2e2/(x)(3)当 时，证明：对任意，函数 有两个不同的零点，满足a=e b e，f(x)x1,x2 bin*2 十了2021年高考数学真题试卷（浙江卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
5、的。（共10题；共40分）L设集合，则()A-x|x 1 B=x|-1 x-1B.W x s l)C.x|-1 x 1D.x|l x 2【答案】D【考点】交集及其运算【解析】【解答】由交集的定义结合题意可得：Aci B=x|l x 0 z=%-y x y 0 22%+3y 1 0 x-y 02x+3y-1 04 z 2 2 k16”2故答案为：D.【分析】由A,B解析式都是非奇非偶函数，可以判断A,B错：对于C,先对 求导，然后计算当 时，1()0,与图不符合，y=f (x)g(x)=+；)sinx x=W 7所以C错，故选D.8.已知 是互不相同的锐角，则在 三个值中，大于 的个数的最大值a
6、,p,y sinacos,sin0 cosy,sinycosa i2是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【考点】正弦函数的定义域和值域，余弦函数的定义域和值域【解析】【解答】法1：由基本不等式有、，.c-sin2a+cos2Ssmacos -；-同理，.门,sin2S+cos2y.一 sin2y+cos2asinpcosy -L sinycosa -5;-故，sinacos+sincosy+sinycosa :故 不 可 能 均 大 于.sinacosj?,sin cosy,sinycosa i取，则，sinacosS=：p sinycosa=乎;故三式中大于的个数的最大值为2,1故
7、答案为：C.法2：不妨设，则a 6 cosj?cosy,sina sin6 siny由排列不等式可得：sinacosj?+sinj?cosy+sinycosa sinacosy+sin6cos6+sinycosa而sinacosy+sin.cos.+sinycosa=sin(y+a)+；sin20 7故不可能均大于sinacos/?,sinjJcosy,sinycosa取n n n na =-p =-y=-6 r 3 1 4则sinacosj?=：7,sinycosa=y 7故三式中大于的个数的最大值为2,故答案为：C.【分析】先由基本不等式 得出三个积 的取值范围，就可以得到ab）sinac
8、osj?,sinj?cosz,sinycosa结果。9.已知，函数，.若 成等比数列，则平面上a.b&,ab 0 fx=ax2+fe(x e R)/1(s+t)点 的轨迹是（）（s，t）A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线【答案】c【考点】等比数列，平面向量的综合题【解析】【解答】由题意得，即，,/(s-t)f(s+1)=/(s)2 a(s-1)2+ba(s+1)2+&=(as2+b)2对其进行整理变形:(as2+at2-2ast+b)(as2+at2+2ast+b)=(a52+d)2(as2+at2+b)2-(2ast)2-(a s2+b)2=0(2as2+at2+2b
9、)at2 4a2s2t2=0-2a2s2t2+a2 t4+2abt2=0所以 或 2as2+a t2+2b=0 t=0其 中，,为双曲线，为直线.故答案为：c.【分析】由三个数成等差数列，列出等式，推导结果。10.已知数列满足.记数列al=1-an+l=(n e N的前n项和为，则（）SnA.:ioo 3B.3 5100 4C.4 -100 2D.W 5oo S100 由,即 二一(-=+-)2=屋=凸=+三-=-j L -an-ri 7 allI 2 J 0n.i y/dn 2 2根据累加法可得，当且仅当 时取等号,之 三 1+上三=吐1 n=1V 2 2an+l=l+VO；-_ n+l声一
10、寸几n+l,当且仅当 时取等号,.%i v 吐1 n a 2 苣 一声出 。Soo 2ZW-l|x-3|+a,x (c 0)|a|=1,|fe|=2,a,6=0,(a fe),c=0 d的投影分别为x,y,-t在 方 向 上 的 投 影 为z，则，的最小值为d a c x2+y2+z2【答案】2方向上【考点】向量的模，平面向量数量积的性质及其运算律【解析】【解答】由题意，设t T -,a=(1,0),b (0,2)-c =(m-n)则.T -，即，(a b)-c=m 2 n=0 m =2 n又 向 量 T在 方 向 上 的 投 影 分 别 为X ,y ，所 以 Td a.b d=(x,y)所
