《2022-2023学年九年级数学中考复习《轴对称最短路径问题》解答题专题提升训练(附答案).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年九年级数学中考复习《轴对称最短路径问题》解答题专题提升训练(附答案).pdf（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022-2023 学年九年级数学中考复习 轴对称最短路径问题 解答题专题提升训练（附答案）1如图，在ABC 中，已知 ABAC，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE（1）若ABC68，求AED 的度数；（2）若点 P 为直线 DE 上一点，AB8，BC6，求PBC 周长的最小值 2如图，在平面直角坐标系中，已知 A（4，3），B（1，2）（1）请在 x 轴上画出点 C，使|ACBC|的值最大（2）点 C 的坐标为 ，|ACBC|的最大值为 3探究：如图所示，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B，点 D 作 ABBD，EDBD，分别连接 AC，EC已知 AB
2、5，ED1，BD8设 CDx（1）AC+CE 的值为 （用含 x 的代数式表示）（2）请问：当点 A、C、E 时，AC+CE 的值最小，最小值为 （3）根据（2）中的规律和结论，请构图并求出代数式+的最小值 4在一平直河岸 l 同侧有 A、B 两个村庄，A、B 到 l 的距离分别是 3km 和 2km，ABakm（a1）现计划在河岸 l 上建一抽水站 P，用输水管向两个村庄供水 方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图 1 是方案一的示意图，设该方案中管道长度为 d1，且 d1PB+BA（km）（其中 BPl于点 P）；图 2 是方案二的示意图，设该方案中管道长度为 d2，且 d2
3、PA+PB（km）（其中点 A与点 A 关于 l 对称，AB 与 l 交于点 P）观察计算：（1）在方案一中，d1 km（用含 a 的式子表示）；（2）在方案二中，组长小强为了计算 d2的长，作了如图 3 所示的辅助线，请你按小强同学的思路计算，d2 km（用含 a 的式子表示）探索归纳：（3）当 a4 时，比较大小：d1 d2（填“”、“”或“”）；当 a6 时，比较大小：d1 d2（填“”、“”或“”）；（4）请你把 a（当 a1 时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，如何对这两个方案进行选择？5 如图，RtABC 中，C90，AB15，AC12，以 AB 为边在 AB 上方
4、作正方形 ABDE，过点 D 作 DFCB，交 CB 的延长线于点 F，连接 BE（1）求证：ABCBDF；（2）M，N 分别为 AC，BE 上的动点，连接 AN，MN，求 AN+MN 的最小值 6已知：M、N 分别是AOB 的边 OA、OB 上的定点，（1）如图 1，若OOMN，过 M 作射线 MDOB（如图），点 C 是射线 MD 上一动点，MNC 的平分线 NE 交射线 OA 于 E 点试探究MEN 与MCN 的数量关系；（2）如图 2，若 P 是线段 ON 上一动点，Q 是射线 MA 上一动点AOB20，当MP+PQ+QN 取得最小值时，求OPM+OQN 的值 7如图，等边ABC（三边
5、相等，三个内角都是 60的三角形）的边长为 10cm，动点 D和动点 E 同时出发，分别以每秒 1cm 的速度由 A 向 B 和由 C 向 A 运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为 ts，0t10，DC 和 BE 交于点 F （1）在运动过程中，CD 与 BE 始终相等吗？请说明理由：（2）连接 DE，求 t 为何值时，DEBC；（3）若 BMAC 于点 M，点 P 为 BM 上的点，且使 PD+PE 最短当 t7s 时，PD+PE的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由 8RtABC 中，B90，AB2，BC4，AC 的中垂线 DE 交 AC 于 D，交 BC
