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1、 精心整理 习题：某农民拟在两种作物中选择一种。若旱年1占 60%，正常年景2占 40%；种植耐旱作物1a以及种植不耐旱作物2a的后果矩阵为（单位：万元）：jka 1a 2a 1 20 0 2 60 100 1设该农民的效用函数为)1(156.1)(02.0yeyu（单位：万元），问该农民应该采取什么行动？画出该决策问题的决策树。2设气象预报的准确性是 0.8，即8.0)(8.0)(2211xpxp。其中：1x表示预报干旱；2x表示预报正常年景。画决策树；求后验概率；进行正规型贝叶斯分析，求贝叶斯规则；讨论两种扩展型贝叶斯分析；分析气象预报费用与是否进行气象预报的关系。求解：1.设该农民的效用
2、函数为)1(156.1)(02.0yeyu（单位：万元），问该农民应该采取什么行动？画出该决策问题的决策树。解：已知农民的效用函数为)1(156.1)(02.0yeyu，令：l(y)=1-u(y),则损失函数yyyeeeyl02.002.002.0156.1156.0 156.1156.11)1(156.11)(其效用函数和损失函数图形如下所示。精心整理 损失函数矩阵 l(yij)为：jka 1a 2a 1 0.62 1 2 0.19 0 其决策树如下所示：1a2a)(1)(1)(2)(20.620.1910l(y)20600100y 在无观察时，lR，)(),(),(11lnilialar，
3、已知6.0)(1，4.0)(1，则：)(),()(),(),(2121111alalar=0.620.6+0.190.4=0.448)(),()(),(),(2221212alalar=1.00.6+00.4=0.6 风险 r 小者优,所以1a为贝叶斯规则,即贝叶斯行动。即应选择耐旱作物。2设气象预报的准确性是 0.8，即8.0)(8.0)(2211xpxp。其中：1x表示预报干旱；2x表示预报正常年景。为的后果矩阵为单位万元单位万元问该农民应该采取什么行动画出该决策问题的决策树设气象预报的准确性是即其中表示预报干旱表示预报正常年景画决策树求后验概率进行正规型贝叶斯分析求贝叶斯规则讨论两种扩展
4、型贝叶斯分画出该决策问题的决策树解已知农民的效用函数为令则损失函数其效用函数和损失函数图形如下所示精心整理精心整理损失函数矩阵为其决策树如下所示在无观察时已知则风险小者优所以为贝叶斯规则即贝叶斯行动即应选择耐旱作下出现和的条件概率如下根据得其后验概率分别为精心整理进行正规型贝叶斯分析求贝叶斯规则根据策略策略策略精心整理策略因为所以是贝叶斯行动讨论两种扩展型贝叶斯分析扩展型之一或给定预报干旱采用采用根据风险小者优 精心整理 解：（1）画决策树 2a1a2a1a1x2x)|(11x)|(11x)|(12x)|(12x)|(21x)|(21x)|(22x)|(22x（2）求后验概率 已知8.0)(8
5、.0)(2211xpxp，则在状态1和2下出现1x和2x的条件概率2,1,2,1),(jkxpjk如下：1x 2x 1 0.8 0.2 2 0.2 0.8 根据：iiikkxpxm)()()(，得：)()|()()|()(2211111xpxpxm=0.56，)(2xm=0.44；其后验概率分别为：86.056.06.08.0)()()/()|(111111xmxpx 27.044.06.02.0)()()/()|(211221xmxpx 14.0)|(156.04.02.0)()()/()|(11122112xxmxpx 为的后果矩阵为单位万元单位万元问该农民应该采取什么行动画出该决策问题的
6、决策树设气象预报的准确性是即其中表示预报干旱表示预报正常年景画决策树求后验概率进行正规型贝叶斯分析求贝叶斯规则讨论两种扩展型贝叶斯分画出该决策问题的决策树解已知农民的效用函数为令则损失函数其效用函数和损失函数图形如下所示精心整理精心整理损失函数矩阵为其决策树如下所示在无观察时已知则风险小者优所以为贝叶斯规则即贝叶斯行动即应选择耐旱作下出现和的条件概率如下根据得其后验概率分别为精心整理进行正规型贝叶斯分析求贝叶斯规则根据策略策略策略精心整理策略因为所以是贝叶斯行动讨论两种扩展型贝叶斯分析扩展型之一或给定预报干旱采用采用根据风险小者优 精心整理 73.0)|(144.04.08.0)()()/()
