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1、学习好资料 欢迎下载 平面向量的数量积及平面向量的应用【选题明细表】知识点、方法 题号 数量积的运算 1、4、9 长度及垂直问题 1、2、3、5 夹角问题 7、10 平面向量的应用 6、8、11、12 一、选择题 1.(20XX 年高考重庆卷)设 xR,向量 a=(x,1),b=(1,-2),且 ab,则|a+b|等于(B)(A)(B)(C)2(D)10 解析:ab,x-2=0,x=2.|a+b|=.故选 B.2.(2013乐山市第一次调研)已知两点 A(-1,0),B(1,3),向量 a=(2k-1,2),若a,则实数 k的值为(C)(A)2(B)1(C)-1(D)-2 解析:由=(2,3)
2、,因为a,所以 2(2k-1)+2 3=0,得 k=-1,故选 C.3.(20XX 年高考辽宁卷)已知两个非零向量a、b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是(B)(A)ab (B)ab(C)|a|=|b|(D)a+b=a-b 解析:法一 代数法:将原式平方得|a+b|2=|a-b|2,a2+2ab+b2=a2-2ab+b2,ab=0,ab,故选 B.法二 几何法:如图所示,在 ABCD 中,设=a,=b,=a+b,=a-b,学习好资料 欢迎下载|a+b|=|a-b|,平行四边形两条对角线长度相等,即平行四边形 ABCD 为矩形,ab,故选 B.4.(2013玉溪一中月考)已知|a|=
3、6,|b|=3,ab=-12,则向量 a 在向量 b 方向上的投影是(A)(A)-4(B)4(C)-2(D)2 解析:cos=-,向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|cos=6(-)=-4,故选 A.5.(2012 东北四校联考)已知平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为 120,则|2 a+b|等于(A)(A)2(B)4(C)2(D)6 解析:由题意可知|2 a+b|2=4a2+b2+4ab=4|a|2+|b|2+4|a|b|cos 120=4,所以|2 a+b|=2,故选 A.6.(2013 成都市高三一诊模拟)已知向量 a=(cos,sin),向量 b=(,1),
4、则|2a-b|的最大值和最小值分别为(B)(A)4,0(B)4,0 (C)16,0(D)4,4 解析:|2a-b|=|(2cos-,2sin-1)|=,所以最大值和最小值分别为 4,0.故选 B.二、填空题 7.单位圆上三点 A,B,C 满足+=0,则向量,的夹角为.解析:A,B,C 为单位圆上三点,|=|=|=1,又+=0,角问题平面向量的应用题号一选择题年高考重庆卷设向量且则等于解析故选乐山市第一次调研已知两点向量若则实数的值为解析由因为所以得故选年高考辽宁卷已知两个非零向量满足则下面结论正确的是解析法一代数法将原式平方玉溪一中月考已知则向量在向量方向上的投影是解析向量在向量方向上的投影为
5、故选东北四校联考已知平面向量和且与的夹角为则等于解析由题意可知所以故选成都市高三一诊模拟已知向量向量则的最大值和最小值分别为解析所以载可得向量的夹角为答案年高考天津卷已知直角梯形中是腰上的动点则的最小值为解析如图建立平面直角坐标系设则又设则当即时的最小值为的最小值为答案德州一模已知定义下列等式中学习好资料欢迎下载一定成立的是填上所有学习好资料 欢迎下载-=+,=(+)2=+2,可得 cos=-,向量,的夹角为 120.答案:1 20 8.(20XX 年高考天津卷)已知直角梯形 ABCD 中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P 是腰 DC上的动点,则|+3|的最小值为.解析:如图建立
6、平面直角坐标系,设 C(0,b),则 B(1,b),又 A(2,0),设 P(0,y),则+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),|+3|2=25+(3b-4y)2,当 3b-4y=0,即 y=b 时,|+3|2的最小值为 25.|+3|的最小值为 5.答案:5 9.(2012 德州一模)已知 a=(m,n),b=(p,q),定义 a b=mn-pq,下列等式中,a a=0;a b=b a;(a+b)a=a a+b a;角问题平面向量的应用题号一选择题年高考重庆卷设向量且则等于解析故选乐山市第一次调研已知两点向量若则实数的值为解析由因为所以得故选年高考辽宁卷已知两个非零向量满
7、足则下面结论正确的是解析法一代数法将原式平方玉溪一中月考已知则向量在向量方向上的投影是解析向量在向量方向上的投影为故选东北四校联考已知平面向量和且与的夹角为则等于解析由题意可知所以故选成都市高三一诊模拟已知向量向量则的最大值和最小值分别为解析所以载可得向量的夹角为答案年高考天津卷已知直角梯形中是腰上的动点则的最小值为解析如图建立平面直角坐标系设则又设则当即时的最小值为的最小值为答案德州一模已知定义下列等式中学习好资料欢迎下载一定成立的是填上所有学习好资料 欢迎下载(a b)2+(ab)2=(m2+q2)(n2+p2),一定成立的是.(填上所有正确等式的序号)解析:由 a b 的定义可知,a a
