《2021年九年级中考数学小突破训练：轴对称最短路径问题（附答案）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年九年级中考数学小突破训练：轴对称最短路径问题（附答案）.pdf（58页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年九年级中考数学小专题复习：轴对称最短路径问题（附答案）1.如图，点P是NAOB内任意一点，OP=5c/n,点M和点N分别是射线0 4和射线08上的动点，PMN周长的最小值是5cm,则NA0B的度数是（）C.35 D.402.如图，四边形A8CD中，/C=50,N8=NZ）=90,E、F分别是BC、0 c上的点,当人 尸的周长最小时，NEA尸的度数为（）A.50B.60C.70 D.803.如图，等腰三角形48C的底边8 c长为4,面积是1 6,腰A C的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,尸 点.若 点。为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CQM周长的最小值为（）A.6 B.
2、8 C.10 D.124.如图，在A8C中，A8=AC,AD,CE是ABC的两条中线，尸是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）AC.ADD.AC5.如图，在 RtZVVBC 中，ZACB=90,AC=6,BC=8,A。是NB4C 的平分线.若 P,。分别是A。和AC上的动点，则PC+P。的最小值是（）245D.56.如图，在矩形ABCD中，AB=5,A O=3,动 点P满足S 附8=工$矩 形ABC D，贝U点。至IA、3B两点距离之和PA+PB的最小值为（）B.V34C.572 D.7417.如图，在四边形48CD中，/区4。=130,/8=/。=90,点E,F分别是
3、线段BC,0 c上的动点.当4EF的周长最小时，则/E4B的度数为（）A.90B.80C.70D.608.如图，在锐角三角形ABC中，AB=4,ABC的面积为8,8。平分N A BC.若M、N分别是BQ、8 c上的动点，则CM+MN的最小值是（）C.6D.89.如图所示，正方形48C。的面积为12,ABE是等边三角形，点E在正方形A8C。内,在对角线AC上有一点P,使PO+PE的和最小，则这个最小值为（）A.273B.276C.3 D.7610.如图，在A8C中，AB=AC,8c=4,A8C的面积是16,A C的垂直平分线E F分别交AC,A8边 于E,F点,若点。为8 C边的中点，点M为线段
4、EF上一动点，则4CM周长的最小值为（）A.6 B.8 C.10 D.1211.如图，在平面直角坐标系中，RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点B的坐标为（3,）,点C的坐标为（，0）,点P为斜边0 8上的一个动点，则 以+PC的最小2值 为（)A V13 R V31 r r-2 2 21 2 .如图，正方形A B C D 的边长为8,M 在 0 c上，且 OM=2,N是 AC上一动点，则。N+M N的最小值为（）A.6 B.8C.1 2 D.1 01 3 .如图，在正方形A 8 C D 中，A B=8,AC与 BO交于点0,N是 A。的中点，点 M在 B C边上，且 8M=6.尸为对角线B
5、O上一点，则 PM-PN的 最 大 值 为.1 4 .如图，在锐角 A B C 中，A B=4 0，N B A C=4 5 ,NBAC的平分线交BC于点。，例、N分别是AD和AB上的动点，则B M+MN的 最 小 值 是.1 5.如图，在边长为1 的菱形A B C。中，ZA BC=60 ,将A S。沿射线8。的方向平移得到AE。，分别连接月C,AD,BC,则4C+BC的最小值为16.如图，已知正方形ABC。的边长是4,点E是48边上一动点，连接C E,过点B作BGL C E于点G,点 P 是 A B边上另一动点，则P D+P G的 最 小 值 为.17.如图，RtZA8C 中，Z B A C=
