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1、第五讲 不等式 基础讲析 一不等式的性质：1 同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,ab cd，则acbd （若,ab cd，则acbd ），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0abcd ，则acbd（若0,0abcd ，则abcd）；3左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0ab，则nnab或nnab；4若0ab，ab，则11ab；若0ab，ab，则11ab。练习：（1）对于实数cba,中，给出下列命题：22,bcacba 则若；babcac则若,22；22,0bababa则若；b
2、aba11,0则若；baabba则若,0；baba则若,0；bcbacabac则若,0；11,abab若，则0,0ab。其中正确的命题是 _（2）已知11xy ，13xy ，则3xy的取值范围是_（3）已知cba，且,0cba则ac的取值范围是_ 二不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式）；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性；7寻找中间量或放缩法；8图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。练习:（1）设0,10taa且，比较21loglog21ttaa和的大小 （2）设2a，12
3、paa，2422aaq，试比较qp,的大小 （3）比较 1+3logx与)10(2log2xxx且的大小 三利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这 17 字方针。如（1）下列命题中正确的是 A、1yxx 的最小值是 2 B、2232xyx的最小值是 2 C、423(0)yxxx 的最大值是24 3 D、423(0)yxxx 的最小值是24 3（2）若21xy，则24xy的最小值是_（3）正数,x y满足21xy，则yx11的最小值为_ 四.常用不等式有：（1）2222211abababab(根据目标不等式左右的运算结构选用)；（2）a、b、cR，
4、222abcabbcca（当且仅当abc 时，取等号）；（3）若0,0abm，则bbmaam（糖水的浓度问题）。练习：如果正数a、b满足3baab，则ab的取值范围是_ 六简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x的符号变化规律，写出不等式的解集。练习：（1）解不等式2(1)(2)0 xx。（2）不等式2(2)230 xxx 的解集是_（3）设函数()f x、()g x的定义域都是 R，且()0f x
5、 的解集为|12xx，()0g x 的解集为，则不等式()()0f x g x 的解集为 _ 加同向不等式不可以相减左右同正不等式同向的不等式可以相乘但不能相除异向不等式可以相除但不能相乘若则若左右同正不等式两边可以同时乘方或开方若则或则若若练习对于实数中给出下列命题若则若则则若则若则则若则若若通过分解因式配方等手段判断差的符号得出结果作商常用于分数指数幂的代数式分析法平方法分子或分母有理化利用函数的单调性寻找中间量或放缩法图象法其中比较法作差作商是最基本的方法练习设的大小且比较和设试比较的大如下列命题中正确的是的最小值是的最小值是的最大值是的最小值是若则正数满足则的最小值是的最小值为四常用不
6、等式有算结构选用取等号若则练习如果正数满足根据目标不等式左右的运当且仅当则的取值范围是糖水的浓度问题（4）要使满足关于x的不等式0922axx（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式08603422xxxx和中的一个，则实数a的取值范围是_.七分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。练习：（1）解不等式25123xxx （2）关于x的不等式0 bax的解集为),1(，则关于x的不等式02xbax的解集为_ 八绝对值不等式的解法
7、 1分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：（1）解不等式|21|2|432|xx （2）解不等式|1|3xx （3）两边平方：若不等式|32|2|xxa 对xR恒成立，则实数a的取值范围为_。九含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.练习：（1）若2log13a，则a的取值范围是_（2）解不等式2()1axx aRax 加同向不等式不可以相减左右同正不等式同向的不等式可以相乘但不能相除异向不等式可以相除但不能相乘若则若左右同正
8、不等式两边可以同时乘方或开方若则或则若若练习对于实数中给出下列命题若则若则则若则若则则若则若若通过分解因式配方等手段判断差的符号得出结果作商常用于分数指数幂的代数式分析法平方法分子或分母有理化利用函数的单调性寻找中间量或放缩法图象法其中比较法作差作商是最基本的方法练习设的大小且比较和设试比较的大如下列命题中正确的是的最小值是的最小值是的最大值是的最小值是若则正数满足则的最小值是的最小值为四常用不等式有算结构选用取等号若则练习如果正数满足根据目标不等式左右的运当且仅当则的取值范围是糖水的浓度问题提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对
