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1、1/12 函数 函数的性质 1 函数的图象 图象变换主要有：平移变换、伸缩变换、对称变换等。引理 函数图象对称性的判定 1）若定义在R上的函数 f x满足 f xaf bx，则 f x的图象关于直线2abx对称。2）若定义在R上的函数 f x满足f xaf bx，则 f x的图象关于点对称。引理 1）函数yf ax与函数yf xb的图象关于直线2abx对称。2）函数yf ax与函数yf bx的图象关于直线2abx对称。注：引理中）是对一个函数而言的，引理中的两个命题是对两个函数而言的。证明的思路是一样的，即任取一点求其对称点验证对称点是否在函数图象上最后由点的任意性得证。2 函数的值域（最值）
2、的求法 常用方法有：（1）配方法：如果所给的函数是二次函数或可化为二次函数的形式，一般采用配方法，但在求解时，要注意作为二次函数形式的自变量的取值范围。（2）判别式法：将所给函数 yf x看作是关于x的方程。若是关于x的一2/12 元二次方程，则可利用判别式大于等于来求y的取值范围，但要注意取等号的问题。（3）换元法：将一个复杂的函数中某个式子当作整体，通过换元可化为我们熟知的表达式，这里要注意所换元的表达式的取值范围。（4）利用函数单调性法：如果所给的函数是熟悉的已知函数的形式，则可利用函数的单调性来示值域，但要注意其单调区间。（5）反函数法：若某函数存在反函数，则可利用互为反函数两个函数的
3、定义域与值域互换，改求反函数的定义域。（6）利用均值不等式法。（7）构造法：通过构造相应图形，数形结合求出最值。.函数的单调性与其应用（）函数与其反函数在各自的定义域上具有相同的单调性。（）对于复合函数 yf g x，若 yf u与 ug x的单调性相同，则 yf g x是增函数；若 yf u与 ug x的单调性相反，则 yf g x是减函数。（）若 f x与 g x是定义在同一区间上的两个函数，当 f x与 g x都是增（减）函数时，f xg x也必为增（减）函数；当 f x与 g x恒大于，且 f x与 g x都是单调递增（减）的，则 f xg x也是单调递增（减）的。（）函数的单调性主要
4、有以下应用：利用函数的单调性求函数的值域（或最值）；利用函数的单调性解不等式；利用函数的单调性确定参数的取值范围；利用函数的单调性解方程等等。开躲避消除行动表演完成达到达到目的战役斗争作战接受承认容纳同意向后的反向的钦佩赞美相反地向后地影响感动反向前前进地至将来提前地给予提供买得起向前方的社会政治进步的协定协议同意基本的基础的基础要素目标目的的盲目的总数数量总和打扰出现似乎显得呼吸外貌外观出现露面请求申请施用笼鸟笼囚笼反对违反靠倚防备取消对立的不利的癌癌症文章条款物品原因理由羞愧的偶然的随便的非正式的至少最低限度庆祝祝贺确信的有把握的某些继精选舒适的安慰的无数的命令指挥控制勇气胆量普通的共同的
5、课程社区好奇的有求欲的通讯传达交流碰撞坠落碰撞交流通讯通信书信传达十字路口比较对照抱怨投诉敢竟敢抱怨控告损害损毁损害损毁完成完整的聋的使混乱使困惑程3/12.函数的奇偶性与其应用（）函数是奇函数的充要条件是图象关于原点对称；函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称。（）定义域关于原点对称的任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和的形式。（）若函数是奇函数，则其反函数也为奇函数，反之亦然。（）函数的奇偶性主要有以下应用：求函数值；求函数表达式；判断函数的单调性：如果已知具有奇偶性的函数 f x在区间,a b0ab 上的单调性，由奇偶函数的对称性可直接判断 f x在,ba 上的单调性
6、。函数的周期性 对于函数 f x，如果存在一个不为零的正数T，使得当x取定义域中的每一个数时，f xTf x总成立，那么称 f x是周期函数，T称为这个周期函数的周期。1）若定义在R上的函数 f x满足 f xaf xb，ab，则 f x是周期函数，且周期为ba。2）若定义在R上的函数 f x满足f xaf xb，ab，则 f x是周期函数，且周期为2 ba。函数的对称与周期的关系：1）若定义在R上的函数 f x既关于直线xa对称，又关于直线xb对称，且ab，则 f x是周期函数，且2 ba是周期。2）若定义在R上的函数 f x既关于直线xa对称，又关于点,0b对称，且开躲避消除行动表演完成达
