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1、1.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1，在锐角ABC中，AD、BE、CF分别为ABC的高，求证：AFE=ACB 小明是这样思考问题的：如图 2，以 BC为直径作半O，则点 F、E在O上，BFE+BCE=180，所以AFE=ACB 请回答：若ABC=40，则AEF的度数是 参考小明思考问题的方法，解决问题：如图 3，在锐角ABC中，AD、BE、CF分别为ABC的高，求证：BDF=CDE 2阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1，在ABC中，DE BC分别交 AB于 D，交 AC于 E已知 CD BE，CD=3，BE=5，求 BC+DE 的值 小明发现，过点 E作 EFDC，交 B
2、C延长线于点 F，构造BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）请回答：BC+DE 的值为 参考小明思考问题的方法，解决问题：如图 3，已知ABCD 和矩形 ABEF，AC与 DF交于点 G，AC=BF=DF，求AGF的度数 3阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1，在ABC中，点 D在线段 BC上，BAD=75，CAD=30，AD=2，BD=2DC，求 AC的长 小明发现，过点 C作 CE AB，交 AD的延长线于点 E，通过构造ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）（1）请回答：ACE的度数为 ，AC的长为 （2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图 3，在四边
3、形 ABCD 中，BAC=90，CAD=30，ADC=75，AC与 BD交于点 E，AE=2，BE=2ED，求 AC的长 4阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1，在等边三角形 ABC内有一点 P，且 PA=3，PB=4，PC=5，求APB度数 小明发现，利用旋转和全等的知识构造AP C，连接 PP，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图 2）请回答：图 1 中APB的度数等于，图 2 中PPC的度数等于 参考小明思考问题的方法，解决问题：如图 3，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A坐标为（-3，1），连接 AO 如果点 B是 x 轴上的一动点，以 AB为边作等边三角形 ABC 当
4、 C（x，y）在第一象限内时，求 y 与 x 之间的函数表达式 5（1）【问题发现】小明遇到这样一个问题：如图 1，ABC是等边三角形，点 D为 BC的中点，且满足ADE=60，DE交等边三角形外角平分线 CE所在直线于点 E，试探究 AD与DE的数量关系小明发现，过点D作 DF AC，交 AC于点 F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出 AD与 DE的数量关系：；（2）【类比探究】如图 2，当点 D是线段 BC上（除 B，C外）任意一点时（其它条件不变），试猜想 AD与 DE之间的数量关系，并证明你的结论（3）【拓展应用】当点 D在线段 BC的延长线上，且满足
5、CD=BC（其它条件不变）时，请直接写出ABC与ADE的面积之比 6阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1，在ABC中，D为 BC中点，E、F分别为 AB、AC上一点，且 ED DF，求证：BE+CF EF 小明发现，延长 FD到点 H，使 DH=FD，连结 BH、EH，构造BDH 和EFH，通过证明BDH 与CDF全等、EFH为等腰三角形，利用BEH使问题得以解决（如图 2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图 3，在矩形 ABCD 中，O为对角线 AC中点，将矩形 ABCD 翻折，使点 B恰好与点 O重合，EF为折痕，猜想 EF、AE、FC之间的数量关系？并证明你的猜想 7阅读下面
6、材料：小明遇到这样一个问题：如图 1，在 RtABC中，ACB=90，A=60，CD平分ACB，试判断 BC和 AC、AD之间的数量关系 小明发现，利用轴对称做一个变化，在 BC上截取 CA=CA，连接 DA，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）请回答：（1）在图 2 中，小明得到的全等三角形是 ；（2）BC和 AC、AD之间的数量关系是 参考小明思考问题的方法，解决问题：如图 3，在四边形 ABCD 中，AC平分BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9 求 AB的长 8.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1,在边长为 a（a2）的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE
7、=BF=CG=DH=1,当AFQ=BGM=CHN=DEP=45 时,求正方形 MNPQ 的面积.小明发现：分别延长 QE,MF,NG,PH,交 FA,GB,HC,ED的延长线于点 R,S,T,W,可得RQF,SMG,TNH,WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图 2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙,不重叠）,则这个新的正方形的边长为_；（2）求正方形 MNPQ 的面积.参考小明思考问题的方法,解决问题：如图 3,在等边ABC各边上分别截取AD=BE=CF,再分别过点D,E,F 作 BC,AC,AB的垂线,得到等边RPQ,若33RPQS,则 AD的长为_.9.
