《初二数学第八讲全等三角形的性质及判定二教案中学教育中考中学教育中学课件.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初二数学第八讲全等三角形的性质及判定二教案中学教育中考中学教育中学课件.pdf（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习好资料 欢迎下载 第 08 讲 全等三角形的性质及判定（二）适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级 适用区域 全国-人教版 课时时长（分钟）120 分钟 知识点 1.全等三角形的应用 2.全等三角形的判定与性质 教学目标 1.深刻理解“全等”的含义；2.熟悉组成全等三角形的基本图形，并能在复杂的图形中发现分解出这些基本图形；3.恰当选择判定三角形全等的方法；4.掌握证明三角形全等的几个要领。教学重点 熟悉全等三角形证明中的中点问题、旋转及截长补短的运用 教学难点 证明全等三角形的中点问题、旋转及截长补短的识别 教学过程 一、复习预习 1805 年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战
2、德军在莱茵河北岸 Q 处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营聪明的拿破仑站在南岸的点 O 处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营 Q 处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点 O 处，让士兵丈量他所站立位置 B 与 O 点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军 试问：法军能命中目标吗？如果可以，聪明的你能告诉我为什么吗？用帽舌边缘视线法还可以怎样测量，也能测出河岸两边的距离吗？【答案】解：法军能命中目标理由：易知 AB=PO，A=P，又ABBO，POBQ，学习好资料 欢迎下载 ABO=POQ=90，在ABO 和POQ 中，90APABPOABO
3、POQ ，ABOPOQ（ASA），BO=OQ，因此，按照 BO 的距离炮轰德军时，炮弹恰好落入德军 Q 处；如果拿破仑站在 O 处，只需转过身来仍可用帽舌边缘视线法测出河岸两边的距离【解析】根据拿破仑的身高不变可得 AB=PO，视线方向不变可得A=P，然后利用“角边角”证明ABO 和POQ 全等，根据全等三角形对应边相等可得 BO=OQ，从而得到能够使炮弹落入德军 Q 处；同理，转过身来仍然可以测量 二、知识讲解 三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来 应用三
4、角形全等的判别方法注意以下几点：1.条件充足时直接应用判定定理 在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等 2.条件不足，会增加条件用判定定理 此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案 3.条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理 证明两个三角形全等时，若边或角的关系不明显，可通过添
5、加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等 常见的隐藏条件有：公共边，公共角，对顶角；线段的相加减；角度的互余，互补，三角形的外角等于与它不相邻的内角和。4.条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法 课时时长分钟分钟全等三角形的应用知识点全等三角形的判定与性质深刻理解全等的含义熟悉组成全等三角形的基本图形并能在复杂的图形中发现分解出这些教学目标基本图形恰当选择判定三角形全等的方法掌握证明三角形全等的旋转及截长补短的识别教学过程一复习预习年法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战德军在莱茵河北岸处如图所示因不知河宽法
6、军大炮很难瞄准敌营聪明的拿破仑站在南岸的点处调整好自的帽子使视线恰好擦着帽舌边缘看到的距离并下令按照这个距离炮轰德军试问法军能命中目标吗如果可以聪明的你能告诉我为什么吗用帽舌边缘视线法还可以怎样测量也能测出河岸两边的距离吗答案解法军能命中目标理由易知又学习好资料欢迎下载在和中因此按照的学习好资料 欢迎下载 不能直接证明一对三角形全等时，一般需要作辅助线来构造全等三角形 考点/易错点 1 常见的几种辅助线添加：遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等
