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1、勾股定理的证明和应用(总6 页)-CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company One 1 CAL-本页仅作为文档封面.使用请直接删除 第3章勾股定理 勾股定理 知识结构:（1）直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方 （2）勾股定理的验证用拼图法,借助面积不变的关系来证明 1勾股定理 1在直角三角形中已知两边求第三边 （3）应用 2.在直角三角形中已知两边求第三边上的高（1）如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c那么这个三角形是直角三 角形 1 满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为勾 2.勾股定理 股数 的逆定理“、。一（2）勾股数（1）3,4,5 2.常见的勾
2、股数（2）5,12,13（3）8,15,17 求儿何体表面上两点间的最短距离（1）勾股定理的简单应用 3.应用 解决实际应用问题（2）-勾股定理逆定理的应用 判定某个三角形是否为直角三角形 3.1勾股定理 一、求网格中图形的面积 求网格中图形的而积，通常用两种方法：“割或“补“。二、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。拓展延伸:（1）勾股定理揭示的是直角三角形的三边关系，所以必须注意“在直角三角形 中”这一前提。（2勾股定理主要用于求线段的长度，因此，遇到求线段的长度问题时，首先想到的是把 所求线段转化为某一直角三角形的边，然后利用勾股赵理求解。直角边的平方和等于斜边的平方勾
3、股定理的验证用拼图法借助面积不变的关系来证明应用在直角三角形中已知两边求第三边在直角三角形中已知两边求第三边上的高如果三角形的三边长满足勾股定理三勾股左理的验证运用拼图的方的三边长分别为且那么这个三角形是直角三角形注意还没确泄一个三角形是否为直角三角形时不能说斜边直角边不是所有的都是斜边要根据题意具体分析当满足是斜边它所对的角是直角勾股左理与勾股左理的逆左理之间既有区别又角形是宜角三角形为条件进而得到这个三角区别形的三边满足股泄理二勾股定理的逆定理的应用在日常生活中经常遇到要求一些不规则图形的而积问题解决这样的问题常常需要借助辅助线将英转化成三角形的相关问题有时图形中并三、勾股左理的验证 运用
4、拼图的方式，利用两种不同的方法计算同一个图形的而积来验证勾股左理。3.2勾股定理的逆定理 一、勾股泄理的逆左理 如果三角形的三边长分别为 abc 且 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。注意:（1）还没确泄一个三角形是否为直角三角形时，不能说“斜边 I 直角边“。（2）不是所有的 c都是斜边，要根据题意具体分析。当满足 a2+b2=c2H,c 是斜边，它所 对的角是直角。勾股左理与勾股左理的逆左理之间既有区别，又有联系，如下表所示：勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在 RtA ABC 中，ZC=90,a,b,c 分别为ZA,ZB,ZC 的对边 在 ABC 中，a2+b2=c2,at
5、b,c 分别 为 ZA,ZB,ZC 的对边 结论 a2+b2=c2 ZC=90 区别 勾股泄理是以“一个三角形是宜角 三角形”为条件，进而得到“这个三 角形的三边满足 a2+b2=c2即由“形“到“数“勾股肚理的逆立理是以“一个三角形的 三边满足 a2+b2=c27j条件，进而得到“这个三角形是直角三角形“，即由“数到“形“联系 都与“一个三角形的三边关系 Q+b2f 及“直角三角形“有关 二、勾股数 满足关系 a2+b2=c2的 3 个正整数 a,b,c 称为勾股数。详解:（1）如：32+42=52,所以 3,4,5 是一组勾股数,常见的勾股数有 3,4,5；5,12,13；6,&10 等。