8、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1，ABO和CDO均为等腰直角三角形，AOB=COD=90 若BOC的面积为 1，试求以 AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积 小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到 E，使得 OE=CO，连接 BE，可证OBE OAD，从而得到的BCE即是以 AD、BC、OC+OD 的长度为三边长的三角形(如图 2)请你回答：图 2 中BCE的面积等于_ 请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：如图 3，已知ABC，分别以 AB、AC
9、、BC为边向外作正方形 ABDE、AGFC、BCHI，连接 EG、FH、ID(1)在图 3 中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID 的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)；(2)若ABC的面积为 1，则以 EG、FH、ID 的长度为三边长的三角形的面积等于_ 10.阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在ABC中，A=2 B，CD平分ACB，AD=，AC=求 BC的长.小聪思考：因为 CD平分ACB，所以可在 BC边上取点 E，使 EC=AC，连接 DE.这样很容易得到DEC DAC，经过推理能使问题得到解决（如图 2）.请回答：（1）BDE是_三角形.（2）BC的
10、长为_.参考小聪思考问题的方法，解决问题：如图 3，已知ABC中，AB=AC,A=20，BD平分 ABC,BD=,BC=2，求 AD的长.1.阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点 E、F分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD上，EAF=45，连结 EF，则 EF=BE+DF，试说明理由 小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段 AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法她的方法是将ABE绕着点 A逆时针旋转 90得到ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图 2）参考小炎同学思考问题的方法，解
11、决下列问题：（1）如图 3，四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=90 点 E，F分别在边 BC，CD上，EAF=45 若B，D都不是直角，则当B与D满足 关系时，仍有 EF=BE+DF；（2）如图 4，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点 D、E均在边 BC上，且DAE=45，若 BD=1，EC=2，求 DE的长 2.阅读下面文字，解决下列问题（1）问题背景 宇昕同学遇到这样一个问题：如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F分别为 BC，CD上的点，且EAF=45，求证：BE+DF=EF 宇昕是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上他先后尝试
12、了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题 他的方法是将ADF绕点 A顺时针旋转 90得到ABG（如图 2），此时 GE即是 DF+BE 请回答：在图 2 中，GAF的度数是 、AGE （2）拓展研究 如图 3，若 E，F分别在四边形 ABCD 的边 BC，CD上，B+D=180，AB=AD，要使（1）中线段 BE，EF，FD的等量关系仍然成立，则EAF与BAD应满足的关系是 ；（3）构造运用 运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下面问题：如图 4，在四边形 ABCD 中，ABC=90，CAB=CAD=，点 E在 AB上，且DCE=，DE AB于点 E，若 AE=23，试求
13、线段 AD，BE的长 在上所以请回答若则的度数是参考小明思考问题的方法解决问题如图在锐角中分别为的高求证阅读下面材料小明遇到这样一个问题如图在中分别交于交于已知求的值小明发现过点作交延长线于点构造经过推理和计算能够使问题得到到这样一个问题如图在中点在线段上求的长小明发现过点作交的延长线于点通过构造经过推理和计算能够使问题得到解决如图请回答的度数为的长为参考小明思考问题的方法解决问题如图在四边形中与交于点求的长阅读下面材料小的三角形从而将问题解决如图请回答图中的度数等于图中的度数等于参考小明思考问题的方法解决问题如图在平面直角坐标系中点坐标为连接如果点是轴上的一动点以为边作等边三角形当在第一象限
14、内时求与间的函数表达式问题发 在上所以请回答若则的度数是参考小明思考问题的方法解决问题如图在锐角中分别为的高求证阅读下面材料小明遇到这样一个问题如图在中分别交于交于已知求的值小明发现过点作交延长线于点构造经过推理和计算能够使问题得到到这样一个问题如图在中点在线段上求的长小明发现过点作交的延长线于点通过构造经过推理和计算能够使问题得到解决如图请回答的度数为的长为参考小明思考问题的方法解决问题如图在四边形中与交于点求的长阅读下面材料小的三角形从而将问题解决如图请回答图中的度数等于图中的度数等于参考小明思考问题的方法解决问题如图在平面直角坐标系中点坐标为连接如果点是轴上的一动点以为边作等边三角形当在第一象限内时求与间的函数表达式问题发