6、9 0Q,AB=3,AC=6圾，点 ,E 分别是边 8C,AC 上的动点，则D A+D E的 最 小 值 为.18.如图所示，正方形ABCC的面积为12,ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内,在对角线A C上有一点P,使P D+P E的和最小，则 这 个 最 小 值 为.19.如图所示，已知点C(l,0),直 线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,B两点，D,E分别是A8,0A上的动点，则COE周长的最小值是20.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰A C的垂直平分线EF分别交AC,AB边 于E,F点,若点。为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CQM周 长 的 最
7、小 值 为.21.如图，菱形中，NA=60,A 8=3,。4、的半径分别为2和1,P、E、F分别是边C。、0 A和0 8上的动点，则PE+PF的 最 小 值 是.22.如图，菱形ABCO的两条对角线分别长6和8,点尸是对角线AC上的一个动点，点、N分别是边A3、8 c的中点，则PM+PN的最小值是23.在锐角三角形A8C中，8。=孰 历，NABC=45,8。平分/ABC,M、N分别是80、BC上的动点，则CM+MN的最小值是D24.已知菱形A8C 的两条对角线分别为6 和 8,M、N 分别是边BC、CC的中点，P 是对角线B D上一点，则P M+P N的最小值=.25.如图，在矩形A B C
8、D中，A B 4,A D 3,矩形内部有一动点P满足5 矩 形ABCD，3则点P到 A、B两点的距离之和PA+PB的 最 小 值 为.26.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,3),点 8(-2,1),在 x 轴上存在点P 到A,B 两点的距离之和最小，则 尸 点 的 坐 标 是.27.(1)如 图 1,在 A 8直线一侧C、。两点，在 4 8 上找一点P,使 C、。、P 三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由.(2)如图2,在N A 08内部有一点P,是否在。4、0B 上分别存在点E、F,使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由.(3)如图3,在/AO
9、B内部有两点M、N,是否在OA、0 B上分别存在点E、F,使得E、F、M、N,四点组成的四边形的周长最短，找出E、F 两 点,并说明理由.DC.I-B图12 8.己知：如图所示,(1)作出ABC关于y轴对称的A B C ,并写出/!B C三个顶点的坐标.(2)在x轴上画出点P,使P4+PC最小.2 9.如图已知 E尸GH,4C_LEF 于点 C,B D L E F 于点、D 交 H G 于点、K.AC=3,DK=2,BK=4.(1)若CZ)=6,点M是CO上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM的长；(2)若 8=孕，点P是HG上一点，点Q是E F上一点,连接AP,PQ,QB,求AP+P
10、Q+QB的最小值.G-CK-HB3 0.如图，C为线段8。上一动点，分别过点8、。作A B J.B O,E D L B D,连接A C、E C.已知 A B=2,DE=1,8 0=8,设 C O=x.(1)用含x的代数式表示A C+C E的长；(2)请问点C满足什么条件时，4 C+C E的值最小；(3)根 据(2)中的规律和结论，请 构 图 求 出 代 数 式 抒%T(1 2七)2+9的最小值3 1 .如图，C为线段B O上的一个动点，分别过点B,。作E D L B D,连结A C,E C.已知 A B=5,DE=,B D=8,设 C C=x.(1)用含x的代数式表示A C+C E的长；(2)
11、请问：点C满足什么条件时，A C+C E的值最小？求出这个最小值.(3)根 据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式疗%W(1 2-x)2+9的最小值3 2.如图，A B C三个顶点的坐标分别为A (1,1)、B.(4,2)、C(3,4).(1)若 A i B i G与 A B C关 于y轴成轴对称，则 A/|C i三个顶点坐标分别为:A,B,C；(2)若P为x轴上一点，则PA+PB的最小值为(3)计算A A B C的面积.3 3 .如图，已知 A B C为等腰直角三角形，A C=B C=4,/8 C =1 5,P为C。上的动点,则|相-P引的最大值为3 4 .如图，在正方形网格中，每个小正方