7、变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目 三、例题精析【例题 1】【题干】如图，CB，CD 分别是钝角AEC 和锐角ABC 的中线，且 AC=AB 求证：CE=2CD 【答案】证明：如图，延长 CD 至点 F，使 DF=CD，连接 BF 在ADC 和BDF 中，ADBDADCBDFCDFD
8、，ADCBDF（SAS），AC=BF，1=A 由 AC=AB得ACB=2 3=A+ACB，3=CBF 再由 AC=AB=BF=BE 及 BC=BC，在CBE 和CBF 中，3BEBFCBFBCBC ，CBECBF，CE=CF，即 CE=2CD 课时时长分钟分钟全等三角形的应用知识点全等三角形的判定与性质深刻理解全等的含义熟悉组成全等三角形的基本图形并能在复杂的图形中发现分解出这些教学目标基本图形恰当选择判定三角形全等的方法掌握证明三角形全等的旋转及截长补短的识别教学过程一复习预习年法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战德军在莱茵河北岸处如图所示因不知河宽法军大炮很难瞄准敌营聪明的拿破仑站在南
9、岸的点处调整好自的帽子使视线恰好擦着帽舌边缘看到的距离并下令按照这个距离炮轰德军试问法军能命中目标吗如果可以聪明的你能告诉我为什么吗用帽舌边缘视线法还可以怎样测量也能测出河岸两边的距离吗答案解法军能命中目标理由易知又学习好资料欢迎下载在和中因此按照的学习好资料 欢迎下载【解析】在三角形全等的证明中，我们常会遇到证明某条线段的长度等于另一条线段长度的两倍或者二分之一等，还会遇到两条线段和与另一条线段的不等关系。如果题目中有中点这个已知条件，运用倍长中线法，可达到事半功倍的效果。【变式 1】在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线 求证：AB+AC2AD 【答案】延长 AD 至 E，使 DE=AD
10、，连接 CEAD 是 BC 边上中线，BD=DC。ADB=CDE，在ABD 和ECD 中，BDDCADBCDEADDE，ABDECD（SAS）AB=EC 在ACE 中，AC+ECAE=2AD，AB+AC2AD【解析】条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，注意运用类比方法构造相应的全等三角形 【变式 2】如图，分别以ABC 的边 AB，AC 为一边在三角形外作正方形 ABEF 和 ACGH，M 为 FH 的中点求证：MABC 【答案】设 MA 的延长线交 BC 于点 D，延长 AM 至点 N，使 MN=A
11、M，连接 FN 则由FMNHMA 可得 FN=AH=AC，FN/AH，AFN+FAH=180 课时时长分钟分钟全等三角形的应用知识点全等三角形的判定与性质深刻理解全等的含义熟悉组成全等三角形的基本图形并能在复杂的图形中发现分解出这些教学目标基本图形恰当选择判定三角形全等的方法掌握证明三角形全等的旋转及截长补短的识别教学过程一复习预习年法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战德军在莱茵河北岸处如图所示因不知河宽法军大炮很难瞄准敌营聪明的拿破仑站在南岸的点处调整好自的帽子使视线恰好擦着帽舌边缘看到的距离并下令按照这个距离炮轰德军试问法军能命中目标吗如果可以聪明的你能告诉我为什么吗用帽舌边缘视线法还
12、可以怎样测量也能测出河岸两边的距离吗答案解法军能命中目标理由易知又学习好资料欢迎下载在和中因此按照的学习好资料 欢迎下载 BAC+FAH=180，AFN=BAC又AF=AB，AFNBAC，得1=2 1+3=90，2+3=90，ADB=90从而得出 MABC【解析】M 为 FH 的中点是本题的突破口，通过延长过中点的线段构造全等三角形。【变式 3】如图，在ABC 中，ABAC，E 为 BC 边的中点，AD 为BAC 的平分线，过 E作 AD 的平行线，交 AB于 F，交 CA 的延长线于 G求证：BF=CG 【答案】证明：如图，延长 FE 至点 H，使 EH=FE，连接 CH易证CEHBEF C
13、H=BF，H=1EG/AD，1=2，3=G 又2=3，1=GH=G综上，CH=CGBF=CG【解析】通过构造过中点的全等三角形，实现等量线段位置变换，用中间量替换证线段等。【变式 4】已知：如图，在ABC 中，A=90，D 为 BC 中点，E 为 AB上一点，F 为 AC上一点，EDDF，连接 EF，求证：线段 BE、FC、EF 总能构成一个直角三角形。【答案】证明：延长 FD 到 G 使 GD=DF，连接 BG，EG，D 为 BC 中点，BD=DC，在BDG 和CDF 中，BDDCFDCBDGDGDF，BDGCDF（SAS），BG=FC，C=GBD，EDDF，EG=EF，A=90，ABC+C