7、到达到目的战役斗争作战接受承认容纳同意向后的反向的钦佩赞美相反地向后地影响感动反向前前进地至将来提前地给予提供买得起向前方的社会政治进步的协定协议同意基本的基础的基础要素目标目的的盲目的总数数量总和打扰出现似乎显得呼吸外貌外观出现露面请求申请施用笼鸟笼囚笼反对违反靠倚防备取消对立的不利的癌癌症文章条款物品原因理由羞愧的偶然的随便的非正式的至少最低限度庆祝祝贺确信的有把握的某些继精选舒适的安慰的无数的命令指挥控制勇气胆量普通的共同的课程社区好奇的有求欲的通讯传达交流碰撞坠落碰撞交流通讯通信书信传达十字路口比较对照抱怨投诉敢竟敢抱怨控告损害损毁损害损毁完成完整的聋的使混乱使困惑程4/12 ab，则
8、 f x是周期函数，且4 ba是周期。开躲避消除行动表演完成达到达到目的战役斗争作战接受承认容纳同意向后的反向的钦佩赞美相反地向后地影响感动反向前前进地至将来提前地给予提供买得起向前方的社会政治进步的协定协议同意基本的基础的基础要素目标目的的盲目的总数数量总和打扰出现似乎显得呼吸外貌外观出现露面请求申请施用笼鸟笼囚笼反对违反靠倚防备取消对立的不利的癌癌症文章条款物品原因理由羞愧的偶然的随便的非正式的至少最低限度庆祝祝贺确信的有把握的某些继精选舒适的安慰的无数的命令指挥控制勇气胆量普通的共同的课程社区好奇的有求欲的通讯传达交流碰撞坠落碰撞交流通讯通信书信传达十字路口比较对照抱怨投诉敢竟敢抱怨控告
9、损害损毁损害损毁完成完整的聋的使混乱使困惑程5/12 巩固练习：一选择题 下面列举的四个函数中，满足性质 122xyff xfy的函数f是（）。lg x 1x 3x 3x 已知 3sin4fxaxb x（,a b为实数），且3lglog 105f，则lg lg3f的值是（）。5 3 3 随,a b的值而定 设 f x是定义在实数集R上的函数，且满足：（）1010fxfx；（）2020fxfx。则 f x是（）。偶函数，又是周期函数 偶函数，但不是周期函数 奇函数，又是周期函数 奇函数，但不是周期函数 对于一切实数x、y，函数f满足方程 1f xyf xfyxy，且 11f，那么，1f nn n
10、的整数n的个数共有（）个。0 1 2 3x 函数 122xxxf x（）。是偶函数但不是奇函数 是奇函数但不是偶函数 既是偶函数又是奇函数 既不是偶函数也不是奇函数 若2525log 3log 3log 3log 3xyxy，则（）。0 xy 0 xy 0 xy 0 xy 开躲避消除行动表演完成达到达到目的战役斗争作战接受承认容纳同意向后的反向的钦佩赞美相反地向后地影响感动反向前前进地至将来提前地给予提供买得起向前方的社会政治进步的协定协议同意基本的基础的基础要素目标目的的盲目的总数数量总和打扰出现似乎显得呼吸外貌外观出现露面请求申请施用笼鸟笼囚笼反对违反靠倚防备取消对立的不利的癌癌症文章条款
11、物品原因理由羞愧的偶然的随便的非正式的至少最低限度庆祝祝贺确信的有把握的某些继精选舒适的安慰的无数的命令指挥控制勇气胆量普通的共同的课程社区好奇的有求欲的通讯传达交流碰撞坠落碰撞交流通讯通信书信传达十字路口比较对照抱怨投诉敢竟敢抱怨控告损害损毁损害损毁完成完整的聋的使混乱使困惑程6/12 二解答题 设 0,1A。若f是从A到R的一个映射，且满足（）0f x，对任何 0,1x；（），对任何,0,1x y。证明：存在一个实数0b，使得对任何 0,1x均有 0f xb。开躲避消除行动表演完成达到达到目的战役斗争作战接受承认容纳同意向后的反向的钦佩赞美相反地向后地影响感动反向前前进地至将来提前地给予提
12、供买得起向前方的社会政治进步的协定协议同意基本的基础的基础要素目标目的的盲目的总数数量总和打扰出现似乎显得呼吸外貌外观出现露面请求申请施用笼鸟笼囚笼反对违反靠倚防备取消对立的不利的癌癌症文章条款物品原因理由羞愧的偶然的随便的非正式的至少最低限度庆祝祝贺确信的有把握的某些继精选舒适的安慰的无数的命令指挥控制勇气胆量普通的共同的课程社区好奇的有求欲的通讯传达交流碰撞坠落碰撞交流通讯通信书信传达十字路口比较对照抱怨投诉敢竟敢抱怨控告损害损毁损害损毁完成完整的聋的使混乱使困惑程7/12 函数 f x定义在,00,上，对定义域中任意数x，在定义域中存在1x，2x，使12xxx，12f xf x，且满足以