6、 于点 E（1）如图 1，连接 AE，则 AE ；（2）如图 2，延长 DE 交 AB 的延长线于点 F，连接 CF，请求出 CF 的长；（3）如图 3，点 P 为直线 DE 上一动点，点 Q 为直线 AB 上一动点，则 BP+PQ 的最小值为 9 如图，ABC 内接于半径为 2 的O，其中ABC45，ACB60，CD 平分ACB交O 于 D，点 M、N 分别是线段 CD、AC 上的动点，求 MA+MN 的最小值 10最值问题（1）如图 1，在ACB 中，有一点 P 在 AC 上移动，若 ABAC5，BC6，求 AP+BP+CP的最小值（2）如图 2，在 RtABC 中，ACB90，ACBC，
7、点 M 在 AC 边上，且 AM2，MC6，动点 P 在 AB 边上，连接 PC、PM，能使 PC+PM 的长度最短 请通过画图指出点 P 的位置 求出 PC+PM 的最短长度 11 如图，在ABC 中 ABAC，点 E 在线段 BC 上，连接 AE 并延长到 G，使得 EGAE，过点 G 作 GDBA 分别交 BC，AC 于点 F，D（1）求证：ABEGFE；（2）若 GD3，CD1，求 AB 的长度；（3）过点 D 作 DHBC 于 H，P 是直线 DH 上的一个动点，连接 AF，AP，FP，若C45，在（2）的条件下，求AFP 周长的最小值 12如图，直线 ab，点 A，点 D 在直线
8、b 上，射线 AB 交直线 a 于点 B，CDa 于点 C，交射线 AB 于点 E，AB12cm，AE：BE1：2，P 为射线 AB 上一动点，P 从 A 点开始沿射线 AB 方向运动，速度为 1cm/s，设点 P 运动时间为 t，M 为直线 a 上一定点，连接PC，PD（1）当 tm 为何值时，PC+PD 有最小值，求 m 的值；（2）当 tm（m 为（1）中的取值）时探究PCM、PDA 与CPD 的关系，并说明理由；（3）当 tm（m 为（1）中的取值）时，直接写出PCM、PDA 与CPD 的关系 13河的两岸成平行线，A，B 是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河
9、岸，并且使 A，B 间的路程最短确定桥的位置的方法是：作从 A 到河岸的垂线，分别交河岸 PQ，MN 于 F，G在 AG 上取 AEFG，连接 EB，EB 交 MN 于 D在 D 处作到对岸的垂线 DC，垂足为 C，那么 DC 就是造桥的位置请说出桥造在 CD 位置时路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由 14如图 1，点 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点（不与 B，D 重合），PEBC 于点 E，PFCD 于点 F，连接 PA、EF（1）请探究线段 AP 与线段 EF 的大小关系；（2）如图 2，若 AB4，点 H 是 AD 的中点，求 AP+HP 的最小值 15如
10、图 1，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC6cm，BD8cm，分别过点 B、C 作 AC 与 BD 的平行线相交于点 E（1）判断四边形 BOCE 的形状并证明；（2）点 G 从点 A 沿射线 AC 的方向以 2cm/s 的速度移动了 t 秒，连接 BG，当 SABG2SOBG时，求 t 的值（3）如图 2，长度为 3cm 的线段 GH 在射线 AC 上运动，求 BG+BH 的最小值 16问题提出：（1）如图，在ABC 中，AD 是 ABC 边 BC 的高，点 E 是 BC 上任意点，若 AD3，则 AE 的最小值为 ；（2）如图，在等腰ABC 中，ABAC，BAC1
11、20，DE 是 AC 的垂直平分线，分别交 BC、AC 于点 D、E，DE1cm，求ABD 的周长；问题解决：（3）如图，某公园管理员拟在园内规划一个ABC 区域种植花卉，且为方便游客游览，欲在各顶点之间规划道路 AB、BC 和 AC，满足BAC90，点 A 到 BC 的距离为 2km 为了节约成本，要使得 AB、BC、AC 之和最短，试求 AB+BC+AC 的最小值（路宽忽略不计）17如图 1，A 村和 B 村在一条大河 CD 的同侧，它们到河岸的距离 AC、BD 分别为 1 千米和 4 千米，又知道 CD 的长为 4 千米 （1）现要在河岸 CD 上建一水厂向两村输送自来水，有两种方案备选