12、形的边长都为1,网格中有一个格点A B C (即三角形的顶点都在格点上).(1)A B C的面积为；(2)在图中作出A 8 C关于直线MN的对称图形A A B C.(3)利用网格纸，在MN上找一点P,使得P 8+P C的距离最短.(保留痕迹)问题：如 图1,点A,8在直线/的同侧，在直线/上找一点P,使得A P+8尸的值最小.小明的思路是：如图2所示，先作点A关于直线/的对称点A,使点A ,B分别位于直 线/的两侧，再连接A B,根 据“两点之间线段最短 可知A B与直线1的交点P即为所求.请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：(1)如图3,在图2的基础上，设A 4与 直 线/的交点为C
13、,过点B作BDA.I,垂足为D.若CP=l,A C=1,P D=2,直接写出 A P+2 P 的值；(2)将(1)中的条件“A C=1”去掉，换 成 8/)=4-A C ，其它条件不变，直接写出此时A P+B P的值；(3)请结合图形，求3血-3)2+1 2+4的最小值36.在a A B C中，A B=A C,点D是直线8 c上 一 点(不与B、C重合)，以A D为一边在AO 的右侧作A)；,使 4 O=AE,Z D A =Z B A C,连接 CE.(1)如图，若N AQ E=6 0 ,A B=A C=2,点。在线段B C上，Z B C E和/B A C之间是有怎样的数量关系？不必说明理由；
14、当四边形A O C E的周长取最小值时，直接写出8。的长；(2)若N R 4 CW 6 0。，当点。在射线B C上移动，如图，则N B C E和/8 A C之间有怎样的数量关系？并说明理由.BD图 图参考答案1.如图，点尸是/A O B内任意一点，0 P=5 a n,点”和点N分别是射线0A和射线0 8上的动点，加7周长的最小值是5C772,则N A 08的度数是（）A.25 B.30 C.35 D.40解：分别作点尸关于OA、OB的对称点C、D,连接C。，分别交。4、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、M N,如图所示：点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C,：.PM=DM,
15、OP=OD,ZDOAZPOA；点P关于OB的对称点为C,：.PN=CN,OP=OC,ZCOB=ZPOB,：.OC=OP=OD,ZAOB ZCOD,2.PMN周长的最小值是5cm,：.PM+PN+MN=5,：.DM+CN+MN=5,即 CD=5=OP,：.OC=OD=CD,即OC。是等边三角形，：.ZCOD=60),A ZAOB=30；故选：B.2.如图，四边形ABC。中,ZC=50,N 8=N O=90,E、/分别是 3。、0 c 上的点,当 历 的 周 长 最 小 时，NEAb 的度数为（）A.50B.60C.70 D.80解：作 A 关于8 c 和 CQ 的对称点A,A ,连接A A ,交
16、BC于E,交 CO于尸,则 A A 即为产的周长最小值.作。A 延长线AH,V ZC=50,：.ZDAB=130,：.ZH A Ar=50,ZA Af E+NA=ZH AAf=50，:乙EN A=ZE A A,ZFA D=ZAr,：.ZEA A +NA A F=5 0,：.ZEA F=3 0Q-50=80,故选：D.3.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是1 6,腰A C的垂直平分线EF分别交A C,AB边 于E,尸 点.若 点。为BC边的中点，点M为 线 段 上 一 动 点，则COM周长的最小值为()A.6 B.8 C.10 D.12解：连接AQ,ABC是等腰三角形，点。是BC边的
17、中点，J.A DL BC,-,.SABC=B C-A D=X 4 X A D=6,解得 A D=S,2 2EF是线段A C的垂直平分线，/.点C关于直线E F的对称点为点A,：.A D的长为CM+MD的最小值，.CDM 的周长最短=(C M+M D)+CD=AO+2BC=8+X4=8+2=10.2 2故选：C.B4.如 图，在ABC中，AB=AC,AD.CE是ABC的两条中线，尸是4 0 上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）A.BC B.CE C.A D D.AC解：如图连接PC,*：AB=AC,B D=CD,：.AD.LBCf：.PB=PC,:PB+PE=PC+PE,;P
