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1、中央电大经济数学基础形成性考核册答案全解新rL rt版1最新经济数学基本形成性考核册答案全解作 业（一）（一）填空题 x-sin xi.l im-=_.答案：o1。Xr2+1 X W 02.设/*)=,在X=。处持续，则&=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.答案：1、k,x=03.曲线y =正 在(1,1)切线方程是.答案：y =；无+；4.设函数 f(x+1)=*2+2x+5,则 f x)=.答案：2x5.设 f(x)=xsin x,则=.答案：-6.若 j f(x)dx=2X+2 x +c,则 f(x)=_.答案：2v I n 2+27.J(sin x)cU=.答案：sin x
2、+c8.若J/(x)d r=F(x)+c,则 (1-尤2)&=.答案：一g/7(i-%2)+c9.设函数 W-+.答案：0d rio.函数/(x)=x+1在区间 内是单调减少.答案：(一1,0)u(0,1)X11.函数y =3 0 1）2驻点是,极值点是,它是极值点.答案：x=l,x=l,小P12设某商品需求函数为4（p）=10e 5,则需求弹性与，=.答案：2 p_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.答案：411 113.行列式D =-11 1-1-1 1时，方程组有唯一解.答案：11 0 4-515.设矩阵A=3-2 3 2，则A元素=_ _ _ _ _ _
3、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _浴案：32 16-116.设A,8均为3阶矩阵，且 网=忸=一3,则卜2 4 5 1 =.答案：-7 217.设A,8均为阶矩阵，则等式（A 8）2=4 2 2 4 3+3?成 立 充 分 必 要 条 件 是.答 案：A B =B A18.设A,5均为阶矩阵，（/一8）可逆，则矩阵4 +歆=乂解乂=.答案：0201oO-19.设矩阵A=则11-oO一01-201oO-A(二)单项选取题x 11.函数 y=-持续区间是(-8,2)kJ(2,+oo)或(oo,l)D (1,+8)x+x-2x2.下列极限计算对的是（,lim=1
4、）10+x3.设y=l g 2 x,则d y=(B.-dx).xlnlO4.若函数/在点x。处可导，贝ij(B.lim/(%)=A，但A w/O o)是错误.X 05.当x-0时，下列变量是无穷小量是（c.ln（l+x）6.下列函数中，（D一-cosx2）是xsiiix?原函数.7.下列等式成立是(c.2 d x =-d(2A).In 28.下列不定积分中，惯用分部积分法计算是（C.Jxsin2xdx）.2r九9.下列定积分计算对的是（D.sin Ad x=O）.J-Jtf+0 0 J下列无穷积分中收敛是（B.1 dA-）.11.如下结论或等式对的是（C.对角矩阵是对称矩阵）.12.设A为3
5、x 4矩阵，B为5 x 2矩阵，且乘积矩阵A C 8,故意义，则。丁为（A.2 x 4 ）矩阵.13.设 均 为 阶 可 逆 矩 阵，则下列等式成立是（C.|A=|氏4|）.1 2 30 2 30 0 314.下列矩阵可逆是（A.).2 215.矩阵 A =3 34 423秩 是(B.14).16.下列函数在指定区间（-00,+00）上单调增长是（B.e*）.17.已知需求函数q（p）=1 0 0 x 2 s。，当p =10时，需求弹性为（C.-41n 2）.18.下列积分计算对的是（A.f 一二d x=0）.J-1 219.设线性方程组A,“x,X=。有无穷多解充分必要条件是（D.r（A）=
6、r（A）n）.+X2=%20.设线性方程组 x2+x3=a2,则方程组有解充分必要条件是（c./+。2=。）尤1 +2X2+x3=%.（三）解答题1.计算极限.3x+2.(x 2)(%1)(i)hm-=hm-3 x-1 3 (x _)(1+1)=I l (X+l)23.x 5x+6.(x2)(x 3).x-3 1(2)h m-.=l im-=l im-=-12r-6%+8 x2(x-2)(x-4)z 2(%一4)2.y/l x 1 .(V1 x 1)(Jl -X+1)(3)l im-=l im-7=-。x-。元(Jl-x+l).-x.1 1=h m-.-=hm-.-=2。x(小二x+1)3。(
7、J P x +1)2(4)。1,-3-1-5x 3x+5.x x2h m ；-=h m xt8 3x+2x+4 18 3+2+土x x213sin 3x 5xsin 3x 3 3(5)h m-=h m-=-sin 5x I。3xsin 5x 5 5rx2-4 r(x-2)(x+2)/(6)h m-=hm-=4i s i n(无 一2)z 2 sin(x-2)xsm +b,x 0 x问：(1)当。力为什么值时，/(x)在x=0处有极限存在？(2)当凡方为什么值时，/0)在x=0处持续.答案：(D当。=1,a任意时，/(x)在x=0处有极限存在;(2)当a =b =1时，/0)在x=0处持续。3.
