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1、奶制品的生产与销售 摘要：关键词：奶制品生产与销售，线性规划 一、问题重述 问题一：加工厂用牛奶生产 A、A两种奶制品，1桶牛奶可以在设备 甲上用12小时加工成3公斤A,或者在设备乙上用8小时加工 成4公斤A。根据市场需求，生产的A、A2能全部售出，且每公 斤A获利24元，每公斤A获利16元。现在加工厂每天能得到 50 桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为 480 小时，并 且设备甲每天至多能加工100公斤A,设备乙的加工能力没有限 制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨 论以下 3个附加问题：1）若用 35 元可以购买到 1 桶牛奶，应否作这项投资？若投 资，每天最多购
2、买多少桶牛奶？2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的 工资最多是每小时几元？3）由于市场需求变化，每公斤 A的获利增加到30元，应否 改变生产计划？问题二：问题1给出的A1,A2两种奶制品的生产条件、利润，及工厂 的“资源”限制全都不变。为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加 工技术：用 2 小时和 3 元加工费，可将 1 公斤 A1 加工成 0.8 公斤高 级奶制品B,也可以将1公斤A加工成0.75公斤高级奶制品E2,每 公斤Bi能获利44元，每公斤B2能获利32元。试为该厂制定一个生 产销售计划，使每天的净利润最大，并讨论一下问题（1）若投资 30元可以增加供应一桶牛奶，投资
3、3 元可以增加 1 小 时劳动时间，应否做这些投资？若每天投资 150元，可赚回多 少？（2）每公斤高级奶制品Bi,B2的获利经常有10%勺波动，对制定的生 产销售计划有无影响？若每公斤 B获利下降10%计划应该变 化吗？二、模型假设和符号说明 2.1 模型假设（1）假设 A1,A 2两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量 无关的常数，每桶牛奶加工出 A1,A 2的数量和所需的时间是与 它们各自的产量无关的常数；（2）假设 A1,A 2每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常 数，每桶牛奶加工出 A1,A 2 的数量和所需的时间是与它们相 互间产量无关的常数；（3）假设加工 A1,A 2的牛奶的
4、桶数可以是任意常数。2.2 符号说明 奶可以在设备甲上用小时加工成公斤或者在设备乙上用小时加工成公斤根据市场需求生产的能全部售出且每公斤获利元每公斤获利元现在加工厂每天能得到桶牛奶的供应每天正式工人总的劳动时间为小时并且设备甲每天至多能加工可以购买到桶牛奶应否作这项投资若投资每天最多购买多少桶牛奶若可以聘用临时工人以增加劳动时间付给临时工人的工资最多是每小时几元由于市场需求变化每公斤的获利增加到元应否改变生产计划问题二问题给出的两种奶制品斤加工成公斤高级奶制品也可以将公斤加工成公斤高级奶制品每公斤能获利元每公斤能获利元试为该厂制定一个生产销售计划使每天的净利最大并讨论一下问题若投资元可以增加供
5、应一桶牛奶投资元可以增加小时劳动时间应否做这s.t.x 1+x2 50(2)A1,A 2:牛奶的两种类型 Xi：每天用于生产A1的牛奶的桶数 X每天用于生产A2的牛奶的桶数 三、问题分析与模型建立 问题一：数学模型 设每天用xi桶牛奶生产A1,用X2桶牛奶生产A2 目标函数 设每天获利为z元。xi桶牛奶可生产3xi公斤A1,获 利24*3xi,X2桶牛奶可生产4X2公斤A2,获利16*4x2，故z=72xi+64x2 约束条件 原料供应 生产A、A的原料(牛奶)总量不超过每天的供应 50 桶，即 X1+X2W 50 劳动时间 生产A、A的总加工时间不超过每天正式工人总的劳 动时间480小时，即