14、=90，ABC+GBD=90，即EBG=90，线段 BE、BG、EG 总能构成一个直角三角形。BG=FC，EG=EF，线段 BE、FC、EF 总能构成一个直角三角形 A 2 3 G B E D C F 1 H 课时时长分钟分钟全等三角形的应用知识点全等三角形的判定与性质深刻理解全等的含义熟悉组成全等三角形的基本图形并能在复杂的图形中发现分解出这些教学目标基本图形恰当选择判定三角形全等的方法掌握证明三角形全等的旋转及截长补短的识别教学过程一复习预习年法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战德军在莱茵河北岸处如图所示因不知河宽法军大炮很难瞄准敌营聪明的拿破仑站在南岸的点处调整好自的帽子使视线恰好擦
15、着帽舌边缘看到的距离并下令按照这个距离炮轰德军试问法军能命中目标吗如果可以聪明的你能告诉我为什么吗用帽舌边缘视线法还可以怎样测量也能测出河岸两边的距离吗答案解法军能命中目标理由易知又学习好资料欢迎下载在和中因此按照的学习好资料 欢迎下载【解析】延长 FD 到 G 使 GD=DF，连接 BG，EG，证BDGCDF，推出 BG=FC，C=GBD，求出EBG=90即可。【例题 2】【题干】如图，四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形，求证：AE=CG 【答案】证明：四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形，DE=DG，AD=CD，又ADE=EDGADG=90 ADG，同理CDG=9
16、0 ADG，ADE=CDG，在ADE 和CDG 中，EDGDEDAGDCADCD，ADECDG（SAS），AE=CG【解析】ADE 可看作CDG 绕点 D 顺时针旋转 90 得到的，根据图形中的两个正方形，及旋转找全等的条件，可证 AE=CG 【变式 1】如图，ABE和ACD 有公共点 A，BAC=DAE=90，AB=AC，AE=AD，延长 BE 分别交 AC、CD 于点 M、F求证：（1）ABEACD；（2）BFCD 【答案】证明：（1）BAC=DAE=90，1+2=90，2+3=90，课时时长分钟分钟全等三角形的应用知识点全等三角形的判定与性质深刻理解全等的含义熟悉组成全等三角形的基本图形
17、并能在复杂的图形中发现分解出这些教学目标基本图形恰当选择判定三角形全等的方法掌握证明三角形全等的旋转及截长补短的识别教学过程一复习预习年法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战德军在莱茵河北岸处如图所示因不知河宽法军大炮很难瞄准敌营聪明的拿破仑站在南岸的点处调整好自的帽子使视线恰好擦着帽舌边缘看到的距离并下令按照这个距离炮轰德军试问法军能命中目标吗如果可以聪明的你能告诉我为什么吗用帽舌边缘视线法还可以怎样测量也能测出河岸两边的距离吗答案解法军能命中目标理由易知又学习好资料欢迎下载在和中因此按照的学习好资料 欢迎下载 1=3，在ABE 和ACD 中，13AEADABAD ，ABEACD（SAS）
18、；（2）ABEACD，B=C，B+4=90，又4=5，C+5=90，MFC=90，BFCD【解析】（1）首先根据同角的余角相等可得1=3，再加上条件 AB=AC，AE=AD 可利用SAS 定理证明 ABEACD；（2）根据 ABEACD 可得B=C，再根据B+4=90，4=5，可得C+5=90，进而得到MFC=90，即 BFCD 【变式 2】如图，以ABC 的两边 AB、AC 向外作等边三角形 ABE和等边三角形 ACD，连接 BD、CE，相交于 O（1）试写出图中和 BD 相等的一条线段并说明你的理由；（2）求出 BD 和 CE 的夹角大小，若改变ABC 的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？
19、请说明理由 【答案】（1）EC=BD，理由为：ABE和 ACD 都为等边三角形，EAB=DAC=60，AE=AB，AD=AC，EAB+BAC=DAC+BAC，即EAC=BAD，在AEC 和ABD 中，AEABEACBADACAD，AECABD（SAS），EC=BD；（2）BD 和 CE 的夹角大小为 60，若改变ABC 的形状，这个夹角的度数不变，理由为：ADC 为等边三角形，ADC=ACD=60，AECABD，ACE=ADB，EOD 为COD 的外角，EOD=ODC+OCD=ODC+ACD+ACE=ODC+ADB+ACD=ADC+ACD=120，即DOC=60，则 BD 和 CE 的夹角大小