18、E+PC2CE,P、C、E 共线时，P8+PE的值最小，最小值为CE的长度，故选：B.5.如图，在 RtZVIBC 中，ZACB=90,AC=6,8 c=8,4。是N84C 的平分线.若 P,。分别 是 和 AC上的动点，则 PC+P。的最小值是（）Da4 匕-A.B.4 C.建 D.55 5解：如图，过点C 作 CM_LAB交 A 8于点M,交 AO于点P,过点尸作PQLAC于点Q,力是/B A C 的平分线.：.P Q=P M,这时PC+P。有最小值，即 CM的长度，：AC=6,B C=8,乙4cB=90,/M S=VAC2+B C2=V62+82=1-,SAABC=ABCM=1AC8C,
19、2 2.A O B C 6 X 8 24AB 10 5即P C+P Q的最小值为2M5故选：c.6.如图，在矩形ABC。中，AB=5,A D=3,动点P 满足S 用B=1 S 矩 形ABCD，则点P 到 A、3B两点距离之和PA+PB的最小值为（)DA.V29 B.V34 C.572 D.V41解：设A A B P 中AB边上的高是正,*sHB=/S 矩形 A BC D，：.A Bh=A BA D,2 3./Z=2A/)=2,3.动点尸在与A B 平行且与A B 的距离是2 的直线/上，如图，作 A 关于直线/的对称点E,连接A E,连接B E,则 B E 的长就是所求的最短距离.在 RtzM
20、BE 中，：A B=5,AE=2+2=4,B E=Y 必2 +比2=寸 5 2 +4 2=病,即PA+PB的最小值为故选：D.7.如图，在四边形48c。中，ZBAD=130,N B=N D=90：点E,尸分别是线段BC,D C匕的动点.当 AEF的周长最小时，则N EA F的度数为()DA.90 B.80 C.70 D.60解：作 A 关于BC和 CO 的对称点A,A，连接A A ,交BC于E,交 CO于产,则 A A,f即为AE/7的周长最小值.作DA延长线A,VZD AB=130,：.ZH A Af=50,A ZA A1 E+ZA,f=ZH AAf=50,:4 EA A=ZE A Af,/
21、熟 D=N A”,：.ZEAA+NA AF=50,.N E4尸=130-50=80,故 选:B.8.如图，在锐角三角形A5C中，AB=4,ABC的面积为8,BD平分N A B C.若 M、N 分别是8。、8 c 上的动点，则 CM+MN的最小值是（）A.2B.4C.6D.8解：过点C作CEJ_A8于点E,交8。于点M,过点例作MN J_BC于N,平分/ABC,M E_L4B 于点 E,M N _LBC 于 N：.M N=M E,：.CE=CM+M E二当点例与M 重合，点N与N 重合时，CM+MN的最小值.三角形ABC的面积为8,AB=4,.-.AX4*CE=8,2：.CE=4.即CM+MN的
22、最小值为4.故选：B.9.如图所示，正方形ABC。的面积为12,AABE是等边三角形，点E在正方形A8CQ内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）S：A.2A/3 B.2娓 C.3 D.遍解：设BE与AC交于点尸（P）,连接3D,:点8与。关于AC对称,：.P D=P B,：.P D+P E=P B+P E=8 E 最小.即 P 在 A C 与 B E的交点上时，PD+PE最小，为 B E 的长度;:正方形ABC。的面积为12,:.A B=2.又ABE是等边三角形,：.BE=A B=2 y/3-故所求最小值为2 a.故 选:A.1 0.如图，在 4BC中，A B=A
23、 C,BC=4,ABC的面积是16,A C 的垂直平分线E尸分别交AC,A 8 边 于 E,尸点，若点。为 B C 边的中点，点历为线段E F 上一动点，则4CDM周长的最小值为（）A.6 B.8解：连接A。，A M.C.10D.12ABC是等腰三角形，点。是 B C 边的中点,：.A DL BC,5AABC=f i C M D=A x 4 X A D=1 6,解得 4 0=8,2 2E F 是线段A C 的垂直平分线，点C关于直线E F的对称点为点A,：.M A=M C,：A D ：A M+M D,：.A D的长为CM+MD的最小值,.CCM 的周长最短=(C M+M D)+CD=A)+LB