8、计算下列函数导数或微分：(1)y=x2+2x+l og2 x-22,求 y 答案：y*=2x+2 I n 2+!xl n 2ax+b.求y ex+a4,a(cx+d)c(ax+b)_ ad-cb(cx+d)2(cx+d)2(3)y=/1,求 yJ3x 5 1 -3答心-而方(4)y=yx-xeA,求 y 答案：y=一（%+l）e*2v x(5)y=ea v sinbx,求d y答案：yf=(et a Y sin bx4-ea v(sinbx)f=aelx sin x+ea cosbxb=e%。sinbx+bcosbx)dy=e(a sin bx+bcosbx)dx(6)y=ex 求d y答案：
9、d y =2e)dx(7)y =cosVx-e-A,求d y_ _ ,八 _?sin Vx.,答案：d y =(2 x e-尸-)d r2Vx(8)y =sin x+sin x,求 y 答案：yr=nsin,J xcosx+cosnm=H(Sinw-1 xcosx+cosn x)(9)y =l n(x+Jl +/2),求 V案答5V =u+V i 7 7 y=-1=(i+l(i+x2p 2 x)=3-答案：y”=x 24x+W +x x+41+厂 2 X+Vl +Xr X、J l+尤-cot(10)y=2 x+Vx,求y 答案：v =cot 2 xl n 2 1-：-x2.1 2x sin x
10、3 i 5-1 72+-X 664.下列各方程中，是x隐函数，试求)，或dy(1)x2+y2-xy+3x=l,求 d y答案：解：方程两边关于x求导：2x+2yy-y兀y +3=0(2y-x)y=y-2 x-3 ,d y=y3 4 2 xdx2y-x(2)sin(x+y)+exy=4%，求 y答案：解：方程两边关于x求导以方。+)(1+;/)+6孙0 +犯 )=4(cos(x+y)+eQ%)y =4-y e-cos(x+j),4-yexy-co s(x+y)y xe+cos(x+y)5.求下列函数二阶导数:(1)y=l n(l +x2),求 y z 2 2/u 案：y-z-T(1+x2)21
11、X(2)丁=/，求y及y(D1 _1+片2,y =1i.计算下列不定积分6(i)答案:3,J*件3嗔+，er(i+x)L(2)-一-d rJ J X答案:(l+2x+x2)1 1dx=J(x*+2x，+x)dx=2五 +(3 2x2+xz+c552(f-X 4答案:J x+2-dx=f(x-2)dxx+2 2x+c2(4)f一dx答案:J l-2xJ占小一112J l-2 xd(l-2x)=-ln|l-2x|+c答案：J xd2+djr=J V2-7 2 1 2+%d(2+x)=-(2+x2)2+c(6)rsinVx I-y=dX 答案:dr=2j si nVxdTx=-2 cos Vx+c(
12、7)Jxsindx 答案：j xsin-|dx=-2jxJc6dx=-2Cx cosXX+2 cosXd x=-2C xcos X+A4 s-inX+c2J 2 2 2(8)jln(x+l)dx 答案：j ln(x+l)dx=jln(x+l)d(x+l)=(x+l)ln(x+l)-f(x+l)dln(x+l)=(x+l)ln(x+l)-x+c2.计算下列定积分7(1)j答案：J|1 -J(1 x)A x+J；(xl)d x=(x -x2+(x2 x)|=re3 1 J(3),dxj x V l+ln x答案：*f 1 ck=re 3.1 d(l +l n v)=2(1+I n x)12 f3=
13、2J 1 XA/1+lnX J 1-%-Lin vn(4)2 XCOs2AdYJo4 1 4 1答案：2XCOS2M=2xJsin 2x=Jo2。2(5)，xinxdx答案：xl n Ad x=，InM r J x 2 1nJ1 2J,2r 4r 4(6)(l +xe-)d x 答案：1 (1+xeJo Jo1.计算-2 1T0 1 1(i)=_ 5 3j|_l 013 5 _-0 2 T1 l l 0 o-(2)=0-3j|_0 oj|_0 0-3 1 2 5 4=0一12工1-1xsin 2 x(?2 sin 2xdx=o 2Jo 2x k J：d l n x =；(e2+1)-)d x=
14、x|：-=3-泥-：+j e-d x=5+5812.计 算 一1123-12 2 1-3 2422 44 33-124 56 1 03-2 7解1 2 3 T-1-1 2 2 11 -3 2_|2244 33-12 4 56 1 03-2 75 15 21 11 0-3-2 -147 120-47 192 33.设矩阵A=1 10-1-1 1 2 31 ,B=1 1 2,求四。1 J o 1 1解 由 于4=隔 忸2 31 10-1-1 2 31 =1 11 0-1220(-1)2+3(-1)2I2221|B|=102 3 1 2 31 2=0-1-1=01 1 0 1 1因 此 目=网 同=