6、（2）勾股数必须是正整数。（3）组勾股数中各数的相同的正整数倍也是一组新的勾股数。（4）记住常用的勾股数可以提髙做题速度。3.3勾股定理的简单应用 一、勾股定理的应用 运用勾股左理可以解决生活中的一些实际问题。在应用勾股左理解决实际问题时，应 先构造岀直角三角形，然后把直角三角形的某两条边表示出来。注意：应用勾股左理解决实际问题时，先弄淸直角三角形中哪边是斜边，哪两条边是直角 边，以便进行讣算或推理。对于实际问题，应从中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构 造出直角三角形，以便正确运用勾直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的验证用拼图法借助面积不变的关系来证明应用在直角三角形中已知两边求第三边在
7、直角三角形中已知两边求第三边上的高如果三角形的三边长满足勾股定理三勾股左理的验证运用拼图的方的三边长分别为且那么这个三角形是直角三角形注意还没确泄一个三角形是否为直角三角形时不能说斜边直角边不是所有的都是斜边要根据题意具体分析当满足是斜边它所对的角是直角勾股左理与勾股左理的逆左理之间既有区别又角形是宜角三角形为条件进而得到这个三角区别形的三边满足股泄理二勾股定理的逆定理的应用在日常生活中经常遇到要求一些不规则图形的而积问题解决这样的问题常常需要借助辅助线将英转化成三角形的相关问题有时图形中并股泄理。二、勾股定理的逆定理的应用 直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的验证用拼图法借助面积不变的关系
8、来证明应用在直角三角形中已知两边求第三边在直角三角形中已知两边求第三边上的高如果三角形的三边长满足勾股定理三勾股左理的验证运用拼图的方的三边长分别为且那么这个三角形是直角三角形注意还没确泄一个三角形是否为直角三角形时不能说斜边直角边不是所有的都是斜边要根据题意具体分析当满足是斜边它所对的角是直角勾股左理与勾股左理的逆左理之间既有区别又角形是宜角三角形为条件进而得到这个三角区别形的三边满足股泄理二勾股定理的逆定理的应用在日常生活中经常遇到要求一些不规则图形的而积问题解决这样的问题常常需要借助辅助线将英转化成三角形的相关问题有时图形中并在日常生活中，经常遇到要求一些不规则图形的而积问题。解决这样的
9、问题常常需要 借助辅助线将英转化成三角形的相关问题。有时图形中并没有明显地给岀直角三角形，但 是其中一些已知的边长满足直角三角形的条件，所以可考虑利用勾股泄理的逆泄理解决。【勾股定理的证明】例1如图，是用硬纸版作成的两个小直角三角形和一个大直角三角形，两个小直角三角 形直角边长分别为 a和 b,斜边为 c,大直角三角形直角边都为 c,请你动动脑筋，将它们 拼成一个能证明勾股立理的图形。(1)画出所拼图形的示意图，说岀图形的名称。(2)用这个图形证明勾股建理。例2 数学实验室：实验材料：硬纸板、剪刀、三角板 实验方法：剪裁、拼图、探索 实验目的：验证勾股泄理，拼图填空。操作：剪裁出若干个全等的直
10、角三角形，三边长分別记为a、b、c,如图。拼图一：分别用 4 张直角三角形纸片，拼成如图、图的形状，观察图、图可发 现，图中两个小正方形的而积之和 _ 图中小正方形的而积(填“大于小于”“等 于”)，用关系式可表示为 _:拼图二：用 4 张直角三角形纸片拼成如图的形状，观察图形可以发现，图中共有3 个 正方形，它们的而积按大小顺序分别记为 S 大、S 中、S 小，其关系是 _,用 a、b、c可表示为 _；(3)拼图三：用 8 张直角三角形纸片拼成如图的形状，图中3 个正方形的而积按大小顺序 分别记为 S 大、S 中、S 小，其关系是 _ 用 a、b、c可表示为 _ (思考题)如图，在 zxAB
11、C 中 AB 社 AC2=3,D 是 BC 上一点，且 AD=1,则 BD?DC=_.【勾股定理的应用】例1(基础题)利用勾股定理求三角形的边长 已知 AABC 中，ZC=90,AB=c,AC=b(c 为斜边、a、b 为直角边)(1)如果 a=7,b=24,求 c；(2)如果 a=15,c=17,求 b.例2已知直角三角形的一边和另外两边的关系，求另外两边的长 填空：直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的验证用拼图法借助面积不变的关系来证明应用在直角三角形中已知两边求第三边在直角三角形中已知两边求第三边上的高如果三角形的三边长满足勾股定理三勾股左理的验证运用拼图的方的三边长分别为且那么这个三角