7、|(21222222xxmxpx 2,1,2,1),(jkxkj 1x 2x 1 0.86 0.27 2 0.14 0.73 进行正规型贝叶斯分析，求贝叶斯规则；根据：jkjjkkijixpxlr)()()(,(),(策略1：)(111xa，)(212xa。)()(),()()(),()()(),()()(),(),(222222211211221111111xpalxpalxpalxpalr=0.620.80.6+1.00.20.6+0.190.20.4+0.00.80.4=0.4328 策略2：)(221xa，)(122xa。)()(),()()(),()()(),()()(),(),(2
8、21222221211121112112xpalxpalxpalxpalr=0.620.20.6+1.00.80.6+0.190.80.4+0.00.20.4 =0.6152 策略3：)(131xa，)(132xa，)()(),()()(),()()(),()()(),(),(221222221211221111113xpalxpalxpalxpalr 为的后果矩阵为单位万元单位万元问该农民应该采取什么行动画出该决策问题的决策树设气象预报的准确性是即其中表示预报干旱表示预报正常年景画决策树求后验概率进行正规型贝叶斯分析求贝叶斯规则讨论两种扩展型贝叶斯分画出该决策问题的决策树解已知农民的效用函数
9、为令则损失函数其效用函数和损失函数图形如下所示精心整理精心整理损失函数矩阵为其决策树如下所示在无观察时已知则风险小者优所以为贝叶斯规则即贝叶斯行动即应选择耐旱作下出现和的条件概率如下根据得其后验概率分别为精心整理进行正规型贝叶斯分析求贝叶斯规则根据策略策略策略精心整理策略因为所以是贝叶斯行动讨论两种扩展型贝叶斯分析扩展型之一或给定预报干旱采用采用根据风险小者优 精心整理=0.620.80.6+1.00.20.6+0.190.80.4+0.00.20.4 =0.4784 策略4：)(241xa，)(242xa，)()(),()()(),()()(),()()(),(),(222222211211
10、121112113xpalxpalxpalxpalr=0.620.20.6+1.00.80.6+0.190.20.4+0.00.80.4=0.5696 因为：),(),(),(),(2431rrrr，所以：2431，1是贝叶斯行动。讨论两种扩展型贝叶斯分析 扩展型之一：dxfxlr)()()(,(或ijjxpxl)()()(,(给定1x(预报干旱)：采用1a：)()(),()()(),(2211211111xpalxpalr=0.620.80.6+0.190.20.4=0.3128 采用2a：)()(),()()(),(2212211121xpalxpalr=10.80.6+00.20.4=0
11、.48 根据“风险小者优”得：给定1x应选1a。给定2x(预报天气正常)：为的后果矩阵为单位万元单位万元问该农民应该采取什么行动画出该决策问题的决策树设气象预报的准确性是即其中表示预报干旱表示预报正常年景画决策树求后验概率进行正规型贝叶斯分析求贝叶斯规则讨论两种扩展型贝叶斯分画出该决策问题的决策树解已知农民的效用函数为令则损失函数其效用函数和损失函数图形如下所示精心整理精心整理损失函数矩阵为其决策树如下所示在无观察时已知则风险小者优所以为贝叶斯规则即贝叶斯行动即应选择耐旱作下出现和的条件概率如下根据得其后验概率分别为精心整理进行正规型贝叶斯分析求贝叶斯规则根据策略策略策略精心整理策略因为所以是
12、贝叶斯行动讨论两种扩展型贝叶斯分析扩展型之一或给定预报干旱采用采用根据风险小者优 精心整理 采用1a，)()(),()()(),(2221211211xpalxpalr=0.620.20.6+0.190.80.4=0.135 采用2a，)()(),()()(),(2222211221xpalxpalr=10.20.6+00.80.4=0.12 根据“风险小者优”得：给定2x应选2a。由此得 Bayes 策略为：)()(2211xaxa。扩展型之二：dxalr)(),(或ixaljj)(),(给定1x(预报干旱)：采用1a：)(),()(),(12121111xalxalr=0.62 0.86+
13、0.19 0.14=0.56 采用2a：)(),()(),(12221121xalxalr=1.00.86+00.14=0.86，根据“风险小者优”得：给定1x时应选行动1a。给定2x(预报天气正常)：采用1a，)(),()(),(22122111xalxalr=0.62 0.27+0.19 0.73=0.3061；采用2a：)(),()(),(22122111xalxalr=1.00.27+00.73=0.27。得：给定2x时应选择行动2a。由此得 Bayes 策略为：)()(2211xaxa。为的后果矩阵为单位万元单位万元问该农民应该采取什么行动画出该决策问题的决策树设气象预报的准确性是即