6、 12x1+8x2W480 设备能力A 1的产量不得超过设备甲每天的加工能力 100小时，即 3x 1 0,x2 0 综上所述可得 Max z=72x1+64x2(1)奶可以在设备甲上用小时加工成公斤或者在设备乙上用小时加工成公斤根据市场需求生产的能全部售出且每公斤获利元每公斤获利元现在加工厂每天能得到桶牛奶的供应每天正式工人总的劳动时间为小时并且设备甲每天至多能加工可以购买到桶牛奶应否作这项投资若投资每天最多购买多少桶牛奶若可以聘用临时工人以增加劳动时间付给临时工人的工资最多是每小时几元由于市场需求变化每公斤的获利增加到元应否改变生产计划问题二问题给出的两种奶制品斤加工成公斤高级奶制品也可以
7、将公斤加工成公斤高级奶制品每公斤能获利元每公斤能获利元试为该厂制定一个生产销售计划使每天的净利最大并讨论一下问题若投资元可以增加供应一桶牛奶投资元可以增加小时劳动时间应否做这12xi+8x2 480(3)3xi 0,X20(5)问题二：数学模型：设每天销售X公斤A,X2公斤A2,X3公斤BI,X4公斤B2,用公斤A加工B,X6公斤A加工B(增设,X6可使模型简单)。目标函数：设每天净利润为z,容易写出目标函数：z=24X1+16X2+44X3+32X4-3X5-3X6 约束条件：原料供应：Ai每天生产X+%公斤，用牛奶(Xi+%)/3桶，A每天 生产+X公斤，用牛奶(X2+XO/4桶，二者之和
8、不得超过每天的供应 量 50 桶。即(X+Xs)/3+(X2+X)/4 三 50 劳动时间：每天生产AA的时间分别为4(Xi+X)和2(X2+%)，加工B,B2 的时间分别为2Xs和2%，两者之和不得超过总的劳动时间 480小时。设备能力：A的产量X+%不能超过甲类设备每天的加工能力 100公斤。非负约束：X,X2X均为负。附加约束：i 公斤 Ai 加工成 0.8 公斤 Bi,故 X3=0.8X5,类似的 X4=0.75X6 奶可以在设备甲上用小时加工成公斤或者在设备乙上用小时加工成公斤根据市场需求生产的能全部售出且每公斤获利元每公斤获利元现在加工厂每天能得到桶牛奶的供应每天正式工人总的劳动时
9、间为小时并且设备甲每天至多能加工可以购买到桶牛奶应否作这项投资若投资每天最多购买多少桶牛奶若可以聘用临时工人以增加劳动时间付给临时工人的工资最多是每小时几元由于市场需求变化每公斤的获利增加到元应否改变生产计划问题二问题给出的两种奶制品斤加工成公斤高级奶制品也可以将公斤加工成公斤高级奶制品每公斤能获利元每公斤能获利元试为该厂制定一个生产销售计划使每天的净利最大并讨论一下问题若投资元可以增加供应一桶牛奶投资元可以增加小时劳动时间应否做这(9)(10)(11)三 0(12)1)3360.000 综上所述有：Max z=24x1+16x2+44x3-3x5-3x6(6)(x1+x5)/3+(x2+x6
10、)/4 三 50(7)4(x1+x5)+2(x2+x6)+2x5+2x6 三 480(8)x1+x5三100 x3=0.8x5 x4=0.75x6 x1,x2,x3,x4,x5,x6 四、模型求解 问题一：用鼠标单击菜单中的求解命令（SOLVE就可以得到解答，结果 窗口显示如下：LP OPTIMUM FOUND AT STEP2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 奶可以在设备甲上用小时加工成公斤或者在设备乙上用小时加工成公斤根据市场需求生产的能全部售出且每公斤获利元每公斤获利元现在加工厂每天能得到桶牛奶的供应每天正式工人总的劳动时间为小时并且设备甲每天至多能加工可以购买到桶牛奶
11、应否作这项投资若投资每天最多购买多少桶牛奶若可以聘用临时工人以增加劳动时间付给临时工人的工资最多是每小时几元由于市场需求变化每公斤的获利增加到元应否改变生产计划问题二问题给出的两种奶制品斤加工成公斤高级奶制品也可以将公斤加工成公斤高级奶制品每公斤能获利元每公斤能获利元试为该厂制定一个生产销售计划使每天的净利最大并讨论一下问题若投资元可以增加供应一桶牛奶投资元可以增加小时劳动时间应否做这COST值为0,对于非基变量，相应的 REDUCED COST表示当非基变 NO.ITERATIONS=2 计算结果分析：“LP OPTIMUM FOUND AT STEP表示单纯形法在两次迭代（旋 转）后得到最