12、形是直角三角形注意还没确泄一个三角形是否为直角三角形时不能说斜边直角边不是所有的都是斜边要根据题意具体分析当满足是斜边它所对的角是直角勾股左理与勾股左理的逆左理之间既有区别又角形是宜角三角形为条件进而得到这个三角区别形的三边满足股泄理二勾股定理的逆定理的应用在日常生活中经常遇到要求一些不规则图形的而积问题解决这样的问题常常需要借助辅助线将英转化成三角形的相关问题有时图形中并(1)直角三角形的一条直角边和斜边的比是 3:5,已知这条直角边的长是 12,则斜边长 为 _.(2)在 RtAABC 中，ZC=90 ,ZB=60 ,b=6(c 为斜边，a、b 为直角边)则 例3利用勾股定理说明边的关系
13、如图，AD 是 ABC 的中线，试说明：AB24-AC2=2(AD2+CD2)例4利用勾股定理求面积：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边,AC 沿 直线折叠，使它落在斜边 AB 上，且点 C 落到 E点，求 AACD 的而积是多少？例5求等腰三角形底边上的高 如图，在厶 ABC 中，AB=AC=5 BC=6.AD 是 BC 边上的中线，求 AD 的长。例6利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形 已知 a.b、c 为 A ABC 的三边，且满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c 试说明：这个三角形是直角三角形。例7勾股定理及其逆
14、定理的综合应用：(1)如图，四边形 ABCD 中，AB=3t BC=4,CD=12,AD=13,ZB=90%求四边形 ABCD 的而积。(2)、下列几组数中是勾股数的是(填序号)3?、42.52 5、12、13-0.9.1.2.1.5 3 4 5(3)如图，在 RtA ABC 中，ZACB=90,AD、BE、中线.若 AC=L BC=/2 求证：AD2+CF2=BE2；是否存在这样的 RtA ABC,使得它三边上的中线 AD BE、CF 的长恰好 是一组勾股数？请说明理由.(提示：满足关系 a2+b2=c2的 3 个正整数 a、b、c称为勾 股数)例8构造直角三角形求角的度数 如图，在AABC
15、 中，ZACB=90,AC=BC,P 是 ABC 内的一点，且 PB=1,PC=2,PA=3把 AACP 绕 C 点逆时针旋转 90。使点 A 和点 B 重合，得到四边形 ABDC,求 ZBPC 的度数。例9勾股定理在实际生活中的应用 A 市接到台风警报时，台风中心位于 A 市正南方向 125 km 的 B 处，正以 15km/h 的速度沿 BC方向移动。(1)已知 A 市到 BC 的距离 AD=35km,那么台风中心从 B 点移到 D 点经过多长时间？A 直 直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的验证用拼图法借助面积不变的关系来证明应用在直角三角形中已知两边求第三边在直角三角形中已知两边求第
16、三边上的高如果三角形的三边长满足勾股定理三勾股左理的验证运用拼图的方的三边长分别为且那么这个三角形是直角三角形注意还没确泄一个三角形是否为直角三角形时不能说斜边直角边不是所有的都是斜边要根据题意具体分析当满足是斜边它所对的角是直角勾股左理与勾股左理的逆左理之间既有区别又角形是宜角三角形为条件进而得到这个三角区别形的三边满足股泄理二勾股定理的逆定理的应用在日常生活中经常遇到要求一些不规则图形的而积问题解决这样的问题常常需要借助辅助线将英转化成三角形的相关问题有时图形中并（2）如果在距台风中心 40km 的圆形区域内都将受到台风影响，那么A 市受到台风影响 的时间是多长（结算结果精确到1 分钟）例