20、为 60 【解析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，利课时时长分钟分钟全等三角形的应用知识点全等三角形的判定与性质深刻理解全等的含义熟悉组成全等三角形的基本图形并能在复杂的图形中发现分解出这些教学目标基本图形恰当选择判定三角形全等的方法掌握证明三角形全等的旋转及截长补短的识别教学过程一复习预习年法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战德军在莱茵河北岸处如图所示因不知河宽法军大炮很难瞄准敌营聪明的拿破仑站在南岸的点处调整好自的帽子使视线恰好擦着帽舌边缘看到的距离并下令按照这个距离炮轰德军试问法军能命中目标吗如果可以聪明的你能告诉我为什么吗用帽舌边缘视线法还可以
21、怎样测量也能测出河岸两边的距离吗答案解法军能命中目标理由易知又学习好资料欢迎下载在和中因此按照的学习好资料 欢迎下载 用了等量代换及转化的思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键 【变式 3】已知，如图，1=2，P 为 BN 上一点，且 PDBC 于点 D，AB+BC=2BD.求证：BAP+BCP=180。21ADBCPN 21EADBCPN【答案】证明：过点 P 作 PE 垂直 BA 的延长线于点 E，如图 1=2，且 PDBC，PE=PD，在 RtBPE 与 RtBPD 中，BPBPPDPE，RtBPERtBPD(HL)，BE=BD.AB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+D
22、C=BE 即 DC=BE-AB=AE.在 RtAPE 与 RtCPD 中，PEPDPEAPDCAEDC，RtAPERtCPD(SAS)，PAE=PCD，又BAP+PAE=180，BAP+BCP=180【解析】利用对角互补，常用旋转的性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键 【变式 4】用两个全等的正方形 ABCD 和 DCEF 拼成一个矩形 ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边 AF 的中点 D 重合，且将直角三角尺绕点 D 按顺时针方向旋转探究：当直角三角尺的两直角边分别与矩形 ABEF 的两边 BE，EF 相交于点 G，H 时，如图，通过观察或测量 BG 与 EH 的长
23、度，你能得到什么结论？证明你的结论 课时时长分钟分钟全等三角形的应用知识点全等三角形的判定与性质深刻理解全等的含义熟悉组成全等三角形的基本图形并能在复杂的图形中发现分解出这些教学目标基本图形恰当选择判定三角形全等的方法掌握证明三角形全等的旋转及截长补短的识别教学过程一复习预习年法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战德军在莱茵河北岸处如图所示因不知河宽法军大炮很难瞄准敌营聪明的拿破仑站在南岸的点处调整好自的帽子使视线恰好擦着帽舌边缘看到的距离并下令按照这个距离炮轰德军试问法军能命中目标吗如果可以聪明的你能告诉我为什么吗用帽舌边缘视线法还可以怎样测量也能测出河岸两边的距离吗答案解法军能命中目标理
24、由易知又学习好资料欢迎下载在和中因此按照的学习好资料 欢迎下载 【答案】解：BG=EH理由如下：正方形 ABCD 和 DCEF 全等，CD=DF，BCD=DFE=90 即GCD=HFD=90，又KDJ=90，GDC=HDF，在DCG 与DFH 中，GCDHFDCDDFGDCHDF ，DCGDFH（ASA），CG=FH，BCGC=EFFH，即 BG=EH【解析】通过全等三角形DCGDFH 的对应边相等证得 CG=FH，则易证 BG=EH 【例题 3】【题干】已知：如图，在ABC 中，C2B，12。求证：AB=AC+CD.21DABC【答案】解法 1：（补短法）延长 AC 到 E，使 DC=CE，
25、则CDECED，ACB2E，ACB2B，BE，在ABD 与AED 中，12BEADAD ABDAED（AAS），AB=AE。又 AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.21EDABC课时时长分钟分钟全等三角形的应用知识点全等三角形的判定与性质深刻理解全等的含义熟悉组成全等三角形的基本图形并能在复杂的图形中发现分解出这些教学目标基本图形恰当选择判定三角形全等的方法掌握证明三角形全等的旋转及截长补短的识别教学过程一复习预习年法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战德军在莱茵河北岸处如图所示因不知河宽法军大炮很难瞄准敌营聪明的拿破仑站在南岸的点处调整好自的帽子使视线恰好擦着帽舌边缘看到的距离
