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1、直线与圆的位置关系知识点 一、直线与圆的位置关系 1.直线和圆相交、相切相离的定义:(1)相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切:直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.2.直线与圆的位置关系的数量特征:设O 的半径为 r，圆心 O 到直线的距离为 d；dr 直线 L 和O 相交.d=r 直线 L 和O 相切.dr 直线 L 和O 相离.3.切线的总判定定理:经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.4.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.
2、推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.垂直于切线;过切点;过圆心.注：证明直线是圆的切线的方法：已知点在圆上，连半径证垂直；未知点在圆上，作垂直证垂线段的长度等于圆的半径。5.三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.6.三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角
3、.由此性质引出一条重要的辅助线:连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.补充（只做了解）1.圆的外切四边形两组对边和相等 2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 3.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 4.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 5.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条 割线与圆的交点的两条线段长的积相等 与圆有关的辅助线 1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.2.如
4、圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.二、练习题 一、选择题 1、（2013 济宁）、如图，以等边三角形 ABC 的 BC 边为直径画半圆，分别交 AB、AC 于点E、D，DF 是圆的切线，过点 F 作 BC 的垂线交 BC 于点 G若 AF 的长为 2，则 FG 的长为 A4 B33 C6 D32 2、(20XX 年山东东营)如图，四边形 ABCD 为菱形，AB=BD，点 B、C、D、G 四个点在同一个圆O 上，连接 BG 并延长交 AD 于点 F，连接 DG 并延长
5、交 AB 于点 E，BD 与 CG 交于点 H，连接 FH，下列结论：AE=DF；FHAB；DGHBGE；当 CG 为O 的直径时，DF=AF 其中正确结论的个数是（D）A 1 B 2 C 3 D 4 3、(20XX 年山东东营)如图，已知扇形的圆心角为 60，半径为，则图中弓形的面积为（）A。B C D 4、（20XX 年山东泰安）如图，P 为O 的直径 BA 延长线上的一点，PC 与O 相切，切点为 C，点 D 是上一点，连接 PD已知PC=PD=BC 下列结论：（1）PD 与O 相切；（2）四边形 PCBD 是菱形；（3）PO=AB；（4）PDB=120 其中正确的个数为（）A 4 个
6、B 3 个 C 2 个 D 1 个 5、（2014 济南）如图，O的半径为 1，ABC是O的内接等边三角形，点 D，E 在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是 A2 B3 C23 D23 A B C D E O 第 5 题图 做直线和圆相交这时直线叫做圆的割线相切直线和圆有惟一公共点时叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线惟一的公共点做切点相离直线和圆没有公共点时叫做直线和圆相离直线与圆的位置关系的数量特征设的半径为圆心到直线的切线切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径推论经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心分析性质定理及两个推论的条件和结论间的
7、关系可得如下结论如果一条直线具备下列三证垂直未知点在圆上作垂直证垂线段的长度等于圆的半径三角形的内切圆内心圆的外切三角形的概念和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆的圆心叫做三角形的内心这个三角形叫做圆的外切三角形三角形内心的性质三 6、如图，已知 AD 是ABC 的外接圆的直径，AD=13 cm，5cos13B，则 AC 的长等于（）A5 cm B6 cm C10 cm D12 cm 7、如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则O的半径为（）A8 B6 C5 D4 8、（2012 佛山）如图，AB
8、为半圆 O 的直径，AD、BC 分别切O 于 A、B 两点，CD 切O于点 E，AD 与 CD 相交于 D，BC 与 CD 相交于 C，连接 OD、OC，对于下列结论：OD2=DE CD；AD+BC=CD；OD=OC；S梯形ABCD=CD OA；DOC=90，其中正确的是（）A B C D 9、（2014 泸州）如图，在平面直角坐标系中，P 的圆心坐标是（3，a）（a3），半径为 3，函数 y=x 的图象被P 截得的弦 AB 的长为，则 a 的值是（）A 4 B C D 10、(2014 武汉)如图，PA、PB 切O 于 A、B 两点，CD 切O 于点 E 交 PA、PB 于 C、D，若O 的
