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1、精品资料 欢迎下载 代数综合题之二次函数与几何 与几何相结合，往往给出的几何特征非常明确，如最小(大)距离，垂直及特殊角度，等腰，相似，平行及平行四边形，与圆相切，面积关系等等，亦偏向于计算、数形结合，讨论点、图形位置；二次函数与坐标轴交点往往是着手的关键。1.已知二次函数 y=(a+c)x2+2bx(c a)，其中 a、b、c 是ABC 的三边，且 a b，a c，a+c=2b。(1)若这个二次函数的图像经过原点，试证：ABC 是等边三角形；(2)若ABC 是直角三角形，试证：这个二次函数的图像除顶点以外都在 x 轴上方。2.已知二次函数12cbxxy的图象过点P（2，1）（1）求证：42
2、bc（2）求bc的最大值（3）若二次函数的图象与x轴交于点1(xA，)0，2(xB，)0，ABP的面积是43，求b 精品资料 欢迎下载 3.如图，抛物线 y 1 2x2bx2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A(1，0)（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；）（2）判断ABC的形状，证明你的结论；（3）点(0)M m，是 x 轴上的一个动点，当 MCMD 的值最小时，求 m 的值 4已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线2(12 3)yaxxc 经过 A(2，0)，B(1，n)，C（0，2）三点（1）求抛物线的解析式；（2）求线段 BC 的长；（3）求O
3、AB的度数 A B C D x y O 1 1 1 特殊角度等腰相似平行及平行四边形与圆相切面积关系等等亦偏向于计算数形结合讨论点图形位置二次函数与坐标轴交点往往是着手的关键已知二次函数其中是的三边且若这个二次函数的图像经过原点试证是等边三角形若是直角三与轴交于点的面积是求精品资料欢迎下载如图抛物线与轴交于两点与轴交于点且求抛物线的解析式及顶点的坐标判断的形状证明你的结论点是轴上的一个动点当的值最小时求的值已知如图在平面直角坐标系中抛物线经过三点求抛物的解析式点是线段上的动点过点作交于点连接当的面积最大时求点的坐标若平行于轴的动直线与该抛物线交于点与直线交于点点的坐标为问是否存在这样的直线使得
4、是等腰三角形若存在请求出点的坐标若不存在请说明理由已知如图精品资料 欢迎下载 5.已知：如图，抛物线)0(22acaxaxy与 y 轴交于点 C（0，4），与 x 轴交于点 A、B，点 A 的坐标为（4，0）。（1）求该抛物线的解析式；（2）点 Q 是线段 AB 上的动点，过点 Q 作 QEAC，交 BC 于点 E，连接 CQ。当CQE 的面积最大时，求点 Q 的坐标；（3）若平行于 x 轴的动直线l与该抛物线交于点 P，与直线 AC 交于点 F，点 D 的坐标为（2，0）。问：是否存在这样的直线l，使得ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。YXCADQBO
5、 特殊角度等腰相似平行及平行四边形与圆相切面积关系等等亦偏向于计算数形结合讨论点图形位置二次函数与坐标轴交点往往是着手的关键已知二次函数其中是的三边且若这个二次函数的图像经过原点试证是等边三角形若是直角三与轴交于点的面积是求精品资料欢迎下载如图抛物线与轴交于两点与轴交于点且求抛物线的解析式及顶点的坐标判断的形状证明你的结论点是轴上的一个动点当的值最小时求的值已知如图在平面直角坐标系中抛物线经过三点求抛物的解析式点是线段上的动点过点作交于点连接当的面积最大时求点的坐标若平行于轴的动直线与该抛物线交于点与直线交于点点的坐标为问是否存在这样的直线使得是等腰三角形若存在请求出点的坐标若不存在请说明理由
6、已知如图精品资料 欢迎下载 6.已知：如图所示，二次函数y=ax2+x+1（0a）图象的顶点为 B 在x轴上，与 y 轴的交点为 A，P 为图象上的一点，若以线段 PB 为直径的圆与直线 AB相切于点 B，求 P 点的坐标。A x y O B 特殊角度等腰相似平行及平行四边形与圆相切面积关系等等亦偏向于计算数形结合讨论点图形位置二次函数与坐标轴交点往往是着手的关键已知二次函数其中是的三边且若这个二次函数的图像经过原点试证是等边三角形若是直角三与轴交于点的面积是求精品资料欢迎下载如图抛物线与轴交于两点与轴交于点且求抛物线的解析式及顶点的坐标判断的形状证明你的结论点是轴上的一个动点当的值最小时求的
7、值已知如图在平面直角坐标系中抛物线经过三点求抛物的解析式点是线段上的动点过点作交于点连接当的面积最大时求点的坐标若平行于轴的动直线与该抛物线交于点与直线交于点点的坐标为问是否存在这样的直线使得是等腰三角形若存在请求出点的坐标若不存在请说明理由已知如图精品资料 欢迎下载 7.已知抛物线22yxxa（0a）与y轴相交于点A，顶点为M.直线12yxa分别与x轴，y轴相交于BC，两点，并且与直线AM相交于点N.(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则 MN ，；(2)如图，将NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N恰好落在抛物线上，AN与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；