26、并下令按照这个距离炮轰德军试问法军能命中目标吗如果可以聪明的你能告诉我为什么吗用帽舌边缘视线法还可以怎样测量也能测出河岸两边的距离吗答案解法军能命中目标理由易知又学习好资料欢迎下载在和中因此按照的学习好资料 欢迎下载 解法 2：（截长法）在 AB 上截取 AF=AC，在AFD 与ACD 中，12AFACADAD ，AFDACD（SAS），DF=DC，AFDACD。又ACB2B，FDBB，FD=FB。AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD.【解析】这道题是全等三角形证明中很重要的一类题：用截长补短法证明三角形全等。分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：（1）通过添加辅助线“构造
27、”一条线段使其为求证中的两条线段之和（AC+CD），再证所构造的线段与求证中的那一条线段相等。（2）通过添加辅助线，先在求证中长线段上截取与短线段中的一段相等的线段，再证明截剩的部分与短线段中的另一段相等。【变式 1】四边形 ABCD 中，BE 平分ABC 交 CD 于 E，且 DE=CE，AB=AD+BC，求证：ADBC。ECADB ECFADB【答案】在 AB 上取一点 F，使 BF=BC，连接 EF。在BFE 和BCE 中，BFBCFBECBEBEBE，BFEBCE（SAS），EF=EC，又DE=EC，EF=EC=DE。AB=AD+BC，AB=AF+FB，AF=AD。在AFE 和ADE
28、中，AFADFEDEAEAE，AFEADE（SSS），D=AFC。又BFEBCE，C=BFE。AFC+BFE=180，D+C=180，ADBC【解析】题中 AB=AD+BC 的条件是突破口，利用截长法及角平分线定义构造全等三角形。21FDABC课时时长分钟分钟全等三角形的应用知识点全等三角形的判定与性质深刻理解全等的含义熟悉组成全等三角形的基本图形并能在复杂的图形中发现分解出这些教学目标基本图形恰当选择判定三角形全等的方法掌握证明三角形全等的旋转及截长补短的识别教学过程一复习预习年法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战德军在莱茵河北岸处如图所示因不知河宽法军大炮很难瞄准敌营聪明的拿破仑站在南
29、岸的点处调整好自的帽子使视线恰好擦着帽舌边缘看到的距离并下令按照这个距离炮轰德军试问法军能命中目标吗如果可以聪明的你能告诉我为什么吗用帽舌边缘视线法还可以怎样测量也能测出河岸两边的距离吗答案解法军能命中目标理由易知又学习好资料欢迎下载在和中因此按照的学习好资料 欢迎下载【变式 2】将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B的位置，AB与CD交于点E（1）试找出一个与AED全等的三角形，并加以证明；（2）若83ABDEP，为线段AC上任意一点，PGAE于G，PHEC于H 并求PGPH的值 【答案】（1）AEDCEB。证明：四边形 ABCD 为矩形，B C=BC=AD，B=B=D=90，
30、又B EC=DEA，AEDCEB （2）由已知得：EAC=CAB 且CAB=ECA，EAC=ECA。AE=EC=8-3=5，在ADE 中，AD=4，延长 HP 交 AB于 M，则 PMAB。PG=PM，PG+PH=PM+PH=HM=AD=4。【解析】通过添加辅助线，利用折叠的性质，构造全等三角形。【变式 3】已知：如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 AB上，DEB 的平分线 EF 交 BC 的延长线于点 F，且 AB=BF，连接 DF求证：DE=BE+CF 【答案】证明：过点 F 作 FNDE 于点 N，DEB 的平分线 EF 交 BC 的延长线于点 F，FNDE，FBAB，易证FBEFN
31、E，FN=FB，A B C D P G H E B 课时时长分钟分钟全等三角形的应用知识点全等三角形的判定与性质深刻理解全等的含义熟悉组成全等三角形的基本图形并能在复杂的图形中发现分解出这些教学目标基本图形恰当选择判定三角形全等的方法掌握证明三角形全等的旋转及截长补短的识别教学过程一复习预习年法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战德军在莱茵河北岸处如图所示因不知河宽法军大炮很难瞄准敌营聪明的拿破仑站在南岸的点处调整好自的帽子使视线恰好擦着帽舌边缘看到的距离并下令按照这个距离炮轰德军试问法军能命中目标吗如果可以聪明的你能告诉我为什么吗用帽舌边缘视线法还可以怎样测量也能测出河岸两边的距离吗答案解