12、优解。“OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1）3360.00”0表示最优目标值为 3360.000（LINDO中将目标函数自动看作第1行，从第二行开始才是 真正的约束条件）。“VALUE给出最优解中各变量（VARIABLE的值：x1=20.000000，x2=30.000000。REDUCBCOST的含义是（对MAX型问题）：基变量的REDUCED 量增加一个单位时（其它非基变量保持不变）目标函数减少的量。本 例中两个变量都是基变量。“SLACK OR SURPLUS出松弛（或剩余）变量的值，表示约束 X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.0
13、00000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2)0.000000 48.000000 3)0.000000 2.000000 4)40.000000 0.000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST 奶可以在设备甲上用小时加工成公斤或者在设备乙上用小时加工成公斤根据市场需求生产的能全部售出且每公斤获利元每公斤获利元现在加工厂每天能得到桶牛奶的供应每天正式工人总的劳动时间为小时并且设备甲每天至多能加工可以购买到桶牛奶应否作这项投资若投资每天最多购买多少桶牛奶若可以聘用临时工人以增加劳动时间付给临时工人的工资最多是每小时几元由于市场需求变化
14、每公斤的获利增加到元应否改变生产计划问题二问题给出的两种奶制品斤加工成公斤高级奶制品也可以将公斤加工成公斤高级奶制品每公斤能获利元每公斤能获利元试为该厂制定一个生产销售计划使每天的净利最大并讨论一下问题若投资元可以增加供应一桶牛奶投资元可以增加小时劳动时间应否做这是否取等式约束；第 2、第 3 行松弛变量均为 0,说明对于最优解而 言，两个约束均取等式约束；第 4 行松弛变量为 40.000000，说明对 于最优解而言，这个约束取不等式约束。“DUAL PRICE”给出约束的影子价格（也称为对偶价格）的值：第 2、第 3、第 4 行（约束）对应的影子价格分别 48.000000，2.00000
15、0，0.000000。敏感性分析：RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000
16、 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000 “GURRENT COEF敏感性分析）的“ALLOWABLE INCREAS允许的 增加量）和“ALLOWABLE DECRE”S允许的减少量）给出了最优解不 变条件下目标函数系数的允许变化范围：X1的系数为（72-8，72+24）即（64,96）。并且，x1系数的允许范 围需要 x2 的系数保持 64不变。X2的系数为（64-16，64+8）即（48，72）。同理，x2系数的允许范 围需要 x1 的系数保持 72不变。“CURRENT RH啣是
17、对“影子价格”的进一步约束。牛奶的需求量满足（50-6，50+10）即（44，60）。并且，牛奶的允许 范围需要劳动时间保持 480 小时不变。奶可以在设备甲上用小时加工成公斤或者在设备乙上用小时加工成公斤根据市场需求生产的能全部售出且每公斤获利元每公斤获利元现在加工厂每天能得到桶牛奶的供应每天正式工人总的劳动时间为小时并且设备甲每天至多能加工可以购买到桶牛奶应否作这项投资若投资每天最多购买多少桶牛奶若可以聘用临时工人以增加劳动时间付给临时工人的工资最多是每小时几元由于市场需求变化每公斤的获利增加到元应否改变生产计划问题二问题给出的两种奶制品斤加工成公斤高级奶制品也可以将公斤加工成公斤高级奶制
18、品每公斤能获利元每公斤能获利元试为该厂制定一个生产销售计划使每天的净利最大并讨论一下问题若投资元可以增加供应一桶牛奶投资元可以增加小时劳动时间应否做这劳动时间的需求量满足（480-80，480+53）即（400,533）。同理，劳 动时间的允许范围需要牛奶的用量保持 50 桶不变。对附加问题的回答：（1）因为一桶牛奶的影子价格为 48，3548，所以应该进行这个投 资。另外，在敏感性分析中对“影子价格”的进一步分析表明，每天最多购买 10 桶牛奶。（2）因为一个小时的劳动时间的影子价格为 2，所以付给临时工人 的工资最多是每小时 2。另外，在敏感性分析中对“影子价格”的进一步分析表明，每天最多