11、以-T在d-d方向上的投影 一_ (-SyW _ m(x-l)+7iy _ 2 x-2+.同 Vm2+n2 第即 ，2 x +y -V5 z =2所以x2+y2+z2=.2?+1?+(-V5)2(x2+y2+z2)(2 x +y V5 z)2=1当且仅当 即x _ y _ z 2 1 i 传2 x +y-5z=22时，等号成立,X=-y=iVsz=-所 以 c .,的最小值为炉+y 2 +Z2故答案为：2【分析】根据己知条件，先取特殊值a=(1,0),&=(0,2)，并设一，再由投影公式一一解答。c=(m,n)2高1 4.已知多项式 A，则(%I)3+(x +1)，=%4+%炉 +a2x2+a
12、2x+a4【答案】5；1 0【考点】二项式定理【解析】【解答】(%I)3=%3-3 x2+3 x -1(%+I),=x4+4 r3+6x2+4 x 4-1所以ax=1 +4 =5,a2=3 +6=3a3=3 +4 =7,a4=1 +1=0所以a2+a3+a4=1 0故答案为：5,1 0.【分析】因为指数不高，直接展开。15.在 中，/M是 的中点，则hABC=60r,AB=2 BC AM=2yf3 AC=cos AC=【答案】；2,所以，则4 m m i _ 2 n=2 m-7 1 =1=-=m=336 9 3由于(6=2)=/(3 1)=等=誓=/6=。)=旨=工=号E(0=ix 2+-X
13、1+X0=-+-=-6 9 IS 3 9 9故答案为：1;.89【分析】先由取出的两个球都是红球的概率为，由古典概型公式得到m+n =5,再由 的可能16取值，求出相应的概率，根据数学期望的计算公式求解即可.17.已知椭圆，焦点，+=ig +0)-F2 c 0),若过 的直线和圆(c 0)&相切，与椭圆在第一象限交于点P,且(x c)2+y2=c2 P马 x轴，则该直线的斜率是.椭 圆 的 离 心 率 是.【答案】；2y VsV T【考点】圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系【解析】【解答】如图所示：不妨假设，设切点为，c=2 Bs in/P g&=s in N B g A =恐
14、=j t an P f；F2=5=p,f5所以，由 ，所以，于是T 仁般厅 局=2 c =4 匕0分出=号=沙=，即 广，所以2a=PF1+PF2=4/5 a=2y5 _ _ _ Vse-2-前 一g故答案为：；.2 5 5V T【分析】(1)取特殊值C=2,根据圆的切线的性质，计算相关线段长度，在直角三角形A B F 1中，可以求得的值；tanPF1F2(2)由(1)及 椭圆的定义，就可以计算a的值，进一步得到离心率。*AB*P4三、解答题：本大题共5小题，共7 4分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(共5题；共74分)18.设函数f(%)=s i n x +c o s x(x 6
15、R)(1)求函数 的最小正周期；y =/(%+加(2)求函数 在 上的最大值.y =/W(T 0 亭【答案】(1)解：由辅助角公式得，f(x)=s i n x +c o s x =V 2 s i n(x 4-则，y =f(x +j)2=V 2 s i n(x +y)2=2 s i n2(x +y)=1-c o s(2 x +y)=l-s i n 2 M所以该函数的最小正周期T 2nT=7 T（2）解：由题意，y=f（x）/（x ：）=V 2 s i n（x +三）V 2 s i n x =2 s i n（x +）s i n i=2 s i n x （s i n x +（c o s x）=V 2