32、法军能命中目标理由易知又学习好资料欢迎下载在和中因此按照的学习好资料 欢迎下载 在 RtFEN 和 RtFEB 中，FEFEFNFB，RtFENRtFEB（HL），NE=BE，在 RtFDN 和 RtDFC 中，FDDFFNFB，RtFDNRtDFC（HL），FC=DN，DE=NE+DN=BE+CF【解析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，作出 FNDE 进而利用全等得出对应边相等是解题关键 【变式 4】已知正方形 ABCD 中，M 为 CD 的中点，E 为 MC 上一点，且BAE=2DAM 求证：AE=BC+CE EMBCAD GEFBMCAD【答案】取 BC 的中点
33、F，作 FGAE 于 E，连接 AF，EF。在正方形 ABCD 中，AD=AB=BC=CD，B=C=D=90。又DM=BF=12AB ABFADM（SAS），DAM=BAF。BAE=2DAM，BAF=GAF，又B=AGF=90，AF=AF，ABFAGF（AAS），AG=AB=BC，FG=BF=CF EGF=C=90，EF=EF，EGFECF（HL），GE=CE，AE=AG+GE=BC+CE【解析】首先取 BC 的中点 F，连接 AF，过点 F 作 FHAE于 H，连接 EF，由四边形 ABCD是正方形，M 是 CD 的中点，易证得ABFADM，又由BAE=2DAM，即可得 AF 是BAE的角平
34、分线，易得 AH=AB，BF=HF，又可证得 RtCFERtHFE，即可得 EH=CE，继而可证得 AE=AB+CE 课时时长分钟分钟全等三角形的应用知识点全等三角形的判定与性质深刻理解全等的含义熟悉组成全等三角形的基本图形并能在复杂的图形中发现分解出这些教学目标基本图形恰当选择判定三角形全等的方法掌握证明三角形全等的旋转及截长补短的识别教学过程一复习预习年法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战德军在莱茵河北岸处如图所示因不知河宽法军大炮很难瞄准敌营聪明的拿破仑站在南岸的点处调整好自的帽子使视线恰好擦着帽舌边缘看到的距离并下令按照这个距离炮轰德军试问法军能命中目标吗如果可以聪明的你能告诉我为
35、什么吗用帽舌边缘视线法还可以怎样测量也能测出河岸两边的距离吗答案解法军能命中目标理由易知又学习好资料欢迎下载在和中因此按照的学习好资料 欢迎下载 四、课堂运用【基础】1 如图 RtABC 中，BAC=90，AB=AC，D 为 AC 的中点，AEBD 交 BC 于 E，若BDE=a，ADB 的大小是（）EDCAB GM EDCAB A a B 90 a C 902a D 45+2a【答案】C【解析】作AMBC 于 M，AM 交BD 于G，在 AGB 和 CEA 中，GAB=ECA=45，AB=AC，AGB=90+GBM=AECAGBCEA，AG=CE又 AD=CD，DAG=DCE，ADGCDE，
36、ADG=CDE，ADG=11802BDE=902a。2.如图，已知 D 为ABC 边 BC 的中点，DEDF，则 BE+CF（）A 大于 EF B 小于 EF C 等于 EF D 与 EF 的大小关系无法确定【答案】A【解析】延长 ED 到 G 使 DG=ED，连接 CG，FG，BD=CD，BDE=CDG，可证得BEDCGD，CG=BE，DEDF，DG=ED，EF=FG，在 FCG 中，FC+CGFG，BE+CFEF 课时时长分钟分钟全等三角形的应用知识点全等三角形的判定与性质深刻理解全等的含义熟悉组成全等三角形的基本图形并能在复杂的图形中发现分解出这些教学目标基本图形恰当选择判定三角形全等的
37、方法掌握证明三角形全等的旋转及截长补短的识别教学过程一复习预习年法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战德军在莱茵河北岸处如图所示因不知河宽法军大炮很难瞄准敌营聪明的拿破仑站在南岸的点处调整好自的帽子使视线恰好擦着帽舌边缘看到的距离并下令按照这个距离炮轰德军试问法军能命中目标吗如果可以聪明的你能告诉我为什么吗用帽舌边缘视线法还可以怎样测量也能测出河岸两边的距离吗答案解法军能命中目标理由易知又学习好资料欢迎下载在和中因此按照的学习好资料 欢迎下载 3.如图，在等腰 RtABC中，C90，D是斜边上AB上任一点，AECD于E，BFCD交CD的延长线于F，CHAB于H点，交AE于G求证：BDCG G
38、EFHBCAD【答案】证明：在 RtAEC 与 RtCFB 中，ACCB，AECD 于 E，BFC 交 CD 的延长线于 F，AECCFB90，又ACB90，CAE90ACEBCF。RtAECRtCFB，CEBF，在 RtBFD 与 RtCEG 中，FGEC90，CEBF，由FBD90FDB90CDHECG，RtBFDRtCEG，BDCG【解析】由于 BD 与 CG 分别在两个三角形中，欲证 BD 与 CG 相等，设法证CGEBDF。由于全等条件不充分，可先证AECCFB。4.在正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，点 F 是 BC 边上一点，且FAE=EAD，求证：EFAE 【答案