24、C=8+2 X 4=8+2=1 0.2 21 1.如图，在平面直角坐标系中，R t a O A B 的顶点A 在 x轴的正半轴上.顶点B 的坐标为（3,）,点 C 的坐标为（/,0）,点 P为 斜 边 上 的 一 个 动 点，则 勿+P C 的最小值 为（）解：法一:L.-2D.2 7 7作 A 关于。8 的对称点力，连接CD交。8 于 P,连接A P,过 D 作 DNL OA于 N,则此时必+PC的值最小,：DP=PA,：.PA+PC PD+PC=CD,:B(3,遍)，:.A B=M，0A=3,ZB=60,由勾股定理得：0B=2我,由三角形面积公式得：X OAX AB=X OB X AM,2
25、 2.AM=旦，2；.AZ)=2义g=3,2V ZAMB=90,ZB=60,：.ZB AM=30Q,；/8 4。=90,.ZO AM=()0,:DNLOA,：.ZNDA=30,；,A N=A D=-,由勾股定理得：DN=3M，2 2 2vc(A,o),2；.C N=3-2-2=1,2 2在 RtZONC中，由勾股定理得：%=出+(3)2=-即 附+PC的最小值是义过,2法二：如图，作点C关于0 8的对称点。，连接A。，过点。作。ML0A于M.0A=3A ZAOB=30Q,ZDOC=2ZAOB=60OC=OD.0C是等边三角形，M=CO sin60=,OM=CM=CD-cos600=4 4.AM
26、=0A-0M=3-4 4;M D=VD M2+A M2=P即B4+PC的 最 小 值 为 迄2故选：B.12.如图，正方形A B C D的边长为8,M 在。C 上，且D M=2,N 是 AC上一动点，则D N+M N的最小值为（）A.6 B.8 C.12解：如图，连接D.10点 8 和点。关于直线AC对称，:.NB=ND,则B M就是D N+M N的最小值，.,正方形A8CQ的边长是8,D M=2,：.C M=C,.DV+MN的最小值是10.故选：D.13.如 图，在正方形ABC。中，AB=8,AC与8。交于点。，N是A。的中点，点 例 在BC边上，且8M=6.P为对角线8。上一点，则PM-P
27、N的 最 大 值 为2解：如图所示，以8 0为对称轴作N的对称点N,连接尸乂，延长P N 交BC于M,根据轴对称性质可知，PN=PN,：.PM-PN=PM-PNWMN,当P,M,M三点共线时，取“=”，.正方形边长为8,ACyfAB 8A/2 1为AC中点，：.AO=OC=442:N为0A中点，：.0N=2&,：.0N=CM=2&,；.AM=6/2.：BM=6,：.CM=AB-BM=8-6=2,CM -CNy _ 1BM AN，T：.PM/AB/C D,NC MN=90,；NNCM=45,.M CM为等腰直角三角形,:.C M=MN=2,即P M -PN的最大值为2,故答案为：2.1 4.如图
28、，在锐角 ABC中，AB=，M，Z BAC=4 5 ,NB A C的平分线交B C于点O,M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是4 .解：如图，在4C上截取A E=A N,连接BE.,：AB AC的平分线交B C于点D,；.NE AM=NNAM,，AE=AN在与 AM N 中，N E A M=/N A M，AM=AM(S AS),:.M E=M N.：.B M+M N=BM+M E2 BE.:BM+MN有最小值.当8E是点B到直线A C的距离时，BE1A C,又 AB=4 NBAC=45,此时，为等腰直角三角形,：.BE=4,即BE取最小值为4,.BM+MV的最小值是4.故答案
29、为：4.15.如图，在边长为I的菱形4BCD中，N4BC=60,将AB。沿射线8力的方向平移得到WB77,分别连接AC,A D,BC,则AC+BC的最小值为解：在边长为1的菱形A8CD中，NA8C=60,：.A B=C D=l,ZABD=30,.将ABO沿射线B D的方向平移得到ABO,B1=A B=,A B1/A B,四边形ABC。是菱形,：.AB=CD,AB/CD,NBAQ=120,4 B=CD,Af B/CD,.四边形A Bf CO是平行四边形，A D=B C,AC+8C的最小值=A C+A。的最小值，点A 在过点A且 平 行 于 的 定 直 线 上，作点。关于定直线的对称点E,连 接C
30、E交定直线于4 ,则CE的长度即为HC+8C的最小值，V ZAf AD=ZADB=30,AD=1,A ZADE=60，DH=EH=AD=f2 2：.DE=1,：.DE=CDf/CDE=NEDB+ZCDB=900+30=120,；NE=NDCE=30,：.CE=2X唱8=西故答案为：1 6.如图，已知正方形A5CO的边长是4,点 E 是 A 3边上一动点，连 接 C E,过点3 作 BG_LCE于点G,点 P 是 4 8 边上另一动点，则 PD+PG的最小值为，任-2 _.D解：如图:取点力关于直线AB的对称点 .以 8 c 中点。为圆心，0B 为半径画半圆.连接0。交 4 B 于点P,交半圆。