12、择 方案 1：水厂建在 C 点，修自来水管道到 A 村，再到 B 村（即 AC+AB）（如图 2）；方案 2：作 A 点关于直线 CD 的对称点 A，连接 AB 交 CD 于 M 点，水厂建在 M 点处，分别向两村修管道 AM 和 BM（即 AM+BM）（如图 3）从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适（2）有一艘快艇 Q 从这条河中驶过，若快艇 Q 在 CD 之间（即点 Q 在线段 CD 上），当DQ 为多少时？ABQ 为等腰三角形，请直接写出结果 18如图，在三角形 ABC 中，ABAC，BAC120，ADBC，垂足为 D
13、，P 为 AD 上的动点，Q 在 BA 的延长线上，且CPQ60（1）如图，当 P 与 A、D 不重合时，PC 与 PQ 的数量关系是什么？说明理由；（2）M 为 BC 上的动点，N 为 AB 上的动点，BC5，直接写出 AM+MN 的最小值 19在ABC 中，ABAC，点 D 是直线 BC 上一点（不与 B、C 重合），以 AD 为一边在AD 的右侧作ADE，使 ADAE，DAEBAC，连接 CE（1）如图，若ADE60，ABAC2，点 D 在线段 BC 上，BCE 和BAC 之间是有怎样的数量关系？不必说明理由；当四边形 ADCE 的周长取最小值时，直接写出 BD 的长；（2）若BAC60
14、，当点 D 在射线 BC 上移动，如图，则BCE 和BAC 之间有怎样的数量关系？并说明理由 20【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者向常春在 1994 年构造发现了一个新的证法 【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图 1 放置，其三边长分别为 a、b、c显然，DABB90，ACDE请用 a、b、c 分别表示出梯形 ABCD、四边形 AECD、EBC 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：S梯形ABCD ，SEBC ，S四边形AECD ，则它们满足的关系式为 ，经化简，可得到勾股定理【知识运用
15、】（1）如图 2，铁路上 A、B 两点（看作直线上的两点）相距 40 千米，C、D为两个村庄（看作两个点），ADAB，BCAB，垂足分别为 A、B，AD25 千米，BC16 千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若 AB40 千米，AD24 千米，BC16 千米，要在 AB 上建造一个供应站 P，使得 PCPD，请用尺规作图在图 2 中作出 P 点的位置并求出 AP 的距离【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式+的最小值（0 x16）参考答案 1解：（1）ABAC，ABC68，CABC68，A180CABC180686844，DE 垂直平分 AB，AD
16、E90，AED90A904446；（2）当点 P 与点 E 重合时，PBC 的周长最小，理由：PB+PCPA+PCAC，当点 P 与点 E 重合时，PA+PCAC，此时 PB+PC 最小值等于 AC 的长，PBC 的周长最小值AC+BCAB+BC8+614 2解：（1）如图所示；（2）设直线 AB的解析式为 ykx+b，把 A（4，3），B（1，2）代入得，解得，直线 AB的解析式为 yx+，令 y0，则 0 x+，解得 x5，C（5，0），AB，|ACBC|的最大值为，故答案为：（5，0），3解：（1）AC+CE+，故答案为：+；（2）当 A、C、E 三点共线时，AC+CE 的值最小，过 A
17、 点作 AF 平行于 BD 交 ED 的延长线于点 F，得矩形 ABDF，连接 AE 则 DFAB5，AFBD8，EFED+DF5+16，所以 AE10，则 AC+CE 的最小值为 10 故答案为：三点共线，10；（3）如图 2 所示，作 BD12，过点 B 作 ABBD，过点 D 作 EDBD，使 AB2，ED3，连接 AE 交 BD 于点 C，设 BCx，则 AE 的长即为代数式+的最小值 过点 A 作 AFBD 交 ED 的延长线于点 F，得矩形 ABDF，则 ABDF2，AFBD12，EFED+DF3+25，所以 AE13 即代数式+的最小值为 13 4解：（1）如图 1，作 A 关于