39、】证明：延长 AE 交 BC 的延长线于点 G四边形 ABCD 是正方形，ADCG，D=BCD=DCG，DAE=G。FAE=EAD，FAE=G，AF=FG，E是 DC 的中点，DE=EC，AED=GEC，D=ECG=90，ADEGCE（ASA），AE=EG，EFAE【解析】见到中点要倍长过中点的线段，构造全等三角形。课时时长分钟分钟全等三角形的应用知识点全等三角形的判定与性质深刻理解全等的含义熟悉组成全等三角形的基本图形并能在复杂的图形中发现分解出这些教学目标基本图形恰当选择判定三角形全等的方法掌握证明三角形全等的旋转及截长补短的识别教学过程一复习预习年法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战
40、德军在莱茵河北岸处如图所示因不知河宽法军大炮很难瞄准敌营聪明的拿破仑站在南岸的点处调整好自的帽子使视线恰好擦着帽舌边缘看到的距离并下令按照这个距离炮轰德军试问法军能命中目标吗如果可以聪明的你能告诉我为什么吗用帽舌边缘视线法还可以怎样测量也能测出河岸两边的距离吗答案解法军能命中目标理由易知又学习好资料欢迎下载在和中因此按照的学习好资料 欢迎下载 5.如图，在ABC 中，ADBC 于 D，BADCAD。求证：ABAC。DBCA EDBCA【答案】证明：在 DB 上截取 DEDC，连接 AE。ADCADE（SAS）。ACAE，CAED。AEDB，CB。从而 ABAC。【解析】除构造全等三角形外，还考
41、察了在三角形中大角对大边。6（2012 通州区一模）如图，在ABC 和ADE 中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，求证：ABDACE【答案】证明：BAC=DAE，BAC+CAD=DAE+CAD，即EAC=DAB，在AEC 和ADB 中，ADAEDABEACABAC，AECADB（SAS）【解析】先求出EAC=DAB，再利用“边角边”证明即可 课时时长分钟分钟全等三角形的应用知识点全等三角形的判定与性质深刻理解全等的含义熟悉组成全等三角形的基本图形并能在复杂的图形中发现分解出这些教学目标基本图形恰当选择判定三角形全等的方法掌握证明三角形全等的旋转及截长补短的识别教学过程一复习预习年法军在
42、拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战德军在莱茵河北岸处如图所示因不知河宽法军大炮很难瞄准敌营聪明的拿破仑站在南岸的点处调整好自的帽子使视线恰好擦着帽舌边缘看到的距离并下令按照这个距离炮轰德军试问法军能命中目标吗如果可以聪明的你能告诉我为什么吗用帽舌边缘视线法还可以怎样测量也能测出河岸两边的距离吗答案解法军能命中目标理由易知又学习好资料欢迎下载在和中因此按照的学习好资料 欢迎下载【巩固】1.如图，在ABC 中，ABAC，1=2，P 为 AD 上任意一点。求证：ABAC PBPC。【答案】解法 1：如图，在AB上截取ANAC，连接PN 在APN与APC中，12ANACAPAP ，APNAPC(SAS
43、)，PNPC 在BPN中，PBPNBN，PBPCABAC，即 ABACPBPC。解法 2：如图，延长AC至M，使AMAB，连接PM 在ABP与AMP中，12ABAMAPAP ，ABPAMP(SAS)，PBPM 在PCM中，CMPMPC，ABACPBPC。【解析】欲证ABACPBPC，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段ABAC。而构造ABAC可以采用“截长”和“补短”两种方法。2.如图，五边形 ABCDE 中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180连接 AD判断 AD 是否平分CDE，并说明理由 【答案】AD 平
44、分CDE证明：AB=AE，ABC+AED=180 把ABC 旋转BAE 的度数后 BC 和 EC重合，且ABC=AEC，BC=EC ABCAEC，AC=AC，又 BC+DE=CD，BC=EC，CD=DC，课时时长分钟分钟全等三角形的应用知识点全等三角形的判定与性质深刻理解全等的含义熟悉组成全等三角形的基本图形并能在复杂的图形中发现分解出这些教学目标基本图形恰当选择判定三角形全等的方法掌握证明三角形全等的旋转及截长补短的识别教学过程一复习预习年法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战德军在莱茵河北岸处如图所示因不知河宽法军大炮很难瞄准敌营聪明的拿破仑站在南岸的点处调整好自的帽子使视线恰好擦着帽舌