19、增加劳动时间 53 小时。（3）若每公斤A的获利增加到三十元，则Xi系数变为90,根据计算 结果分析，Xi的允许范围为（64,96）在允许范围内，所以不 应该改变生产计划 问题二：用鼠标单击菜单中的求解命令（SOLVE就可以得到解答，结果 窗口显示如下：五、模型的优缺点分析 附件 1 模型源代码 max 72x1+64x2 st 2)x1+x250 3)12x1+8x2480 4)3x1100 附件 2.模型答案 LP OPTIMUM FOUND A T STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION V ALUE 1)3360.000 奶可以在设备甲上用小时加工成公斤或者在设备乙上用小时
20、加工成公斤根据市场需求生产的能全部售出且每公斤获利元每公斤获利元现在加工厂每天能得到桶牛奶的供应每天正式工人总的劳动时间为小时并且设备甲每天至多能加工可以购买到桶牛奶应否作这项投资若投资每天最多购买多少桶牛奶若可以聘用临时工人以增加劳动时间付给临时工人的工资最多是每小时几元由于市场需求变化每公斤的获利增加到元应否改变生产计划问题二问题给出的两种奶制品斤加工成公斤高级奶制品也可以将公斤加工成公斤高级奶制品每公斤能获利元每公斤能获利元试为该厂制定一个生产销售计划使每天的净利最大并讨论一下问题若投资元可以增加供应一桶牛奶投资元可以增加小时劳动时间应否做这VARIABLE VALUE REDUCED
21、COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2)0.000000 48.000000 3)0.000000 2.000000 4)40.000000 0.000000 NO.ITERATIONS=2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.00
22、0000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000 奶可以在设备甲上用小时加工成公斤或者在设备乙上用小时加工成公斤根据市场需求生产的能全部售出且每公斤获利元每公斤获利元现在加工厂每天能得到桶牛奶的供应每天正式工人总的
23、劳动时间为小时并且设备甲每天至多能加工可以购买到桶牛奶应否作这项投资若投资每天最多购买多少桶牛奶若可以聘用临时工人以增加劳动时间付给临时工人的工资最多是每小时几元由于市场需求变化每公斤的获利增加到元应否改变生产计划问题二问题给出的两种奶制品斤加工成公斤高级奶制品也可以将公斤加工成公斤高级奶制品每公斤能获利元每公斤能获利元试为该厂制定一个生产销售计划使每天的净利最大并讨论一下问题若投资元可以增加供应一桶牛奶投资元可以增加小时劳动时间应否做这REDUCED COST 0.000000 0.000000 LP OPTIMUM FOUND A T STEP OBJECTIVE FUNCTION V A
24、LUE 1)3360.000 VARIABLE X1 X2 VALUE 20.000000 30.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2)0.000000 48.000000 3)0.000000 2.000000 4)40.000000 0.000000 NO.ITERATIONS=2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.00000
25、0 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000 奶可以在设备甲上用小时加工成公斤或者在设备乙上用小时加工成公斤根据市场需求生产的能全部售出且每公斤获利元每公斤获利元现在加工厂每天能得到桶牛奶的供应每天正式工人总的劳动时间为小时并且设备甲每天至多能加工可以购买到桶牛奶应否作这项投资若投资每天最多购买多少桶牛奶若可以聘用临时工人以增加劳动时间付给临时工人的工资最多是每小时几元由于市场需求变化每公斤的获利增加到元应否改变生产计划问题二问题给出的两种奶制品斤加工成公斤高级奶制品也可以将公斤加工成公斤高级奶制品每公斤能获利元每公斤能获利元试为该厂制定一个生产销售计划使每天的净利最大并讨论一下问题若投资元可以增加供应一桶牛奶投资元可以增加小时劳动时间应否做这