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1、微积分学基本定理一、问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动,已知速度卩=叩)是时 间间隔迅上的一个连续函数，Mv(r)0,求物体在这段时间内所经过的路程.变速直线运动中路程为；吨)必 另一方面这段路程可表示为s(T2)-s(Tr)T:.2v(t)dt=s(T2)-s(T1).其中”(/)=叩).JTi 时间间隔迅上的一个连续函数求物体在这段时间内所经过的路程变速直线运动中路程为吨必另一方面这段路程可表示为牛顿一莱布尼茨公式微积分基本定理如果是连续函数兀在区间方上的一个原函数则牛顿一莱布尼茨公式微积分基仍成立计算兀冷龙龙解例原求设于解在上规定当兀时原式必求打当兀时
2、丄的一个原函数是计算曲线在兀上与兀轴所围成的平面图形的面积解面积皿咄计算定积分的方定义法订兀心二门分害山近似求和取极限面积法曲边梯形面积公式积分公式町加计算不定积分严必计算不定积分兀兀计算不定积分兀一叨兀例计算由曲线所围图形的面积例计算由直线曲线以及轴所围图形的面积作业注意画图1、牛顿一莱布尼茨公式 微积分基本定理 如果F(x)是连续函数/(兀)在区间a，方上 的一个原函数，则f(x)dx=F(b)-F(a).牛顿一莱布尼茨公式时间间隔迅上的一个连续函数求物体在这段时间内所经过的路程变速直线运动中路程为吨必另一方面这段路程可表示为牛顿一莱布尼茨公式微积分基本定理如果是连续函数兀在区间方上的一个
3、原函数则牛顿一莱布尼茨公式微积分基仍成立计算兀冷龙龙解例原求设于解在上规定当兀时原式必求打当兀时丄的一个原函数是计算曲线在兀上与兀轴所围成的平面图形的面积解面积皿咄计算定积分的方定义法订兀心二门分害山近似求和取极限面积法曲边梯形面积公式积分公式町加计算不定积分严必计算不定积分兀兀计算不定积分兀一叨兀例计算由曲线所围图形的面积例计算由直线曲线以及轴所围图形的面积作业注意画图它的1=f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)l 微积分基本公式表明:一个连续函数在区间0,方上的定积分等于 求定积分问题转化为求原函数的问题.注意 当a方时，（/（兀冷=F（方）一F（a）仍成立.计算:时间间隔迅上的一个
4、连续函数求物体在这段时间内所经过的路程变速直线运动中路程为吨必另一方面这段路程可表示为牛顿一莱布尼茨公式微积分基本定理如果是连续函数兀在区间方上的一个原函数则牛顿一莱布尼茨公式微积分基仍成立计算兀冷龙龙解例原求设于解在上规定当兀时原式必求打当兀时丄的一个原函数是计算曲线在兀上与兀轴所围成的平面图形的面积解面积皿咄计算定积分的方定义法订兀心二门分害山近似求和取极限面积法曲边梯形面积公式积分公式町加计算不定积分严必计算不定积分兀兀计算不定积分兀一叨兀例计算由曲线所围图形的面积例计算由直线曲线以及轴所围图形的面积作业注意画图2兀-T冷(3)1 sinxdx;2龙(4)sinxdr;JTT 2龙 si
5、nxdx;时间间隔迅上的一个连续函数求物体在这段时间内所经过的路程变速直线运动中路程为吨必另一方面这段路程可表示为牛顿一莱布尼茨公式微积分基本定理如果是连续函数兀在区间方上的一个原函数则牛顿一莱布尼茨公式微积分基仍成立计算兀冷龙龙解例原求设于解在上规定当兀时原式必求打当兀时丄的一个原函数是计算曲线在兀上与兀轴所围成的平面图形的面积解面积皿咄计算定积分的方定义法订兀心二门分害山近似求和取极限面积法曲边梯形面积公式积分公式町加计算不定积分严必计算不定积分兀兀计算不定积分兀一叨兀例计算由曲线所围图形的面积例计算由直线曲线以及轴所围图形的面积作业注意画图osx 解原设于2x 5 0 x)(3)公式法(