45、边缘看到的距离并下令按照这个距离炮轰德军试问法军能命中目标吗如果可以聪明的你能告诉我为什么吗用帽舌边缘视线法还可以怎样测量也能测出河岸两边的距离吗答案解法军能命中目标理由易知又学习好资料欢迎下载在和中因此按照的学习好资料 欢迎下载 在ACD 和ADC中，ACACADADCDDC，ACDADC，CDA=ADC，AD 平分CDE【解析】要求证 AD 为CDE 的角平分线，可以利用全等三角形证明，这样就把关于角的证明转化为线段截长补短的问题，继而利用题中的已知条件构造全等三角形。3.如图，BAC=DAE=90，M 是 BE 的中点，AB=AC，AD=AE，求证 AMCD MEDCBA FNOHABC
46、DEM 【答案】如图，设 AM 交 DC 于 H，要证明 AMCD，实际上就是证明AHD=90，而条件BMME不好运用，我们可以倍长中线AM到F，连接BF交AD于点N，交CD于点O容易证明AMEFMB，则AEFB，EAFF，从而AEFB，90ANF，而90CADDAB ，90DABABN ，故CADABN，从而CADABF，故DF ，而90DDONFOHF ，故90AHD，亦即AMCD【解析】利用 M 是 BE 的中点的条件寻找突破口，构造全等三角形时解题关键。【拔高】1.如图，已知：AB=AC，直线 m 经过点 A，点 D、E 是直线 m 上两个动点，连接 BD、CE （1）如图 1，若BA
47、C=90，BDDE，CEDE求证：DE=BD+CE 课时时长分钟分钟全等三角形的应用知识点全等三角形的判定与性质深刻理解全等的含义熟悉组成全等三角形的基本图形并能在复杂的图形中发现分解出这些教学目标基本图形恰当选择判定三角形全等的方法掌握证明三角形全等的旋转及截长补短的识别教学过程一复习预习年法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战德军在莱茵河北岸处如图所示因不知河宽法军大炮很难瞄准敌营聪明的拿破仑站在南岸的点处调整好自的帽子使视线恰好擦着帽舌边缘看到的距离并下令按照这个距离炮轰德军试问法军能命中目标吗如果可以聪明的你能告诉我为什么吗用帽舌边缘视线法还可以怎样测量也能测出河岸两边的距离吗答案解
48、法军能命中目标理由易知又学习好资料欢迎下载在和中因此按照的学习好资料 欢迎下载（2）如图 2，若BAC=BDA=AEC，则（1）中的结论 DE=BD+CE 还成立吗？【答案】解：（1）BAC=90，BAD+CAE=90。BDAD，BDA=90，BAD+ABD=90，DBA=CAE；CEDE，CEA=90，ADB=CEA 在ADB 和CEA 中，DBACAEADBCEAABAC ，ADBCEA（AAS），AD=CE，BD=AE DE=DA+AE，DE=BD+CE；（2）（1）中的结论 DE=BD+CE 仍然成立 理由：DAB+BAC+CAE=180，CAE+ACE+AEC=180，DAB+BAC
49、+CAE=CAE+ACE+AECBAC=AEC，DAB=ACE 在ADB 和CEA 中，DABECAADBCEAABAC ，ADBCEA（AAS），AD=CE，BD=AE DE=DA+AE，DE=BD+CE；【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等边三角形的判定与性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键 2.阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图 1，ABC 中，若 AB=5，AC=3，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 到 E，使得 DE=AD，再连接BE（或将ACD 绕点 D 逆时针旋转
50、 180 得到EBD），把 AB、AC、2AD 集中在ABE 中，利用三角形的三边关系可得 2AE8，则 1AD4 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中（1）问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图 2，在ABC 中，D 是 BC 边上的中点，DEDF，DE 交 AB于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF求证：BE+CFEF；（2）问题拓展：课时时长分钟分钟全等三角形的应用知识点全等三角形的判定与性质深刻理解全等的含义熟悉组成全等三角形的基本图形并能在复杂的图形中发现分解