14、其中表示预报干旱表示预报正常年景画决策树求后验概率进行正规型贝叶斯分析求贝叶斯规则讨论两种扩展型贝叶斯分画出该决策问题的决策树解已知农民的效用函数为令则损失函数其效用函数和损失函数图形如下所示精心整理精心整理损失函数矩阵为其决策树如下所示在无观察时已知则风险小者优所以为贝叶斯规则即贝叶斯行动即应选择耐旱作下出现和的条件概率如下根据得其后验概率分别为精心整理进行正规型贝叶斯分析求贝叶斯规则根据策略策略策略精心整理策略因为所以是贝叶斯行动讨论两种扩展型贝叶斯分析扩展型之一或给定预报干旱采用采用根据风险小者优 精心整理 分析气象预报费用与是否进行气象预报的关系 根据：),(min),(minalEa
15、lEEVPIAaAa 且：448.00.6 0.448,min ),(),(min),(min21alEalEalEAa),(min(alEAa=)(),()(),(222111alal=0.62 0.6+0 0.4=0.372 有：EVPI=0.448-0.372=0.076（万元）故：当气象预报费用小于等于 0.076（万元），即 760 元时，可以采用天气预报。又根据：)(,(min),(minEVSIxlEEalEXAa 且448.00.6 0.448,min ),(),(min),(min21alEalEalEAa)()()(min)(,(min2 1 21xmrxmrxmrxlEE
16、aakaXi=0.4324 则：EVSI=0.448-0.4324=0.0156 0.故该天气预报信息值得花钱。根据效用函数)1(156.1)(02.0yeyu，其效用值为：3811.0)1(156.1)1(156.1)(2002.002.0111111eeyuy；0)1(156.1)1(156.1)(002.002.0121212eeyuy 为的后果矩阵为单位万元单位万元问该农民应该采取什么行动画出该决策问题的决策树设气象预报的准确性是即其中表示预报干旱表示预报正常年景画决策树求后验概率进行正规型贝叶斯分析求贝叶斯规则讨论两种扩展型贝叶斯分画出该决策问题的决策树解已知农民的效用函数为令则损失
17、函数其效用函数和损失函数图形如下所示精心整理精心整理损失函数矩阵为其决策树如下所示在无观察时已知则风险小者优所以为贝叶斯规则即贝叶斯行动即应选择耐旱作下出现和的条件概率如下根据得其后验概率分别为精心整理进行正规型贝叶斯分析求贝叶斯规则根据策略策略策略精心整理策略因为所以是贝叶斯行动讨论两种扩展型贝叶斯分析扩展型之一或给定预报干旱采用采用根据风险小者优 精心整理 8078.0)1(156.1)1(156.1)(6002.002.0212121eeyuy 9996.0)1(156.1)1(156.1)(10002.002.0222222eeyuy 已知：6.0)(1，4.0)(1，再用 L=-u表
18、示损失，则该农民的在各状态下采用各个行动的损失值及主观概率如下：jka)(1a 2a 1 0.6-0.3811 0 2 0.4-0.8078-0.9996 因此，该农民采取种植耐旱作物和不耐旱作物的期望损失为：5518.0)8078.0(4.0)3811.0(6.0)(1aE 3998.0)9996.0(4.006.0)(2aE 根据贝叶斯原则，因为)()(21aEaE，所以有21aa，农民该选择种植耐旱作物。其决策树为：a1 a3 (1)(2)(1)(2)Y12=60 L12=-0.8078 Y21=0，L21=0 Y22=100，L22=-0.9996 Y11=20，L11=-0.3811
19、 为的后果矩阵为单位万元单位万元问该农民应该采取什么行动画出该决策问题的决策树设气象预报的准确性是即其中表示预报干旱表示预报正常年景画决策树求后验概率进行正规型贝叶斯分析求贝叶斯规则讨论两种扩展型贝叶斯分画出该决策问题的决策树解已知农民的效用函数为令则损失函数其效用函数和损失函数图形如下所示精心整理精心整理损失函数矩阵为其决策树如下所示在无观察时已知则风险小者优所以为贝叶斯规则即贝叶斯行动即应选择耐旱作下出现和的条件概率如下根据得其后验概率分别为精心整理进行正规型贝叶斯分析求贝叶斯规则根据策略策略策略精心整理策略因为所以是贝叶斯行动讨论两种扩展型贝叶斯分析扩展型之一或给定预报干旱采用采用根据风险小者优