16、 s i n2x +V 2 s i n x c o s x=-+7sin2x=Tsin2x-T COS2X+7=：)+?由 可得，申 2x-W，争所以当 即 时，函数取最大值2 x-=-x=1+匹4 2 S 2【考点】正弦函数的定义域和值域，由丫=八$而（3X+6）的部分图象确定其解析式，正弦函数的周期性【解析】【分析】（1）先将原函数化为：，/（X）=sinx+cosx=V2sin（x+?）再化简y=f(x+7)2=1 sin2x,再根据正弦函数的周期公式，求得周期;(2)化简y=-=sin(2x-+手然后根据x 的取值范围，求得函数的最大值。19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 是平行
17、四边形,ABCD一 ，MABC=120,AB=1,BC=4,PA=V15N分别为BC.PC的中点,PD L DC.PM L MD（1）证明：；AB L PM（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.AN PDM【答案】（1）证明：在 DCM中，DC=1 CM=2,由余弦定理可得NDCM=60所以DM2+DC2=CM2DM 1 DC且DC LPD PD c DM=D平面DC 1 PDM.由题意DM=6而 平面，所以，又，所以PM c PDM DC LPM AB/DC AB 1 PM（2）解：由 ，而 与 相交，所以 平面，因为PM LMD AB 1 PM AB DM PM 1 ABCD AM=W所以
18、P M =2 y/2,取 中点AD,连接，则E M E ME.DM.P M两两垂直，以点 为坐标原点，如图M所示，建立空间直角坐标系,则，A(-2,0),P(0,0,2&)D(V X 0.0)M(0,0,0),C(A-l,0)又 为 中点，所以N PC J V g-；，皿后=(学由(1)得 平面，所以平面 的一个法向量TCD 1 P D M P D M n=(0,1.0)从而直线 与平面A N所成角的正弦值为P D M血”翳【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)通过已知的边，用余弦定理求得DM 的长度，再根据勾股定理的逆定理，判断出,
19、由 ，得 DC_L平面，结合AB|D C,则有AB_LPM；D M 1 D C DC 1PD P D M(2)建立空间直角坐标系，定义相关点的坐标，用空间向量的知识求直线与平面成的角。20.已知数列 的前0 项和为%Sn,且%=_ 2 4 5n+1=3 S -9(1)求数列 的通项；(2)设数列 满足，记 的前“项和为，若 对任意电 3 bn+(n-4)a =0 d Tn Tn2 4 Sn+1=3 Sn-9得4 Sn=3 5n_1-9，得4 an+i =3 an一冷00,.黄兄又 是首项为，公比为的等比数列,二 品=一 淮）1=-3 .钞 1(n-4)C)n(2)解：由，得3 bn+(n -4
20、)an=0 6=-=an 3所以=-3 x：-2 X(：)2 X(.？+0 X(：/+(熊 4)-(：)n=-3 x )2-2 x(3-lx(+-+(n-5).(r +(n-4)-(1两式相减得=-3 X ：+(：)2 +(3?+(：)4 +.(；)n _(n _ 4).(：)n+，_ 4)(：)n+=_：+：_ 4(i)n+i -(n -4)()n+1=-n-()n+1所以，=-4 n-(力+工由 得 恒成立,T n-Ab n-4 n -(：)+0时不等式恒成立;n =4时，得n 4_3ZL=_ 3 12 A 4 人 _卫 _=_3_ 三 2 2-3 r i-4 n-4所以-3 A 1【考点
21、】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和，等差数列与等比数列的综合【解析】【分析】(1)首先根据递推公式，证 明 a n是等比数列，进一步求得a n.(2)先由a n与 b n的关系，求出b n.然后通过逐项求和，写出T n,再由错项相减的方法，求得T n；在由 恒成立，进一步求得的取值范围。Tn 0)MF=2(1)求抛物线的方程；(2)设过点F的直线交抛物线与4 8两点，斜率为2的直线/与直线，x 轴依次交于点PMA.MB.ABQ ,RN且RN2=PN-QN求直线/在x 轴上截距的范围.【答案】(1)解：因为，故，故抛物线的方程为：|MF|=2 p=2 y2=4x(2)解：设，A