15、2x0=04.设矩阵A1212A1410,拟定4值，使r(A)最小。(2)+(l)x(-2)(3)+(l)x(-l)案1 2 41 2 40 A-4 -7(2)(3)0 1 40 1 40/1-4-77+10021一44409-4NA)=2达到最小值。92-5 3 2 15-8 5 4 35.求矩阵A=秩。1-7 4 2 04-1 1 2 3答案-2-5 3 2-1-7 4 2()1ri-7 4 2()1(2)+(l)x(-5)5-8 5 4 35-85430 27-15-6 3A=(1)(3)(3)+(l)x(-2)1-7 4 2 02-53210 9-5-2 1(4)+(l)x(-4)_4
16、-1 1 2 3_4-112 3,()27-15-6 31 -7 4 2 010 27-15-6 3+(2)x(一 早r(A)=2。30 0 0 0 0(4)+(2)x(-l)0 0 0 0 06.求下列矩阵逆矩阵：-1 -3 2(1)A=-3 0 11 1 -1答案1-3 2100(A/)=-3 0 1 0 1 01 1-1 0 0 1(2)+(1)x3(3)+(l)x(-l)1-3 21000-9 73100 4-3-1 0 11(2)+(3)X2 0 _-0 42 1 0 01 1 1 2-3-1 0 11 -3+x 4 0 _-0 02 11 11 30 0一1 24 9101 -3(
17、2)+(3)x(-l)0 _i+(3)x(2):-0-5-8-180-2-3-713 4 9(2)x(-l)+x 1-3 0 1 1 30 1 00 0 12 3 73 4 91 1 3A-1=2 3 73 4 9-13-6 -3(2)A=-4 2 12 1 1答案-13-6-3 1 0 0(A I)=-4-2-1 0 1 02 1 1 0 0 1-1 0 0 1-3 08+0区-3)._4 _2-1 0 1 02 1 1 0 0 1-1 0 0 1-3 0(2)+(3)X2N2-0 0 1 0 1 20 1 1 2-6 1-1 0 0 1-3 00 1 1 2-6 10 0 1 0 1 21
18、 0 0-1 3 0(2)+(3)(-1)0 1 0 2-7-10 0 0 0 1 2-1 3 0川=2-7 -10 1 27.设矩阵A1 23 5,81 22 3，求解矩阵方程X A =B .案21 050 1+x(3)1 2 1 00-1-3 1+x21 0-5 20-1-3 1(2)x(-l)1 0-5 20 1 3-12X=1 0四、证明题1.试证；若 用，刍 都 与 A 可互换，则 与+恳，鸟 岛 也 与 A 可互换。11证明：(B+B2)A=g A +8 A =A B、+AB=A(B1+B2),7 A =B A B)=A BB22.试证：对于任意方阵A,A+A l A A AT/I
19、是对称矩阵。提 示：证 明 (A+A DT=A，+(A T)T=A，+A =A+A，(A 4T)T=(AT)rAT=A 4T,(ATA)T=AT(Ar)r=ATA3.设A,B均为阶对称矩阵，则A B对称充分必要条件是：A B =B A.提示：充分性：证明：由于A B =8 A.(A B)=3,A=B A =A B必要性：证明：由于A 8对称，A B =(AB)T=班，因此=4.设A为阶对称矩阵，B为阶可逆矩阵，且8 T=B ，证明B-I A B是对称矩阵。证明：(B AB)T=BTAr(B )T=BAA(BT)T=B AB三、解答题1.求解下列可分离变量微分方程：(1)答案：=exey|eyd
20、y=j edx-ey=ex+c(2)也答案：f 3y2 d y=f xedx=AeJ-eA+cdr 3y J J2.求解下列一阶线性微分方程：ci)yJ y=(九+ax+12,答 案：p(x)=-,q(x)=(x+l).，代 入 公 式 锦x +1y =J 篇J(x+i)3e Lxd x+c=e2l n(A+l)|j (x+l)3e-2l n(x+,)x+c=e2E+i)J(*+1)3(%+)-2公+3 y =(x+l)2(lx2+x +c)12(2)yr=2xsin 2xxj 2xsin 2xe dx+c答案：p(x)=,(7(x)=2xsin 2x,代入公式铝y =ex=el n j 2x
21、sin 2xeJ dx-c2%s i n 2 J +c%，sin 2xd2x+cy =x(-cos2%+c)3.求解下列微分方程初值问题:(1)y=e 2 f,y(0)=0答案：-=e2xey f eydy=f e2xd x,ey=-e2 +c,把 y(0)=0代入e。=j e。+c,c=,dx 1-J 2 2 2(2)xy+y-ex=0,y =01 ex 1 ex答 案：yr Hy=,P(X)=,Q(X)=,代 入 公 式 得X x X xy =e ddx+c=enx enxdx+c=xdx+c,把 y(l)=0 代 入J Y J Y Y J Yy=(e +c)t c=-e y=_ (eA