31、于点G,连 8 G.连 CG并延长交AB于点E.由以上作图可知，BG_LEC于 G.PD+PG=PD+P G=D G由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小.,:D C=4,0 C=6:D O=V 42+62=2 V 1 3：.D G-2 V 1 3-2：.PD+PG的最小值为2任-2故答案为：2后-21 7.如图，RtAuABC 中，ZBAC=90,48=3,A C=6 ,点 D,E 分别是边 BC,AC 上的动点，则。A+DE的最小值为 西 .一 3 一解：作 A 关于BC的对称点4,连接4 T,交B C于F,过 A作 AELAC于 E,交B C于D,则 4 0=4。，此时AO+DE的值
32、最小，就是WE的长；ABC 中，ZBAC=90,AB=3,AC=6加，S/,A B C=AB-AC=BC-AF,2 2；.3X 6 7 2=9 AF,AF=2,f2,.AY=2AF=4&,V ZAFD=ZDEC=90 ,Z A DF=ZCDE,.,.N A=N C,；NAE4=NBAC=90,.AEAS/8AC,.AA ,二 BC,A E AC.研 _9.AE=33即A D+D E的最小值是生;3故答案为：318.如图所示，正方形ABCC的面积为12,AABE是等边三角形，点E在正方形ABC。内,在对角线AC上有一点P,使尸D+PE的和最小，则这个最小值为，解：连接B D,与AC交于点F.点8
33、与。关于AC对称，:.PD=PB,：.PD+PE=PB+PE=BE 最小.正方形ABC。的面积为12,；.4 8=2 .又 是 等 边 三 角 形,:.B E=AB=2g故所求最小值为2 M.故答案为：2 a.1 9.如图所示，己知点C(l,0),直线y=-x+7 与两坐标轴分别交于A,8 两点，D,E分别是AB,OA上的动点，则 周 长 的 最 小 值 是 10 解：如图，点 C 关于OA的对称点C(-1,0),点 C 关于直线A 8的对称点C”,.直线A 8的解析式为y=-x+7,直线C C 的解析式为y=x-1,由 产-x+7解 得 卜=4,y=x-l I y=3直线4 B 与直线CC”
34、的交点坐标为K(4,3),.K是 CC”中点，可得 C(7,6).连接C C”与 AO交于点E,与 AB交于点O,此时)(7周长最小,QEC 的周长=E+EC+CZ)=EC+ED+DC=C C=g2+62=10.故答案为10.2 0.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是1 6,腰A C的垂直平分线EF分别交AC,AB边 于E,尸点，若点。为BC边的中点，点M为线段E尸上一动点，则例周 长 的 最 小 值 为10.解：连接4),.ABC是等腰三角形，点。是BC边的中点,J.ADLBC,-5AABC=B C-A D=X 4XAD=16,解得 AO=8,2 2EF是线段AC的垂直平分线，二
35、点C关于直线E F的对称点为点A,：.A D的长为C M+M D的最小值，.,.COM 的周长最短=(CM+MD)+CD=AO+2BC=8+2X4=8+2=10.2 2故答案为：10.2 1.如图，菱形A8C。中，NA=60,AB=3,0 8的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、OA和0 8上的动点，则PE+PF的 最 小 值 是3.解：作A点关于直线OC的对称点A,连接A 4,延长CQ交A 4 于点N,连接BQ,D A,.四边形ABC。是菱形,：.AB=AD,；NBAD=60,.AQB是等边三角形，A ZADB=60,:NBDC=NADB=60,：.ZADN=60o,DN=60,：.Z
36、ADB+ZADA=180,D,8在一条直线上,由题意可得出：此时P 与。重合，E 点在A。上，尸在8。上，此时PE+PF最小,:菱形 A8CZ）中，NA=60,：.AB=AD,则AB。是等边三角形,：.BD=AB=AD=3,：OA、O B的半径分别为2 和 1,；.PE=1,PF=2,；.PE+P尸的最小值是3.22.如图，菱形A8CD的两条对角线分别长6 和 8,点 P 是对角线AC上的一个动点，点 M、N 分别是边AB、BC的中点，则 PM+PN的 最 小 值 是 5.解：如图：作 ME_LAC交 AO于 E,连接EM则EN就是PM+PN的最小值，N 分别是48、BC的中点,：.BN=BM