18、执行 l 的对称点 A，连接 PA，A 和 A关于直线 l 对称，PAPA，d1PB+BAPB+PAa+2；故答案为：a+2；（2）因为 BK2a21，AB2BK2+AK2a21+52a2+24，所以 d2；故答案为：；（3）当 a4 时，d16，d2，d1d2；当 a6 时，d18，d2，d1d2；故答案为：，；（4）d12d22（a+2）2（）24a20 当 4a200，即 a5 时，d12d220，d1d20，d1d2；当 4a200，即 a5 时，d12d220，d1d20，d1d2；当 4a200，即 a5 时，d12d220，d1d20，d1d2；综上可知：当 a5 时，选方案二；
19、当 a5 时，选方案一或方案二；当 1a5 时，选方案一 5（1）证明：在 RtABC 中，C90，DFCB，CDFB90 四边形 ABDE 是正方形，BDAB，DBA90，DBF+ABC90，CAB+ABC90，DBFCAB，在BDF 与ABC 中，BDFABC（AAS）；（2）解：AB15，AC12，BC9，ABCBDF，DFBC9，BFAC12，FCBF+BC9+1221 如图，连接 DN，顶点 A 与顶点 D 关于 BE 对称，ANDN 如使得 AN+MN 最小，只需 D、N、M 在一条直线上，由于点 M、N 分别是 AC 和 BE 上的动点，作 DM1AC，交 BE 于点 N1，垂足
20、为 M1，DFAC，AN+MN 的最小值等于 DM1FC21 6解：（1）设OOMN，MNB2，MDOB，AMD，NE 平分MNC，MNEENC，设MNE，CNB22，MDOB，MCN22，EMC+MENENC+MCN，+22+MEN，MEN，2MENMCN；（2）作 M 点关于 OB 的对称点 M，N 点关于 OA 的对称点 N，连接 MN与 OB、OA 分别交于点 P、点 Q，连接 ON、OM，MP+PQ+QNMN，此时 MP+PQ+QN 的值最小，由对称性可知，OQNOQN，OPMOPM，OPMAOB+OQPAOB+（180OQN），AOB20，OMP200OQN，OPM+OQN200
21、7解：（1）由已知可得 ADt，ECt，ADCE，ABC 是等边三角形 AACB60，BCAC，ADCCEB（SAS），BECD，CD 与 BE 始终相等；（2）DEBC，ABAC10，ADAE，t10t，t5；（3）BMAC，BM 平分ABC，作 D 点关于 BM 的对称点 D交 BC 于点 D，连接 DE，交 BM 于点 P，DPDP，DP+PEDP+PEDE，t7，AEBD3，ADCE7，DDBM，BMAC，DDAC，BDBD，ABC60，DD3，四边形 ADDE 是平行四边形，ADDE7，PD+PE 的最小值为 7 8解：（1）DE 是 AC 的中垂线，AECE，设 AECEx，则 B
22、EBCCE4x，在 RtABE 中，由勾股定理得：22+（4x）2x2，解得：x，即 AE，故答案为：；（2）DE 是 AC 的中垂线，AFCF，设 AFCFy，则 BFy2，在 RtBCF 中，由勾股定理得：（y2）2+42y2，解得：y5，即 CF 的长为 5；（3）方法一：连接 CF，过 B 作 BMCF 于 M，交直线 DE 于 P，过 P作 PQBF 于Q，如图 3 所示：DE 是 AC 的中垂线，AFCF，AFDCFD，PMCF，PQBF，PMPQ，则点 M 与 Q关于 DE 对称，此时 BMBP+PMBP+PQ，即 BP+PQ 的值最小BM，由（2）得：AFCF5，AB2，BFA
23、FAB3，CBF180ABC90，BCF 的面积CFBMBFBC BM，即 BP+PQ 的最小值为，故答案为：方法二：作点 B 关于 DE 的对称点 H，交 DF 于 G，过点 H 作 HQAB 于 Q，交 DE 于点 P，如图 4 所示：则点 P、Q 就是使 BP+PQ 最小的点，由对称得：AFDCFD，AFDHFD，BPHP，FBFH，CFDHFD，点 C、H、F 三点共线BP+PQHP+PQHQ，由“垂线段最短”得：BP+PQ 的最小值为 HQ 在等腰BFH 中，FBFH，HQBF 过 B 作 BMCF 于 M，HQBM（等腰三角形两腰上的高相等）由方法一得：BM BP+PQ 的最小值为