22、e)X X4 求解下列线性方程组普通解:(1)xx+2犬3 一 工4=0-Xj +x2-3X3+214=02%)-x2+5X3-3X4=0答案：x,=-2x,+xd（其中为，是自由未知量）I 9二七一匕131A=-1202-1 1 02-1 1 0 21 -3 2f o 1-1 5-3 j 0-1-1 1 f 0 1 11 -1J O O O10因此，方程普通解为=-2X3+x4.X2 =X3 X4（其中X1,%是自由未知量）2玉一+X3+X4=1xx+2X2 一 无3+=2%,+1 x2-4X3+1 lx4=5答案(Ab)=-2-1 1 1 1 -,212-142(1),(2)2-11 7-
23、4 11 5J 7-1 2-10-5 3(3)+(2)OOO4 2P-7 -310(2)x(-)0 0_ 5_L6-57-501-5350-1 4 2ri2+x(2)1 1 10-5+6 x(1)-4 1 1 5_()51 02-1423 731 0 15 55(l)+(2)x(-2)0 0 000 04772-334-53-501X=-X3364T47（其中再，声是自由未知量）%2=-%3-弓%4+-5.当X 为什么值时，线性方程组为一元2-5工3+4%=22为 一 /+3X3-x4=13当-2X2-2X3+3X4=37%1-5X2-9X3+1 0 x4=A14答案:有解，并求普通解。1-1
24、-5422-1 3-1 1(A。)=3-2 -2 3 3r c n 1 n 1(2)+(l)x(-2)+x(-3)(4)+(l)x(-7)1-1-5 4 20 1 13-9 -30 1 13-9 -3/-C C N 1 O 1 1 A(3)+(2)x(-l)(4)+(2)x(-2)-J V I V/L-I -1-5 /0 1 13-0 0 0I 2-J-3)0(D+GI)J 4/U-I O/L，f 1 0 8-5 -10 1 13-9 -30 0 0 0 00 0 0 0 4 80 0 0 0 2-8_.当 =8有解,X=-8七+514 1X-,=-13当+9*4 3(其中匹，当是自由未知量)
25、5.。力为什么值时，方程组%,-x2-x3=1 X+彳2-2%3=2xx+3 无2+a xy=b1A=11答 案-1-1 11 1 1(2)+(l)x(-l)1 -2 20 2-1(3)+(l)x(-l)3 a b0 4 a+1当。=一3且匕。3时，方程组无解;11 1 1 110 2-1 1(3)+(2)x(-2)b 0 0 a+3 b 3当a H 3时，方程组有唯一解;当。=-3且=3时，方程组无穷多解。(1)设生产某种产品4个单位时成本函数为：C(q)=1 00+0.2/2+6 q (万元)，15求：当q=10时总成本、平均成本和边际成本;当产量q为多少时，平均成本最小？答案：0(10)
26、=185(万元)/、c(q)100,C(q)=-=-H 0.25g+6 7，q qc(q)=0.5q+6,C(10)=l lC(10)=18.5(万元/单位)(万元/单位)/、c(q)100 _ _ _/、10()八,右 八c(q)=+0.25 +6,c(q)=-彳 +0.25=0,当产量为20个单位时可使平均成本达到最低。(2).某厂生产某种产品q件时总成本函数为C(4)=2 0+44+0.0 02(元)，单位销售价格为 =14-0.00(元/件)，问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少.答案：R(q)=14q-0.01q2,L(q)=R(q)-c(q)=10-0.022-20,(“
27、)=100.0钠=0当产量为250个单位时可使利润达到最大，且最大利润为L(25Q)=1230(元).(3)投产某产品固定成本为36(万元)，且边际成本为C(q)=2q+40(万元/百台).试求产量由4百台增至6百台时成本增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.解：当产量由4百台增至6百台时，总成本增量为答案：A C =C(6)-C(4)=,(2/40)d q=(炉+40到：=ioo(万元)c =Q q +40)dq+36=+40 +36,c(q)=+40+,36。(9)=七=0,当x=6(百台)时可使平均成本达到最低.q(4)己知某产品边际成本C(q)=2(元/件)，固定成本为()，边际收益R(q)=12-0.02,求：产量为多少时利润最大？在最大利润产量基本上再生产50件，利润将会发生什么变化?16答案：Z/(q)=R(q)c(q)=10-0.()2夕=0,当产量为5oo件时，利润最大./=)(10 0.02q)d q=(l Oq O.Ol q?)年;=25(元)即利润将减少25元.17