17、10最短路径问题 1、有一圆柱体如图，高 4cm,底面半径 5cm,A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到 C 蚁爬行的最短距谢 _ B 2、如图 1,长方体的长为 20,宽为 10,髙为 25,点 B 离点 C 的距离为 5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表而从点 A 爬到点 B,需要爬行的最短距离是 多少？3、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、髙分别为20cm、3cm、2cmA 和 B 是这个台阶上两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处 去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶而爬行到点 B 的最短路程 为 4、如图所示：有一个长、宽都是 2 米，髙为 3 米的长方体纸 盒，一只小蚂蚁从 A
18、 点爬到 B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路 径为 仪 总结 1:利用勾股左理求最短路径问题都转化为两个方而:（1）两点之间线段最短：（2）垂线段最短。总结 2：利用勾股左理求最短路径问题一般步骤：（1）画出展开图：（2）确左点的位置；（3）连接线段：（4）用勾股左理求解。简化步骤是：画图定点连线求解 注意：如果不是两个相对顶点的最短路径，不能用之前给的公式去求解。例11探究题 1、探索与研究：方法 1：如图（a）,对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90。所得，所以 ZBAE=90,且四边形 ACFD 是一个正方形，它的而积和四边形 ABFE 而积相等，而四边 形 ABFE而积等于 R
19、tA BAE 和 RtA BFE 的而积之和根拯图示写出证明勾股泄理的过 程:方法 2：如图（b）,是任意的符合条件的两个全等的 RtA BEA 和 RACD 拼成的，你 能根据图示再写一种证明勾股立理的方法吗？2、已知：在 RtA ABC 中,ZC=90 ZA.ZB、Z C 所对的边分别记作 a、b、c.如图 1,分別以 ABC 的三条边为边长向外作正方形，其正 方形的而积由小到大分别记作 Si、S2、S3,则有 Si+S2=S3；(1)如图 2,分别以 AABC 的三条边为直径向外作半圆，其半圆的而积由小到大分别记作(b)直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的验证用拼图法借助面积不变的关系
20、来证明应用在直角三角形中已知两边求第三边在直角三角形中已知两边求第三边上的高如果三角形的三边长满足勾股定理三勾股左理的验证运用拼图的方的三边长分别为且那么这个三角形是直角三角形注意还没确泄一个三角形是否为直角三角形时不能说斜边直角边不是所有的都是斜边要根据题意具体分析当满足是斜边它所对的角是直角勾股左理与勾股左理的逆左理之间既有区别又角形是宜角三角形为条件进而得到这个三角区别形的三边满足股泄理二勾股定理的逆定理的应用在日常生活中经常遇到要求一些不规则图形的而积问题解决这样的问题常常需要借助辅助线将英转化成三角形的相关问题有时图形中并Si、S2、S3,请问 S,+S2与 S3 有怎样的数量关系，
21、并证明你的结论；(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3 所示，其而积由小到大分别记作 SH S2、S3,根据(2)中的探索，直接回答 S1+S2 与 S3 有怎样的数量关系：(3)若 RtA ABC 中，AC=6,BC=8,求岀图 4 中阴影部分的而积.直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的验证用拼图法借助面积不变的关系来证明应用在直角三角形中已知两边求第三边在直角三角形中已知两边求第三边上的高如果三角形的三边长满足勾股定理三勾股左理的验证运用拼图的方的三边长分别为且那么这个三角形是直角三角形注意还没确泄一个三角形是否为直角三角形时不能说斜边直角边不是所有的都是斜边要根据题意具体分析当满足是斜边它所对的角是直角勾股左理与勾股左理的逆左理之间既有区别又角形是宜角三角形为条件进而得到这个三角区别形的三边满足股泄理二勾股定理的逆定理的应用在日常生活中经常遇到要求一些不规则图形的而积问题解决这样的问题常常需要借助辅助线将英转化成三角形的相关问题有时图形中并