37、=AMf 加 瓦1_4。交4）于：.AE=AMf：AE=BN,AE/BN,，四边形ABNE是平行四边形，:.EN=AB,EN/AB.而由题意可知，可得A8=d（6+2）2+（842）2=59:EN=AB=5,PM+PN的最小值为5.2 3.在锐角三角形 A8C 中，BC=4A/2 ZABC=45,3。平分NA8C,M、N分别是 3。、5。上的动点，则CM+MN的最小值是4.解：过点C作CE_LAB于点E,交BD于 点、M,过点M 作 N 1 B C,则CE即为CM+N的最小值，9：BC=4/2 NA3C=45，5Q 平分NA3C,.8CE是等腰直角三角形，.CE=BUcos45=4我义 第=4
38、.故答案为：4.2 4.已知菱形A8C。的两条对角线分别为6 和 8,M、N 分别是边BC、C。的中点，P 是对角线B D上一点，则P M+P N的 最 小 值=5.作M关于B D的对称点Q,连接N Q,交 B D 于 P,连接M P,此时M P+N P的值最小,连接AC,:四边形A8C。是菱形，：.ACLBD,N Q B P=N M B P,即 Q 在 AB上，：M Q V B D,J.AC/MQ,为 BC中点,；.Q 为 AB中点，；N 为 CD 中点，四边形ABC。是菱形，J.BQ/CD,BQ=CN,四边形B Q N C是平行四边形，：.NQ=BC,:四边形A8CZ）是菱形，：.CP=A
39、C=3,B P=LD=4,2 2在 R tB PC 中，由勾股定理得：BC=5,即 NQ=5,：.M P+N P=Q P+N P=Q N=5,故答案为：5.2 5.如图，在矩形A8CQ中，AB=4,A=3,矩形内部有一动点P 满足SPABS ABCD3则点P 到 A、B两点的距离之和PA+PB的 最 小 值 为 4.解：设AABP中AB边上的高是正*S%8=S 矩 形 A6C。，2 3.-2 4。=2,3.动点尸在与A B平行且与A B的距离是2的直线/上，如图，作A关于直线/的对称点E,连接A E,连接8 E,则B E的长就是所求的最短距离.在 R t z MB E中，A B=4,4E=2+
40、2=4,B=v A B2+A E 2=V 42+42=42T即PA+PB的最小值为47 2.故答案为：4A/2-2 6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A (2,3),点B(-2,1),在x轴上存在点P到A,2两点的距离之和最小，则P点的坐标是(-1,0).解：作A关于x轴的对称点C,连接B C交x轴于P,贝I J此时4P+8 P最小,；A点的坐标为(2,3),B点的坐标为(-2,1),：.C(2,-3),设 直 线 的 解 析 式 是：ykx+b,把8、C的坐标代入得：J-2 k+b=1l2k+b=-3解得k=-lb=-l即 直 线 的 解 析 式 是 y=-x -1,当 y0 时，-x-1
41、=0,解得：x=-,点的坐标是(-1,0).故答案为：(-1,0).27.(1)如 图 1,在 4B 直线一侧C、。两点，在 AB上找一点尸，使 C、。、P 三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由.(2)如图2,在NAOB内部有一点P,是否在。4、O B上分别存在点E、F,使得E、F、P 三点组成的三角形的周长最短，找出E、F 两点，并说明理由.(3)如图3,在/A O B 内部有两点M、N,是否在。4、O B上分别存在点E、F,使得E、F、M、N,四点组成的四边形的周长最短，找出E、尸两点，并说明理由.DC./.p NN-B o L-B o L-B图1 图2 图3解：(1)如图1,作
42、C关于直线A B 的对称点C,连接C 。交A B 于点P.则点P就是所要求作的点.理由：在/上取不同于P的点P,连接CP、D P、C P.C 和 C 关于直线/对称,：.PC=PC ,P C=P C,而 C P+D P C P+D P ,：.PC+DPC P+DP：.C D+C P+DP,连接C,交 0 A 于E,O B 于尸，连接P C,P D,则点E,尸就是所要求作的点，理由：在。4,0 8 上取不同于E,尸的点E ,尸，连接C E 、E P、P F、D F ,EF,和P关于直线0 4 对称，力和P关于直线0 B 对称，：.PE=C E,C E=PE,PF=DF,PF =D F ,；.PE