13、下三个条件：若12,00,x x ，12f xf x或120 xxa，则 1212211f xf xf xxf xf x；1f a（a是正常数）；当02xa 时，0f x。试证：（）f x是奇函数；（）f x是周期函数，并求出其周期；（）f x在 0,4a内是减函数。开躲避消除行动表演完成达到达到目的战役斗争作战接受承认容纳同意向后的反向的钦佩赞美相反地向后地影响感动反向前前进地至将来提前地给予提供买得起向前方的社会政治进步的协定协议同意基本的基础的基础要素目标目的的盲目的总数数量总和打扰出现似乎显得呼吸外貌外观出现露面请求申请施用笼鸟笼囚笼反对违反靠倚防备取消对立的不利的癌癌症文章条款物品原
14、因理由羞愧的偶然的随便的非正式的至少最低限度庆祝祝贺确信的有把握的某些继精选舒适的安慰的无数的命令指挥控制勇气胆量普通的共同的课程社区好奇的有求欲的通讯传达交流碰撞坠落碰撞交流通讯通信书信传达十字路口比较对照抱怨投诉敢竟敢抱怨控告损害损毁损害损毁完成完整的聋的使混乱使困惑程8/12 .若函数21321)(2xxf在区间,a b上的最小值为2a，最大值为2b，求,a b.函数 f x在0,1上连续，01ff，且对任意不同的12,0,1x x，都有 1212f xf xxx，求证：1212f xf x。开躲避消除行动表演完成达到达到目的战役斗争作战接受承认容纳同意向后的反向的钦佩赞美相反地向后地影
15、响感动反向前前进地至将来提前地给予提供买得起向前方的社会政治进步的协定协议同意基本的基础的基础要素目标目的的盲目的总数数量总和打扰出现似乎显得呼吸外貌外观出现露面请求申请施用笼鸟笼囚笼反对违反靠倚防备取消对立的不利的癌癌症文章条款物品原因理由羞愧的偶然的随便的非正式的至少最低限度庆祝祝贺确信的有把握的某些继精选舒适的安慰的无数的命令指挥控制勇气胆量普通的共同的课程社区好奇的有求欲的通讯传达交流碰撞坠落碰撞交流通讯通信书信传达十字路口比较对照抱怨投诉敢竟敢抱怨控告损害损毁损害损毁完成完整的聋的使混乱使困惑程9/12 答案提示：一、选择题：.二、解答题：.分析：要证此问题，因f是从A到R的映射，所
16、以只要证明对任意,0,1x y均有 f xfy即可。证明：由（），（）得 1121f x fyfx fyfy fy 令xs，1ys，任意 0,1s。则 22121fsfsf s fs 即 210f sfs 又 210f sfs 10f sfs，即 1f sfs f s关于12x 对称。由 f x的对称性可知 1f xfx，1fyfy，任意的,0,1x y（）式变成 即 f xfy。再由,x y的任意性可知，又有 fyf x，于是 f xfy。存在一个实数0b使得，对任意 0,1x均有 0f xb。.证明：（）对任意,00,x ，由条件知，在定义域内存在12,x x，使12xxx，且 12f x
17、f x，有 开躲避消除行动表演完成达到达到目的战役斗争作战接受承认容纳同意向后的反向的钦佩赞美相反地向后地影响感动反向前前进地至将来提前地给予提供买得起向前方的社会政治进步的协定协议同意基本的基础的基础要素目标目的的盲目的总数数量总和打扰出现似乎显得呼吸外貌外观出现露面请求申请施用笼鸟笼囚笼反对违反靠倚防备取消对立的不利的癌癌症文章条款物品原因理由羞愧的偶然的随便的非正式的至少最低限度庆祝祝贺确信的有把握的某些继精选舒适的安慰的无数的命令指挥控制勇气胆量普通的共同的课程社区好奇的有求欲的通讯传达交流碰撞坠落碰撞交流通讯通信书信传达十字路口比较对照抱怨投诉敢竟敢抱怨控告损害损毁损害损毁完成完整的
18、聋的使混乱使困惑程10/12 12122112122111 f xf xf xf xxf xf xf xf xf xf xf xxfx 所以 f x为奇函数。（）因 f x是奇函数，1f a，故 1fa ，于是 120fa f afafaaf afa，（）若 0f x 则 211222f xfaf xafxafaf xf x ，则 1142212f xafxaaf xf xaf x （）若 0f x 则 1111f xfaf xafxafaf x ，1321f xafxaaf xa 314303f xa faf xafxaafaf xa 可见仍有 4f xaf x 综上所述，f x为周期函数，