24、 故答案为：9解：连接 OA，OC，ABC45，OAOC2，AOC90，AC2 过点 A 作 AEAC，交 CD 于点 E，过点 E 作 EABC 于点 A过点 A作 ANAC 于点 N，CD 平分ACB 交O 于 D，点 A 与点 A关于直线 CD 对称，AN的长即为 MA+MN 的最小值，ACAC2，ACB60，ANACsin602，即 MA+MN 的最小值是 10解：（1）从 B 向 AC 作垂线段 BP，交 AC 于 P，设 APx，则 CP5x，在 RtABP 中，BP2AB2AP2，在 RtBCP 中，BP2BC2CP2，AB2AP2BC2CP2，52x262（5x）2，解得 x1
25、.4，在 RtABP 中，AP+BP+CPAC+BP5+4.89.8 故答案为：9.8（2）如图，过点 C 作 COAB 于 O，延长 BO 到 C，使 OCOC，连接 MC，交 AB 于P，则点 P 为所求；此时 MCPM+PCPM+PC 的值最小，连接 AC，COAB，ACBC，ACB90，COOC，COAB，ACCAAM+MC8，OCAOCA45，CAC90，CAAC，PC+PM 的最小值为，故答案为：11（1）证明：如图 1 中，GDAB，BEFG，在ABE 和GFE 中，ABEGFE（AAS）（2）解：如图 1 中，ABAC，BACB，DFAB，DFCB，DFCDCF，DCDF1，D
26、G3，FGDGDF2，ABEGFE，ABGF2（3）解：如图 2 中，ABAC2，BC45，BAC90，ABFD，FDCBAC90，即 FDAC ACAB2，CD1，DADC，FAFC，CFAC45，AFC90，DFDADC1，AF，DHCF，FHCH，点 F 与点 C 关于直线 PD 对称，当点 P 与 D 重合时，PAF 的周长最小，最小值ADF 的周长2+12解：（1）在PCD 中，PC+PDCD，当取等号时，P，C，D 在同一条直线上，即点 P 与点 E 重合，此时 PC+PD 最小，APAE，AE：BE1：2，AB12cm，AEAB4cm，t4s，故 m4 时，PC+PD 有最小值；
27、（2）当 tm 即 t4 时，点 P 在 AE 上，过点 P 作 PHa，如图：又ab，PHab，PCMCPH，PDADPH，PCM+PDACPH+DPH，CPDCPH+DPH，PCM+PDACPD，当 t4 时，PCM+PDACPD；（3）当 tm 即 t4 时，点 P 在 BE 上，过点 P 作 PHa，如图：又ab，PHab，PCM+CPH180，PDA+DPH180，PCM+CPH+PDA+DPH360，又CPDCPH+DPH，PCM+CPD+PDA360，即当 12t4 时，PCM+CPD+PDA360 当 t12 时，同法可得PCMCPD+PDA 综上所述，t4 时，PCM+CPD
28、+PDA360或PCMCPD+PDA 13解：利用图形平移的性质及连接两点的线中，线段最短，可知：AC+CD+DB（ED+DB）+CDEB+CD 而 CD 的长度又是平行线 PQ 与 MN 之间的距离，所以 AC+CD+DB 最短 14解：（1）过点 P 作 PGAB 于点 G，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点（点 P 不与点 B、D 重合），GBGP，同理：PEBE，ABBCGF，AGABGB，FPGFGPABGB，AGPF，在AGP 和FPE 中，AGPFPE（SAS），APEF；（2）取 CD 的中点 G，连接 AG，交 BD 于 P，四边形 ABCD 是正方形，H 是
29、 AD 的中点，G 是 CD 的中点，H、G 关于 BD 对称，由轴对称确定最短路线问题，点 P 即为所求作的使 AP+HP 最小的点，AP+HP 的最小值为 AG 的长度，AB4，AD4，DG2，AG2，AP+HP 的最小值为 2 15解：（1）结论：四边形 BOCE 是矩形 理由：BEOC，ECOB，四边形 OBEC 是平行四边形，四边形 ABCD 是菱形，ACBD，BOC90，四边形 BOCE 是矩形（2）如图 2 中，四边形 ABCD 是菱形，OAOC3cm，OBOD4cm，SABG2SOBG，AG2OG，2t2（32t）或 2t2（2t3），解得 t1 或 t3，满足条件的 t 的值