43、+EF+PF=C E+EF+DF,PE+PF +E F =C E+E F +D F ,：CE+EF+DFVCE+E F+D F,：.PE+EF+PF,过点。作 EO_LB。，使 AB=2,ED=3,连接AE交 2。于点C,设B C x,则A E的长即为代数式才2+9的最小值。过点A 作AF/BD交E D的延长线于点F,得矩形ABDF,则 A8=/=2,AF=BD=12,E F=E D+D F=3+2=5,所以 A E=1A F2+E F2=13,即7 7 小(2_不 2的最小值为BA3 2.如图，/XABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)、B.(4,2)、C(3,4).(1)若 A i B i
44、 G与AABC关于y轴成轴对称，则 A i B C i 三个顶点坐标分别为:A i (-1,1),Bi(-4,2),C i (-3,4)；(2)若尸为x 轴上一点，则PA+PB的最小值为 如 _；(3)计算AABC的面积.解：(1)如图所示，A|8|C|即为所求,由图知，A i 的坐标为(-I,1)、B|的坐标为(-4,2)、C i 的坐标为(-3,4)；(2)如图所示:作出点A的对称点，连接A8,则A B 与 x轴的交点即是点尸的位置,则 依+P B 的最小值=4 B,A B=yj*+32=3A/,.附+P B 的最小值为3 我；(3)Z X A B C 的面积=3X3-工 X 3 X 1
45、-工 X1X2-工 X 2 X 3=1,2 2 2 2故答案为：(-1,1),(-4,2),(-3,4),3&.3 3.如图，已知 ABC为等腰直角三角形，4C=B C=4,Z B C D-15,P 为 C D 上的动点,则|附-P-的 最 大 值 为 4.解：作 A 关于8 的对称点A ,连接A B交C D于P,则点P 就是使IB4-P8I的值最大的点，I附-P 8|=4 B,连接A C,:A B C 为等腰直角三角形，A C=8C=4,：.Z C A B=Z A B C=4 5：.PA=PA=M，VA4Z/BD,=NB,V Z A PC=ZBPD,.A PC s丛BPD,.PB _PDPC
46、.PB _2172-T；.PB=2&,AP+PB=扬2亚=3点；故答案为3A/2；(2)作A/,交8力的延长线于E,如图3,则四边形A EDC是矩形，：.AE=DC=PC+PD3,DE=A C=AC,BD=4-AC,：.BD+AC=BD+DE=4,即 5E=4,在 R17XA BE 中，A，B=d32+42=5,：.AP+BP=5,故答案为5；(3)设 AC=1,C P=m-3,.NA _LL 于点 C,/,A P=V(m-3)2+r设 80=2,DP=9-m,:B DLL 于点 D,二 吁、(9-m)2+4,.W(n r3)2+lW(9-m)2+4的最小值即为A 8 的长.即：A，B=Y(m
47、-3)2+lT(9-m)2+4的最小值.如图，过 A 作 A EJ_BD的延长线于点E.；A E=C D=CP+P D=m-3+9-m=6,BE=BD+)E=2+1=3,B=d(m-3)2+l+V(9-rn)?+4的最小值=VBE2+A?E2=A/9+36=3 V 5 W(m-3)2+l W(9-m)2+4的最小值为3辰,当A C=L3,P C=1,同理可求(私_3)Z+iM l g-m)的最小值为2浮,V 2 1 3 7 5，W(m-3)2+l W(9-m)2+4的 最 小 值 为 辱-3 6.在a A B C中，A B=A C,点D是直线B C上 一 点(不 与B、C重合)，以AD为一边在
48、A。的右侧作 A C E,使 A Q=A E,Z D A E=A B A C,连接 C E.(1)如图，若/A)E=60 ,A B=A C=2,点。在线段B C上，N 8 C E和N 8 4 C之间是有怎样的数量关系？不必说明理由；当四边形A O C E的周长取最小值时，直 接 写 出 的 长;(2)若NB4C#60,当点力在射线8 c上移动，如图，则/B C E和NBAC之间有怎样的数量关系？并说明理由.图 图 解：(1)NBCE+NBAC=180；如 图1VA/IBDAACE,：.BD=EC,/四边形 ADCE WAD+DC+CE+AEAD+DC+BD+AEBC+2AD,二当 最 短 时，四边形ADCE的周长最小，即AOJ_BC时，周长最小;：AB=AC,：.BD=BC=；2(2)ZBCE+ZBAC=SO；理由如下：如图2,A。与CE交于F点，,：ZBAC=ZDAE,:.NBAD=NCAE,AB=AC,AD=AE,/XABg/XACE,：.ZADB=ZAEC,*.NAFE=NCFD,：.ZEAF=ZECD,：ZBAC=ZFAEf NBCE+NECD=180,.ZBCE+ZBAC=180；B D