22、B.x=ty+1 A(x1,y1),B(x2-y2)iV(n,0)所以直线,由题设可得 且l：x=+n n l t=之由 .可 得 ，故J =ty+1 y2-4 ty-4=0 yty2=-4,yx+y2=4tt y2=4x因为，故，故C由又可得MA：y =(x+l)7=急。+1)y p =17777*1 T A r ,*l x ZXJ T2-J r ix W +n同理，v_ 2(,n+l)y2Q 2x2+2-y2由x =ty+l可得%=苫+兀 2(71-1)-2 t-l所以芳-1)2 2(71+1班*.(n+lML 2 e-i=2必+2-力 Z xt+2-yj整理得到强）2 =（2 t 1）2
23、 IE般 时4(21一1产 _ _ _ _启+2-姆+2-必)|_ 4(2CT)2_ _ (2 1产I (yz+yD2 xyty2-2 (y2+yO+l 3+4 f 2故(2 t-l)2令，则 且s =2 t 1 .s+i s 工 0t=故3+4产(2C-1)2=1+2=4(；+：)2+注：故n+l 3即(吐1)2 B7 1 1严2 +I 4n+1 01 n w 1解得或 或n -7 -4 v 3-7 +47 3 n 1故 直 线 在 轴 上 的 截 距 的 范 围 为 厂或 L 或l x n -7 4丫5-7 +47 3 n 1【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析
24、】（1）根据抛物线的定义，即可求得P,进而写出方程；(2)设AB：x=t y+1并设A(x M，B(x2,y2)iV(n,O),写出直线，代入抛物线,l：x=-+n2由韦达定理写出关系式，再由，结合直线方程，推出关系式，进而利用基本不等RN2=PN-QN式以及解相关不等式，得出直线I 在 x 轴上截距的范围。2 2.设a ,b为实数，且a 1函数/(X)=ax-bx+e2(x e R)(注:e=2.7 1 8 2 8-是自然对数的底数)(1)求函数 的单调区间；f(x)(2)若对任意，函数 有两个不同的零点，求 a的取值范围;b 2 e2/(x)(3)当 时，证明：对任意，函数 有两个不同的零
25、点，满足a=e b e，x1,x2 bin*2 十了【答案】(1)解：，f(x)=ax-bx+e2,f(x)=axl na -b若，则，所以 在 上单调递增;b 0 f(x)R当 时，单调递减,%6(-8,*马 r(X)O J(%)Ina综上可得，时，在 上单调递增；b 0Ina Ina t记=(0=记网t)=ef(t -1)-e2,k(t)=ee(t -1)+ee-1 =ee-t 0又，所以 时，时，岚2)=0 t 6(0,2)A(_t)叔t)0则在 单调递减,5(0 (0,2)单调递增，二 白 =I na 2 e2,.?2,.%I na 2=l a e2e2即 实 数 的 取 值 范 围
26、是 ,a(l,e2(3)解：，有 2 个不同零点，则，故函数的零点一定为正数.a e.f(x)-ex bx+e2 ex+=bx由(2)可知有2 个不同零点，记较大者为，较小者为，孙 必产+/_户+/注意到函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增,、.(0,2)(2,+8)故，又由 知Xt 2 X2 es+e2 5要证、b l n b .ff2X2 z -x工i +Tb只需孙 l n b+f且关于 的函数 在g(b)=l n b +3上单调递增,所以只需证3 l n +急 值5)只需证，2-12-会 0 x2 2 ex2只需证，l i t t -7 -l n 2 0,只需证 在 时为正,0
27、网灯又，故 在 时为正,4(5)=l n 5 -l n 2 =In -0 4(%)=l i r e -l n 2 x 5es 2 e*)/从而题中的不等式得证.【考点】函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）先对函数求导，对 b的值分类讨论，研究导数的正负，从而确定函数的单调区间;（2）将问题转化为 有两个不同解 有 2个不同的解，通过换ax-fex+ex=0=exlna-bx+e2=0元，构造函数，进一步利用导数研究相关函数的单调性，通过解属地等式，得到a的取值范围；（3）当 有 2个不同零点，则，零点一定是正值，设出二正根,a-eBt，f（x）=ex-bx+e2 ex+e2=bx构造函数，研究相关函数的单调性，通过一系列不等式推导出结论。