6、微积分基本定理Fz(x)=/(x)b A f(x)dx=F(x)l=F(b)-F(a)计算定积分的方法 f(x)dx 定义法 时间间隔迅上的一个连续函数求物体在这段时间内所经过的路程变速直线运动中路程为吨必另一方面这段路程可表示为牛顿一莱布尼茨公式微积分基本定理如果是连续函数兀在区间方上的一个原函数则牛顿一莱布尼茨公式微积分基仍成立计算兀冷龙龙解例原求设于解在上规定当兀时原式必求打当兀时丄的一个原函数是计算曲线在兀上与兀轴所围成的平面图形的面积解面积皿咄计算定积分的方定义法订兀心二门分害山近似求和取极限面积法曲边梯形面积公式积分公式町加计算不定积分严必计算不定积分兀兀计算不定积分兀一叨兀例计算
7、由曲线所围图形的面积例计算由直线曲线以及轴所围图形的面积作业注意画图(2)面积法(曲边梯形面积)(3)公式法(微积分基本定SFz(x)=/(x)f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a)Ja(4)性质：1)pcy(x)dr=C p/(x)dx fb fb fb 2)1 于(兀)土 g(x)dx=I f(x)dx 土|g(兀 Ja Ja Ja fb pc fb 3)|f(x)dx=I f(x)dx+T f(x)dx Ja Ja Jc 时间间隔迅上的一个连续函数求物体在这段时间内所经过的路程变速直线运动中路程为吨必另一方面这段路程可表示为牛顿一莱布尼茨公式微积分基本定理如果是连续函数兀在区间方上的
8、一个原函数则牛顿一莱布尼茨公式微积分基仍成立计算兀冷龙龙解例原求设于解在上规定当兀时原式必求打当兀时丄的一个原函数是计算曲线在兀上与兀轴所围成的平面图形的面积解面积皿咄计算定积分的方定义法订兀心二门分害山近似求和取极限面积法曲边梯形面积公式积分公式町加计算不定积分严必计算不定积分兀兀计算不定积分兀一叨兀例计算由曲线所围图形的面积例计算由直线曲线以及轴所围图形的面积作业注意画图基本的不定积分公式(1)J Kdx=Kx+C;J xndx=xn+i+C 1 dx=In I x I+C x(4)J exdx=ex+C(5)J axdx=+C(6)J lnxdr=xlnx-x+C(7)|10町 加=-J
9、 sinxdr=-cosx+C J cosxdr=sinx+C 时间间隔迅上的一个连续函数求物体在这段时间内所经过的路程变速直线运动中路程为吨必另一方面这段路程可表示为牛顿一莱布尼茨公式微积分基本定理如果是连续函数兀在区间方上的一个原函数则牛顿一莱布尼茨公式微积分基仍成立计算兀冷龙龙解例原求设于解在上规定当兀时原式必求打当兀时丄的一个原函数是计算曲线在兀上与兀轴所围成的平面图形的面积解面积皿咄计算定积分的方定义法订兀心二门分害山近似求和取极限面积法曲边梯形面积公式积分公式町加计算不定积分严必计算不定积分兀兀计算不定积分兀一叨兀例计算由曲线所围图形的面积例计算由直线曲线以及轴所围图形的面积作业注
10、意画图计算不定积分:(1)J(x+3)(x-2)rfx;(2)J(严 2)必;cos2x dx cos x-sin x 时间间隔迅上的一个连续函数求物体在这段时间内所经过的路程变速直线运动中路程为吨必另一方面这段路程可表示为牛顿一莱布尼茨公式微积分基本定理如果是连续函数兀在区间方上的一个原函数则牛顿一莱布尼茨公式微积分基仍成立计算兀冷龙龙解例原求设于解在上规定当兀时原式必求打当兀时丄的一个原函数是计算曲线在兀上与兀轴所围成的平面图形的面积解面积皿咄计算定积分的方定义法订兀心二门分害山近似求和取极限面积法曲边梯形面积公式积分公式町加计算不定积分严必计算不定积分兀兀计算不定积分兀一叨兀例计算由曲线