8、(3)在抛物线22yxxa（0a）上是否存在一点P，使得以PA CN，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由.第（2）题 x y B C O D A M N N x y B C O A M N 备用图 特殊角度等腰相似平行及平行四边形与圆相切面积关系等等亦偏向于计算数形结合讨论点图形位置二次函数与坐标轴交点往往是着手的关键已知二次函数其中是的三边且若这个二次函数的图像经过原点试证是等边三角形若是直角三与轴交于点的面积是求精品资料欢迎下载如图抛物线与轴交于两点与轴交于点且求抛物线的解析式及顶点的坐标判断的形状证明你的结论点是轴上的一个动点当的值最小时求的值已知如
9、图在平面直角坐标系中抛物线经过三点求抛物的解析式点是线段上的动点过点作交于点连接当的面积最大时求点的坐标若平行于轴的动直线与该抛物线交于点与直线交于点点的坐标为问是否存在这样的直线使得是等腰三角形若存在请求出点的坐标若不存在请说明理由已知如图精品资料 欢迎下载 练习：1.如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30的射线OC，在射线OC上取一点A，过点A作xAH 轴于点H.在抛物线)0(2xxy上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与AOH全等，则符合条件的点A的坐标是_ 2.已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 y 轴交于点 A(0，3)，与 x 轴分别交于 B(1，0)、C
10、(5，0)两点。（1）求此抛物线的解析式；（2）若点 D 为线段 OA 的一个三等分点，求直线 DC 的解析式；（3）若一个动点 P 自 OA 的中点 M 出发，先到达 x 轴上的某点(设为点 E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点 F)，最后运动到点 A。求使点 P 运动的总路径最短的点 E、点 F 的坐标，并求出这个最短总路径的长。特殊角度等腰相似平行及平行四边形与圆相切面积关系等等亦偏向于计算数形结合讨论点图形位置二次函数与坐标轴交点往往是着手的关键已知二次函数其中是的三边且若这个二次函数的图像经过原点试证是等边三角形若是直角三与轴交于点的面积是求精品资料欢迎下载如图抛物线与轴交于两点
11、与轴交于点且求抛物线的解析式及顶点的坐标判断的形状证明你的结论点是轴上的一个动点当的值最小时求的值已知如图在平面直角坐标系中抛物线经过三点求抛物的解析式点是线段上的动点过点作交于点连接当的面积最大时求点的坐标若平行于轴的动直线与该抛物线交于点与直线交于点点的坐标为问是否存在这样的直线使得是等腰三角形若存在请求出点的坐标若不存在请说明理由已知如图精品资料 欢迎下载 3.如图，将腰长为5的等腰 RtABC（C是直角）放 在平面直角坐标系中的第二象限，使顶点 A在 y 轴上，顶点 B 在抛物线22yaxax上，顶点 C 在 x 轴 上，坐标为（1，0）（1）点 A的坐标为 ，点 B 的坐标为 ；（2
12、）抛物线的关系式为 ，其顶点坐标为 ；（3）将三角板 ABC 绕顶点 A逆时针方向旋转 90，到达ABC的位置 请判断点B、C是否在（2）中的抛物线上，并说明理由 4.已知：抛物线2(1)22ykxkxk 与x轴有两个不同的交点（1）求k的取值范围；（2）当k为整数，且关于x的方程31xkx 的解是负数时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若在抛物线和x轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在x轴上，其对边的两个端点在抛物线上，试求出这个最大正方形的边长 特殊角度等腰相似平行及平行四边形与圆相切面积关系等等亦偏向于计算数形结合讨论点图形位置二次函数与坐标轴交点往往是
13、着手的关键已知二次函数其中是的三边且若这个二次函数的图像经过原点试证是等边三角形若是直角三与轴交于点的面积是求精品资料欢迎下载如图抛物线与轴交于两点与轴交于点且求抛物线的解析式及顶点的坐标判断的形状证明你的结论点是轴上的一个动点当的值最小时求的值已知如图在平面直角坐标系中抛物线经过三点求抛物的解析式点是线段上的动点过点作交于点连接当的面积最大时求点的坐标若平行于轴的动直线与该抛物线交于点与直线交于点点的坐标为问是否存在这样的直线使得是等腰三角形若存在请求出点的坐标若不存在请说明理由已知如图精品资料 欢迎下载 5.抛物线24yaxbxa经过(1,0)A、(0,4)C两点，与x轴交于另一点B（1）
14、求抛物线的解析式；（2）已知点(,1)D mm在第二象限的抛物线上，求点D关于直线BC的对称点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线 上一点，且45DBP，求出点P的坐标 1137 23 2 4xy55O特殊角度等腰相似平行及平行四边形与圆相切面积关系等等亦偏向于计算数形结合讨论点图形位置二次函数与坐标轴交点往往是着手的关键已知二次函数其中是的三边且若这个二次函数的图像经过原点试证是等边三角形若是直角三与轴交于点的面积是求精品资料欢迎下载如图抛物线与轴交于两点与轴交于点且求抛物线的解析式及顶点的坐标判断的形状证明你的结论点是轴上的一个动点当的值最小时求的值已知如图在平面直角坐标系中抛物线经过三点求抛物的解析式点是线段上的动点过点作交于点连接当的面积最大时求点的坐标若平行于轴的动直线与该抛物线交于点与直线交于点点的坐标为问是否存在这样的直线使得是等腰三角形若存在请求出点的坐标若不存在请说明理由已知如图