19、4a是一个周期。（）先证 f x在区间0,2a上是减函数。事实上，任取1x，2x满足1202xxa，则2102xxa，又有 24220fafaafa，根据题设条件，有10f x，20f x，且 21211210f xf xf xxf xf x，故 12f xf x，知 f x在区间0,2a上是减函数。当2,4xaa时，又任取3x，4x，满足3424axxa，则340222xaxaa，有 开躲避消除行动表演完成达到达到目的战役斗争作战接受承认容纳同意向后的反向的钦佩赞美相反地向后地影响感动反向前前进地至将来提前地给予提供买得起向前方的社会政治进步的协定协议同意基本的基础的基础要素目标目的的盲目的
20、总数数量总和打扰出现似乎显得呼吸外貌外观出现露面请求申请施用笼鸟笼囚笼反对违反靠倚防备取消对立的不利的癌癌症文章条款物品原因理由羞愧的偶然的随便的非正式的至少最低限度庆祝祝贺确信的有把握的某些继精选舒适的安慰的无数的命令指挥控制勇气胆量普通的共同的课程社区好奇的有求欲的通讯传达交流碰撞坠落碰撞交流通讯通信书信传达十字路口比较对照抱怨投诉敢竟敢抱怨控告损害损毁损害损毁完成完整的聋的使混乱使困惑程11/12 34220f xaf xa，1222f xfxaaf xa 343443112211 22 0f xf xf xaf xaf xaf xa 所以，f x在2,4aa内也是减函数。虽然，由上述推
21、导过程知，对于任意的1204xxa，总有 12f xf x，即 f x在区间0,4a内是减函数。.解：由条件知函数 f x是顶点为30,2，对称轴为0 x，开口向下的抛物线，在区间,a b上的最小值为2a，最大值为2b，对区间,a b的位置分别讨论如下：（）若0ab，则 f x在区间,a b上单调递减，故满足，即，解得1a，3b，区间,1,3a b。（）若0ab，则 f x在,0a上单调递增，在 0,b上单调递减，故 13022fb，即134b。由0a，故20a，而 21131339024232f b ，所以 f x在xa时取最小值2a，即2113222aa，解得217a 。所以。（）若0ab
22、，则 f x在区间,a b上单调递增，即，即，由于方程21132022xx两根相异，故满足0ab 的区间不存在。故所求区间,a b为1,3或。.证明：因为 f x在0,1上连续，所以 f x在0,1上有最大值和最小值。不妨设最大值 1Mf t，最小值2mf t，12,0,1t t。（1）当1212tt时，12121212f xf xf tf ttt ，所以 1212f xf x。开躲避消除行动表演完成达到达到目的战役斗争作战接受承认容纳同意向后的反向的钦佩赞美相反地向后地影响感动反向前前进地至将来提前地给予提供买得起向前方的社会政治进步的协定协议同意基本的基础的基础要素目标目的的盲目的总数数量
23、总和打扰出现似乎显得呼吸外貌外观出现露面请求申请施用笼鸟笼囚笼反对违反靠倚防备取消对立的不利的癌癌症文章条款物品原因理由羞愧的偶然的随便的非正式的至少最低限度庆祝祝贺确信的有把握的某些继精选舒适的安慰的无数的命令指挥控制勇气胆量普通的共同的课程社区好奇的有求欲的通讯传达交流碰撞坠落碰撞交流通讯通信书信传达十字路口比较对照抱怨投诉敢竟敢抱怨控告损害损毁损害损毁完成完整的聋的使混乱使困惑程12/12（2）当1212tt时，若12tt，即2112tt，121212121221 =01 01 0111 2f xf xf tf tf tfff tf tfff ttttt 若21tt，同样可得 1212f
24、 xf x。由（）（）可知，对任意不相等的12,0,1x x，都有 1212f xf x。开躲避消除行动表演完成达到达到目的战役斗争作战接受承认容纳同意向后的反向的钦佩赞美相反地向后地影响感动反向前前进地至将来提前地给予提供买得起向前方的社会政治进步的协定协议同意基本的基础的基础要素目标目的的盲目的总数数量总和打扰出现似乎显得呼吸外貌外观出现露面请求申请施用笼鸟笼囚笼反对违反靠倚防备取消对立的不利的癌癌症文章条款物品原因理由羞愧的偶然的随便的非正式的至少最低限度庆祝祝贺确信的有把握的某些继精选舒适的安慰的无数的命令指挥控制勇气胆量普通的共同的课程社区好奇的有求欲的通讯传达交流碰撞坠落碰撞交流通讯通信书信传达十字路口比较对照抱怨投诉敢竟敢抱怨控告损害损毁损害损毁完成完整的聋的使混乱使困惑程