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1、吉林省梅河口市第五中吉林省梅河口市第五中学学2023-2022023-2024 4学年高三上学学年高三上学期开学期开学高三上数学高三上数学开学考开学考注意事项：注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2答题时请按要求用笔答题时请按要求用笔.3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效卷上答题无效.4作图可先使用铅笔画出，确定后
2、必须用黑色字迹的签字笔描黑作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题所给的四个选项中在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目只有一项是符合题目要求的要求的.1.设全集 UR，Ax|0 x3，Bx|x1，则图中阴影部分表示的集合为（）A.x|1x3B.x|1x3C.x|1x3D.x|1x32.已知i,1 iaaR z（i为虚数单位）是纯虚数，则a（）A.1B.0C.1D.23.已知双曲线222:1(0)4xyCbb的一条渐近线方程为12yx，则C的焦距为（）A.3B.5C.2 3D
3、.2 54.几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若,AB CD都是直角圆锥SO底面圆的直径，且3AOD，则异面直线SA与BD所成角的余弦值为（）A.13B.24C.64D.635.已知函数 fx的部分图象如图所示，则函数 fx的解析式可能为（）A.32xxxf xB.3exxxf xC.3lnf xxxD.2e1xf xx6.已知集合 AxN|x28x，B2，3，6，C2，3，7，则ABC（）A.2，3，4，5B.2，3，4，5，6C.1，2，3，4，5，6D.1，3，4，5，6，77.已知复数 z534i，则复数 z 的虚
4、部为（）A.45B.45C.45iD.45i8.已知集合 Ay|y21x，Bx|ylg（x2x2），则R（AB）（）A.0，12）B.（，0）12，+）C.（0，12）D.（，012，+）二二、选择题选择题（本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求.全部全部选对得选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分）9.近年来新冠疫情波及到千家万户，人们的生活方式和习惯不得不发生转变，短视频成了观众空闲时娱乐活动的首选某电影艺术中心为了解短视频平台的观众
5、年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本 4000 份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A.图中0.028a B.在 4000 份有效样本中，短视频观众年龄在 1020 岁的有 1320 人C.估计短视频观众的平均年龄为 32 岁D.估计短视频观众年龄的 75%分位数为 39 岁10.已知函数 sin 322f xx的图像关于直线4x 对称，则（）A.fx满足1212fxfx B.将函数 fx的图像向左平移4个单位长度后与 cos3g xx图像重合C.若122f xf x，则12xx的最小值为3D.若 yf x在,a b上单调递减
6、，那么ba的最大值是311.已知直线:50l xy，过直线上任意一点M作圆22:(3)4Cxy的两条切线，切点分别为,A B，则有（）A.MA长度的最小值为4 22B.不存在点M使得AMB为60C.当MCAB最小时，直线AB的方程为210 xy D.若圆C与x轴交点为,P Q，则MP MQ 的最小值为 2812.已知直三棱柱111ABCABC-中，1,2,ABBC ABBCBBD是AC的中点，O为1AC的中点点P是1BC上的动点，则下列说法正确的是（）A.无论点P在1BC上怎么运动，都有11APOBB.当直线1AP与平面11BBC所成的角最大时，三棱锥PBCD的外接球表面积为4C.若三棱柱11
7、1ABCABC-，内放有一球，则球的最大体积为43D.1OPB周长的最小值321二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.易经是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_.14.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于,A B两点，为C的实轴长的 2 倍，则双曲线C的离心率为_.15.已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率是22，若以0,2N为圆心且与
8、椭圆 C 有公共点的圆的最大半径为26，此时椭圆 C 的方程是_.16.已知函数 2211xkxf xxx，若对于任意正实数123,x xx，均存在以 123,f xf xf x为三边边长的三角形，则实数 k 的取值范围是_.四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设等差数列 na的前 n 项和为nS，已知371518,10aaaa，各项均为正数的等比数列 nb满足351 551,1616bbbb（1）求数列 na与 nb的通项公式；（2）设22nnnancb，求数列 nc的前
9、n项和nT18.已知数列 na中，11a，nan是公差为12的等差数列.（1）求 na的通项公式；（2）若1nnba，nT为数列 nb的前n项和，证明：2nT.19.已知函数 21ln2,R2xaxax af x.（1）讨论 fx的单调性；（2）若 fx在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数12,x x，使得 123 f xf x，证明：122xx.20.在ABC中，内角,A B C的边长分别为,a b c，且2c（1）若A3，3b，求sinC的值；（2）若22sincossincos3sin22BAABC，且ABC的面积25sin2SC，求a和b的值21.已知函数21()ln2f xmxx
10、.（）若1m，求曲线()yf x在(1,(1)f处的切线方程；（）当1m 时，要使()lnf xxx恒成立，求实数m的取值范围.22.某公园有一块边长为 3 百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道DE将ABC分成面积之比为2:1的两部分（点 D，E 分别在边AB，AC上）；再取DE的中点 M，建造直道AM（如图）.设ADx，1DEy，2AMy（单位：百米）.（1）分别求1y，2y关于 x 的函数关系式；（2）试确定点 D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.1-5 DADCB5-8 CBD9 CD10 ABC11 BD12
11、 ABD【13 题答案】【答案】314【14 题答案】【答案】3【15 题答案】【答案】221189xy【16 题答案】【答案】1,4217【答案】（1）21nan，112nnb=（2）3772nnnT【18 题答案】【答案】（1）12nn na【19 题答案】【答案】（1）当12a 时，fx在0,1上递增，在1,上递减；当112a时，fx在0,1上递增，在11,21a上递减，在1,21a上递增；当1a 时，fx在0,上递增；当1a 时，fx在10,21a上递增，在1,121a上递减，在1,上递增；（2）证明见解析【20 题答案】【答案】（1）21sin7C；（2）5ab【21 题答案】【答案】（）322yx（）1,12 e【22 题答案】【答案】（1）212366yxx，2,3x.2229342xyx，2,3x.（2）当6AD 百米时，两条直道的长度之和取得最小值3 262百米.