8、=mn-mn=0,故正确,a b=mn-pq,b a=pq-mn,故错误,a+b=(m+p,n+q),所 以(a+b)a=(m+p)(n+q)-mn,而 a a+b a=pq-mn,故 错 误,(a b)2=(mn-pq)2,(ab)2=(mp+nq)2,所以(a b)2+(ab)2=(m2+q2)(n2+p2),故正确.答案:三、解答题 10.已知 a、b、c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2).(1)若|c|=2,且 ca,求 c 的坐标;(2)若|b|=,且 a+2b与 2a-b垂直,求 a 与 b的夹角.解:(1)设 c=(x,y),由 ca 和|c|=2,可得:或 c=(2
9、,4)或 c=(-2,-4).(2)(a+2b)(2 a-b),(a+2b)(2 a-b)=0,即 2a2+3ab-2b2=0,2|a|2+3ab-2|b|2=0,25+3ab-2=0,ab=-,cos=-1,0,=.即 a 与 b的夹角大小为.11.在ABC中,角 A、B、C的对边分别为 a、b、c.若=k(k R).(1)判断ABC的形状;(2)若 k=2,求 b 的值.解:(1)=cbcos A,=bacos C,bccos A=abcos C,根据正弦定理,得 sin Ccos A=sin Acos C,角问题平面向量的应用题号一选择题年高考重庆卷设向量且则等于解析故选乐山市第一次调研
10、已知两点向量若则实数的值为解析由因为所以得故选年高考辽宁卷已知两个非零向量满足则下面结论正确的是解析法一代数法将原式平方玉溪一中月考已知则向量在向量方向上的投影是解析向量在向量方向上的投影为故选东北四校联考已知平面向量和且与的夹角为则等于解析由题意可知所以故选成都市高三一诊模拟已知向量向量则的最大值和最小值分别为解析所以载可得向量的夹角为答案年高考天津卷已知直角梯形中是腰上的动点则的最小值为解析如图建立平面直角坐标系设则又设则当即时的最小值为的最小值为答案德州一模已知定义下列等式中学习好资料欢迎下载一定成立的是填上所有学习好资料 欢迎下载 即 sin Acos C-cos Asin C=0,s
11、in(A-C)=0,A=C,即 a=c.则ABC为等腰三角形.(2)由(1)知 a=c,由余弦定理,得=bccos A=bc=.=k=2,即=2,解得 b=2.12.(2012山 东 省 威 海 市 高 三 第 一 次 模 拟)已 知 向 量 m=(2cos x,cos x-sin x),n=,且满足 f(x)=m n.(1)求函数 y=f(x)的单调递增区间;(2)设ABC的内角 A满足 f(A)=2,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且=,求边BC的最小值.解:(1)f(x)=2cos x（sin x+cos x）+sin xcos x-sin2 x=2sin xcos x+co
12、s2 x-sin2 x=sin 2x+cos 2x=2sin,由 2k-2x+2k+,k Z,得 k-xk+,k Z,故所求单调递增区间为(k Z).(2)由 f(A)=2sin=2,0A得 A=,角问题平面向量的应用题号一选择题年高考重庆卷设向量且则等于解析故选乐山市第一次调研已知两点向量若则实数的值为解析由因为所以得故选年高考辽宁卷已知两个非零向量满足则下面结论正确的是解析法一代数法将原式平方玉溪一中月考已知则向量在向量方向上的投影是解析向量在向量方向上的投影为故选东北四校联考已知平面向量和且与的夹角为则等于解析由题意可知所以故选成都市高三一诊模拟已知向量向量则的最大值和最小值分别为解析所
13、以载可得向量的夹角为答案年高考天津卷已知直角梯形中是腰上的动点则的最小值为解析如图建立平面直角坐标系设则又设则当即时的最小值为的最小值为答案德州一模已知定义下列等式中学习好资料欢迎下载一定成立的是填上所有学习好资料 欢迎下载=,即 bccos A=,bc=2,又ABC中,a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc2bc-bc=(2-)bc,=(2-)2=4-2,amin=-1.即边 BC的最小值为-1 角问题平面向量的应用题号一选择题年高考重庆卷设向量且则等于解析故选乐山市第一次调研已知两点向量若则实数的值为解析由因为所以得故选年高考辽宁卷已知两个非零向量满足则下面结论正确的是解析法一代数法将原式平方玉溪一中月考已知则向量在向量方向上的投影是解析向量在向量方向上的投影为故选东北四校联考已知平面向量和且与的夹角为则等于解析由题意可知所以故选成都市高三一诊模拟已知向量向量则的最大值和最小值分别为解析所以载可得向量的夹角为答案年高考天津卷已知直角梯形中是腰上的动点则的最小值为解析如图建立平面直角坐标系设则又设则当即时的最小值为的最小值为答案德州一模已知定义下列等式中学习好资料欢迎下载一定成立的是填上所有