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1、八年级数学 勾股定理的证明及其延伸 1.说明 勾股定理是数学中一个重要知识。虽然在教材章节内容中所占篇幅不多，在考试中也往往不会作为一个独立知识点进行命题，但其实其内容及方法常常包含在其他各类题目中，是问题解答过程中一个很重要的手段。所以学生对勾股定理要能够十分熟练地进行使用。本文对勾股定理进行证明及拓展，以使学生对其进行深刻理解。2.勾股定理的证明 命题：在直角三角形中，a、b 为直角边长，c 为斜边边长，则有222cba。勾股定理一个最简单的证明方法是使用图形证明法。如下图，我们使用 4 个同样大小的红色直角三角形（a、b 为直角边长，c 为斜边边长）拼出 2 个图形：图 1 和图 2 这
2、两个蓝色正方形的面积是相等的（它们的边长都是 a+b），而 4 个红色直角三角形的面积也是相等的，所以 2 个图形中白色部分的面积也应该相等（都等于蓝色正方 a2b 2c 2 图 1 图 2 形面积减去 4 个红色三角形的面积）。而左边图形中白色部分的面积是22ba，右边图形中白色部分的面积是2c，所以222cba。3.圆与三角形 在讨论勾股定理的延伸之前，我们先来看圆与三角形的关系。如图 3，以 BC为直径做圆，圆心为 BC的中点 O。在圆上任取一点 A，则三角形 ABC为直角三角形，其中A=90。如图 4，同样做圆。如果 A点在圆外，则A为锐角。可以这样来证明：连接 AO，和圆交与点 D。
3、容易得到BAC BDC，而BDC=90，故A BDC，而BDC=90，故A90。综合起来，我们可以得到如下命题：命题：在三角形 ABC中，以 BC为直径、BC的中心点为圆心做圆，如果 A在圆上，则A=90；如果 A在圆外，则A90。注意，这个命题的逆命题也是成立的，即：命题：在三角形 ABC中，以 BC为直径、BC的中心点为圆心做圆，如果A=90，则 A在圆上；如果A90，则 A在圆内。这个逆命题可以利用上面几副图用反证法很容易证得。B C O A B C O D B C O D A 图 3 图 4 图 5 A 考试中也往往不会作为一个独立知识点进行命题但其实其内容及方法常常包含在其他各类题目
4、中是问题解答过程中一个很重要的手段所以学生对勾股定理要能够十分熟练地进行使用本文对勾股定理进行证明及拓展以使学生对其进行图形证明法如下图我们使用个同样大小的红色直角三角形为直角边长为斜边边长拼出个图形图图图和图这两个蓝色正方形的面积是相等的们的边长都是而个红色直角三角形的面积也是相等的所以个图形中白色部分的面积也应该相等角形右边图形在讨论勾股定理的延伸之前我们先来看圆与三角形的关系图图图如图以为直径做圆圆心为的中点在圆上任取一点则三角形为直角三角形其中如图同样做圆如果点在圆外则为锐角可以这样来证明连接和圆交与点容易得到4.勾股定理的延伸 现在，我们对勾股定理进行延伸，如下：命题：在三角形中，a
5、、b、c 为其 3 条边长，其中 c 为最长边（ca、cb），如果三角形为直角三角形，则222cba；如果三角形为锐角三角形，则222cba；如果三角形为钝角三角形，则222cba。请注意上面“c 为最长边（ca、cb）”的条件限定。如果 c 不是最长边，那么必然是222cba，这就不存在任何讨论的必要了。下面我们来证明这一命题。对于直角三角形的情况，那就是勾股定理，前面我们已经证明了。现在只要证明锐角和钝角三角形的情况。见下图，仍然如上一节那样，去最长边 c 为直径做圆（设这条边为 BC），那么直径所对应的A也会是三角形 ABC中最大的角（大角对大边）。从上节的讨论中，如果是锐角三角形，A
6、必然在圆外，如图 6 所示。从 A 点做直径 BC的 垂 线，交 圆 于 D 点。显 然 ABBD、ACDC，而222BCDCBD，所 以222BCACAB。如果是钝角三角形，A必然在圆内，如图 7 所示。从 A点做直径 BC的垂线，反向延长交圆于 D点。显然 ABBD、ACDC，而222BCDCBD，所以222BCACAB。请注意，不会出现垂足落在圆上或圆外（即 B点、C点以及 BC的延长线上）的情况。同理，用反证法很容易证得该命题的逆命题也是成立的。即：命题：在三角形中，a、b、c 为其 3 条边长，其中 c 为最长边（ca、cb），如果222cba，则三角形为直角三角形；如果222cba
7、，则三角形为锐角三角形；如果 B C O D B C O D A 图 6 图 7 A 考试中也往往不会作为一个独立知识点进行命题但其实其内容及方法常常包含在其他各类题目中是问题解答过程中一个很重要的手段所以学生对勾股定理要能够十分熟练地进行使用本文对勾股定理进行证明及拓展以使学生对其进行图形证明法如下图我们使用个同样大小的红色直角三角形为直角边长为斜边边长拼出个图形图图图和图这两个蓝色正方形的面积是相等的们的边长都是而个红色直角三角形的面积也是相等的所以个图形中白色部分的面积也应该相等角形右边图形在讨论勾股定理的延伸之前我们先来看圆与三角形的关系图图图如图以为直径做圆圆心为的中点在圆上任取一点
8、则三角形为直角三角形其中如图同样做圆如果点在圆外则为锐角可以这样来证明连接和圆交与点容易得到222cba，则三角形为钝角三角形。5.勾股定理的增强描述 综合以上的讨论，我们可以对勾股定理进行增强型的表述，如下：在三角形中，a、b、c 为其 3 条边长，其中 c 为最长边（ca、cb），则三角形为直角三角形的充分必要条件是222cba；三角形为锐角三角形的充分必要条件是222cba；三角形为钝角三角形的充分必要条件是222cba。考试中也往往不会作为一个独立知识点进行命题但其实其内容及方法常常包含在其他各类题目中是问题解答过程中一个很重要的手段所以学生对勾股定理要能够十分熟练地进行使用本文对勾股定理进行证明及拓展以使学生对其进行图形证明法如下图我们使用个同样大小的红色直角三角形为直角边长为斜边边长拼出个图形图图图和图这两个蓝色正方形的面积是相等的们的边长都是而个红色直角三角形的面积也是相等的所以个图形中白色部分的面积也应该相等角形右边图形在讨论勾股定理的延伸之前我们先来看圆与三角形的关系图图图如图以为直径做圆圆心为的中点在圆上任取一点则三角形为直角三角形其中如图同样做圆如果点在圆外则为锐角可以这样来证明连接和圆交与点容易得到