9、应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式0 bax 的解集为)1,(，则不等式02baxx的解集为_ 十一含绝对值不等式的性质：ab、同号或有0|abab|abab；ab、异号或有0|abab|abab.如设2()13f xxx，实数a满足|1xa，求证：|()()|2(|1)f xf aa 十二不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：1).恒成立问题 若不等式 Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 minf xA 若不等式 Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 maxf xB 练习：（1）设实数,x y满足22(1)1xy，当0 xyc 时，c的取值范围是_（答：21
10、,）；（2）不等式axx34对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_（3）若不等式)1(122xmx对满足2m的所有m都成立，则x的取值范围_（4）若不等式nann1)1(2)1(对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_（5）若不等式22210 xmxm 对01x 的所有实数x都成立，求m的取值范围.2).能成立问题 若在区间D上存在实数x使不等式 Axf成立,则等价于在区间D上 maxf xA；若在区间D上存在实数x使不等式 Bxf成立,则等价于在区间D上的 minf xB.练习：已知不等式axx34在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围_ 3).恰成立问题 若不等式 Axf在
11、区间D上恰成立,则等价于不等式 Axf的解集为D；若不等式 Bxf在区间D上恰成立,则等价于不等式 Bxf的解集为D.加同向不等式不可以相减左右同正不等式同向的不等式可以相乘但不能相除异向不等式可以相除但不能相乘若则若左右同正不等式两边可以同时乘方或开方若则或则若若练习对于实数中给出下列命题若则若则则若则若则则若则若若通过分解因式配方等手段判断差的符号得出结果作商常用于分数指数幂的代数式分析法平方法分子或分母有理化利用函数的单调性寻找中间量或放缩法图象法其中比较法作差作商是最基本的方法练习设的大小且比较和设试比较的大如下列命题中正确的是的最小值是的最小值是的最大值是的最小值是若则正数满足则的最
12、小值是的最小值为四常用不等式有算结构选用取等号若则练习如果正数满足根据目标不等式左右的运当且仅当则的取值范围是糖水的浓度问题课后 作业（周日）一、选择题 1、若 a，b 是实数，且 ab，则下列结论成立的是（）A.22ba B.1ab C.0)balg(D.ba)21()21(*2、若 a0，1bb1，)2lg(),lg(lg21,lglgbaRbaQbaP，则（）A.RPQ B.PQR C.QPR D.PR0 的解集是 .加同向不等式不可以相减左右同正不等式同向的不等式可以相乘但不能相除异向不等式可以相除但不能相乘若则若左右同正不等式两边可以同时乘方或开方若则或则若若练习对于实数中给出下列命
13、题若则若则则若则若则则若则若若通过分解因式配方等手段判断差的符号得出结果作商常用于分数指数幂的代数式分析法平方法分子或分母有理化利用函数的单调性寻找中间量或放缩法图象法其中比较法作差作商是最基本的方法练习设的大小且比较和设试比较的大如下列命题中正确的是的最小值是的最小值是的最大值是的最小值是若则正数满足则的最小值是的最小值为四常用不等式有算结构选用取等号若则练习如果正数满足根据目标不等式左右的运当且仅当则的取值范围是糖水的浓度问题（周四）13、若函数)8(6)(2kkxkxxf的定义域是 R，则 k 的取值范围是 .*14、若奇函数 y=f（x），（)0 x当 x),0(时，f（x）=x1，则
14、不等式 xf（x1）0 的解集是 .三、计算题*15、解关于 x 的不等式Raxxa,12)1(（周五）16、关于 x 的不等式组05)52(20222kxkxxx的整数解的集合是2，求实数 k 的取值范围。（周六）*17、定义在 3,(上)cos1()sin()(22xafxafxf满足：的减函数对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围。加同向不等式不可以相减左右同正不等式同向的不等式可以相乘但不能相除异向不等式可以相除但不能相乘若则若左右同正不等式两边可以同时乘方或开方若则或则若若练习对于实数中给出下列命题若则若则则若则若则则若则若若通过分解因式配方等手段判断差的符号得出结果作商常用于分数指数幂的代数式分析法平方法分子或分母有理化利用函数的单调性寻找中间量或放缩法图象法其中比较法作差作商是最基本的方法练习设的大小且比较和设试比较的大如下列命题中正确的是的最小值是的最小值是的最大值是的最小值是若则正数满足则的最小值是的最小值为四常用不等式有算结构选用取等号若则练习如果正数满足根据目标不等式左右的运当且仅当则的取值范围是糖水的浓度问题