30、为 1 或 3（3）如图 2 中，设 OGx，则 BG+BH+，欲求 BG+BH 的最小值，相当于在 x 轴上找一点 P（x，0），使得点 P（x，0）到 A（0，4）和 B（3，4）的距离最小，如图 3 中，作点 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 AB交 x 轴于 P，连接 BP，此时 PA+PB 的值最小，A（0，4），B（3，4），AP+PBAP+PBAB，BG+BH 的最小值为 16解：（1）AD 是 ABC 边 BC 的高，点 E 是 BC 上任意点，AD3，则 AE 的最小值为 3，故答案为：3；（2）ABAC，BAC120，BC（180120）30，DE 是 AC 的垂直平分线
31、，ADCD，DACC30，BADBACDAC1203090，在 RtCDE 中，DE1cm，ADCD2DE2cm，在 RtABD 中，BD2AD2CD4（cm），ABADtan602（cm），ABD 的周长为：AD+BD+AB2+4+26+2（cm）（3）延长 CB 到点 D，使得 ABDB，延长 BC 到点 E，使得 CEAC，连接 AD、AE，ADBDABABC，AECCAEACB，AB+BC+ACDB+BC+CEDE，DE 的最小值即为 AB+BC+AC 的最小值 DAB+CAE（ABC+ACB）（180BAC）45，DAEDAB+CAE+BAC135，以 DE 为斜边向下作等腰直角三角
32、形 ODE，以点 O 为圆心，OD 为半径作圆 O，EAD180DOE135，点 A 在弦 DE 所对的劣弧，过点 A 作 APDE 于 P，过点 O 作 OHDE 于 H，连接 OA，则 AP2，设 DHx，则 DE2x，OHx，OAODx，则 AP+OHAO，可得 2+xx，x DE 的最小值为 2x4+4 AB+BC+AC 的最小值为（4+4）km 17解：（1）方案 1：AC+AB1+56，方案 2：，方案 1 更合适；（2）（方法不唯一）如图，若 AQ1AB5 或 AQ4AB5 时，（或）4（不合题意，舍去）若 ABBQ25 或 ABBQ55 时，当 AQ3BQ3时，设 DQ3x，则
33、有 x2+42（4x）2+12 8x1，即：；故当 DQ3 或时，ABQ 为等腰三角形 18解：（1）PQPC，理由：如图 1，连接 BP，ABAC，ADBC，AD 是 BC 的垂直平分线，BPPC，BPDCPD，ABAC，ADBC，DACBAC60，APQ180DAQBQP180120BQP60BQP，APQ+CPQ+DPC180，DPC180APQCPQ180（60BQP）6060+BQP，DBP90BPD90DPC90（60+BQP）30BQP，DBP+PBQ30，PBQ30DBP30（30BQP）BQP，BPPQ，BPPC，PQPC；（2）如图 2，作 A 关于 BC 的对称点 A，作
34、 ANAB 于点 N，交 BC 于点 M，则此时 AM+MN的值最小，且 AM+MNAN，ABAC，BAC120，BAD60 连接 AB，ABA 是等边三角形，ANBD，即：AM+MN 的最小值是 19解：（1）BCE+BAC180；如图 1 ABDACE，BDEC，四边形 ADCE 的周长AD+DC+CE+AEAD+DC+BD+AEBC+2AD，当 AD 最短时，四边形 ADCE 的周长最小，即 ADBC 时，周长最小；ABAC，BDBC1；（2）BCE+BAC180；理由如下：如图 2，AD 与 CE 交于 F 点，BACDAE，BADCAE，ABAC，ADAE，ABDACE，ADBAEC
35、，AFECFD，EAFECD，BACFAE，BCE+ECD180，BCE+BAC180；20解：【小试牛刀】答案为：a（a+b），b（ab），c2，a（a+b）b（ab）+c2【知识运用】（1）如图 2，连接 CD，作 CEAD 于点 E，ADAB，BCAB，BCAE，CEAB，DEADAE25169 千米，CD41 千米，两个村庄相距 41 千米 故答案为 41（2）如图 2所示：设 APx 千米，则 BP（40 x）千米，在 RtADP 中，DP2AP2+AD2x2+242，在 RtBPC 中，CP2BP2+BC2（40 x）2+162，PCPD，x2+242（40 x）2+162，解得 x16，即 AP16 千米【知识迁移】：如图 3，代数式+的最小值为：20