11、所围图形的面积例计算由直线曲线以及轴所围图形的面积作业注意画图计算不定积分：(1)|(x2+2)(x2-2)rfx;x4 x 5 j -X；(3)|(x2+2)VxJx(4)J(sin 兀+cos 兀)2-sin2xJx x-x3e X-dx 时间间隔迅上的一个连续函数求物体在这段时间内所经过的路程变速直线运动中路程为吨必另一方面这段路程可表示为牛顿一莱布尼茨公式微积分基本定理如果是连续函数兀在区间方上的一个原函数则牛顿一莱布尼茨公式微积分基仍成立计算兀冷龙龙解例原求设于解在上规定当兀时原式必求打当兀时丄的一个原函数是计算曲线在兀上与兀轴所围成的平面图形的面积解面积皿咄计算定积分的方定义法订兀
12、心二门分害山近似求和取极限面积法曲边梯形面积公式积分公式町加计算不定积分严必计算不定积分兀兀计算不定积分兀一叨兀例计算由曲线所围图形的面积例计算由直线曲线以及轴所围图形的面积作业注意画图计算不定积分 J(x+l)10Jx;(2)|(2兀一 1)叨兀;(3)|sin2xJx(4)J cos(3x-l)dr(5)1 sin2 mxdx 时间间隔迅上的一个连续函数求物体在这段时间内所经过的路程变速直线运动中路程为吨必另一方面这段路程可表示为牛顿一莱布尼茨公式微积分基本定理如果是连续函数兀在区间方上的一个原函数则牛顿一莱布尼茨公式微积分基仍成立计算兀冷龙龙解例原求设于解在上规定当兀时原式必求打当兀时丄
13、的一个原函数是计算曲线在兀上与兀轴所围成的平面图形的面积解面积皿咄计算定积分的方定义法订兀心二门分害山近似求和取极限面积法曲边梯形面积公式积分公式町加计算不定积分严必计算不定积分兀兀计算不定积分兀一叨兀例计算由曲线所围图形的面积例计算由直线曲线以及轴所围图形的面积作业注意画图Ill 例1:计算由曲线y2=x，y=x2所围图形 的面积S 例2:计算由直线y=x4,曲线y=41x 以及x轴所围图形的面积S.时间间隔迅上的一个连续函数求物体在这段时间内所经过的路程变速直线运动中路程为吨必另一方面这段路程可表示为牛顿一莱布尼茨公式微积分基本定理如果是连续函数兀在区间方上的一个原函数则牛顿一莱布尼茨公式
14、微积分基仍成立计算兀冷龙龙解例原求设于解在上规定当兀时原式必求打当兀时丄的一个原函数是计算曲线在兀上与兀轴所围成的平面图形的面积解面积皿咄计算定积分的方定义法订兀心二门分害山近似求和取极限面积法曲边梯形面积公式积分公式町加计算不定积分严必计算不定积分兀兀计算不定积分兀一叨兀例计算由曲线所围图形的面积例计算由直线曲线以及轴所围图形的面积作业注意画图作业:P67A#1（注意画图）时间间隔迅上的一个连续函数求物体在这段时间内所经过的路程变速直线运动中路程为吨必另一方面这段路程可表示为牛顿一莱布尼茨公式微积分基本定理如果是连续函数兀在区间方上的一个原函数则牛顿一莱布尼茨公式微积分基仍成立计算兀冷龙龙解例原求设于解在上规定当兀时原式必求打当兀时丄的一个原函数是计算曲线在兀上与兀轴所围成的平面图形的面积解面积皿咄计算定积分的方定义法订兀心二门分害山近似求和取极限面积法曲边梯形面积公式积分公式町加计算不定积分严必计算不定积分兀兀计算不定积分兀一叨兀例计算由曲线所围图形的面积例计算由直线曲线以及轴所围图形的面积作业注意画图