9、半径为 r，PCD 的周长等于 3r，则 tanAPB 的值是（）A13125 B512 C1353 D1332 二、填空题 1、（20XX 年湖南湘潭）如图，O 的半径为 3，P 是 CB 延长线上一点，PO=5，PA 切O于 A 点，则 PA=2、（20XX 年山东泰安）如图，AB 是半圆的直径，点 O 为圆心，OA=5，弦 AC=8，ODAC，垂足为 E，交O 于 D，连接 BE设BEC=，则 sin的值为 A B C O 第 3 题图（第 6 题）A D C B 做直线和圆相交这时直线叫做圆的割线相切直线和圆有惟一公共点时叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线惟一的公共点做切点相离直线和
10、圆没有公共点时叫做直线和圆相离直线与圆的位置关系的数量特征设的半径为圆心到直线的切线切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径推论经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系可得如下结论如果一条直线具备下列三证垂直未知点在圆上作垂直证垂线段的长度等于圆的半径三角形的内切圆内心圆的外切三角形的概念和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆的圆心叫做三角形的内心这个三角形叫做圆的外切三角形三角形内心的性质三 3、（2014 济南）如图，AB与O相切于 C，BA，O的半径为 6，AB16，则 OA的长=4、（2014 成都）
11、如图，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 切O 于点 D，连接 AD若A=25，则C=度 5、如图，MN 为O 的直径，A、B 是O 上的两点，过 A 作 ACMN 于点 C，过 B 作BDMN 于点 D，P 为 DC 上的任意一点，若 MN=20，AC=8，BD=6，则 PA+PB 的最小值是 _ 7、如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）8、（2012 济南）如图，在 RtABC 中，B=90，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩
12、形 EFGH的各边分别与半圆相切且平行于 AB 或 BC，则矩形 EFGH 的周长是 _ 9、（2011 山东济南，21，3 分）如图，ABC 为等边三角形，AB=6，动点O 在ABC 的边上从点 A出发沿着 ACBA的路线匀速运动一周，速度为 1 个长度单位每秒，以 O 为圆心、3为半径的圆在运动过程中与ABC 的边第二次相切时是出发后第 秒 10、（2014 陕西）已知一个直角三角形的面积是 12，周长为 122，则直角三角形的外接圆的半径是 三解答题 1、如图，四边形ABCD内接于O，BD是O 的直径，AECD，垂足为E，DA平分BDE（1）求证：AE是O 的切线；（2）若301cmDB
13、CDEo，求BD的长 D E C B O A 做直线和圆相交这时直线叫做圆的割线相切直线和圆有惟一公共点时叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线惟一的公共点做切点相离直线和圆没有公共点时叫做直线和圆相离直线与圆的位置关系的数量特征设的半径为圆心到直线的切线切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径推论经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系可得如下结论如果一条直线具备下列三证垂直未知点在圆上作垂直证垂线段的长度等于圆的半径三角形的内切圆内心圆的外切三角形的概念和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆的圆心叫做三角形
14、的内心这个三角形叫做圆的外切三角形三角形内心的性质三2、（2013 荆门）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，点 M 是 BC 的中点，P 是线段 MC 上的一个动点（不与 M、C 重合），以 AB 为直径作O，过点 P 作O 的切线，交 AD 于点 F，切点为 E（1）求证：OFBE；（2）设 BP=x，AF=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）延长 DC、FP 交于点 G，连接 OE 并延长交直线 DC 与 H（图 2），问是否存在点 P，使EFOEHG（E、F、O 与 E、H、G 为对应点）？如果存在，试求（2）中 x 和 y 的值；如果不存在，
15、请说明理由 3、（2014 临沂）如图，已知等腰三角形 ABC 的底角为 30，以 BC 为直径的O 与底边 AB交于点 D，过 D 作 DEAC，垂足为 E（1）证明：DE 为O 的切线；（2）连接 OE，若 BC=4，求OEC 的面积 做直线和圆相交这时直线叫做圆的割线相切直线和圆有惟一公共点时叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线惟一的公共点做切点相离直线和圆没有公共点时叫做直线和圆相离直线与圆的位置关系的数量特征设的半径为圆心到直线的切线切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径推论经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心分析性质定理及两个推论的条件和结
16、论间的关系可得如下结论如果一条直线具备下列三证垂直未知点在圆上作垂直证垂线段的长度等于圆的半径三角形的内切圆内心圆的外切三角形的概念和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆的圆心叫做三角形的内心这个三角形叫做圆的外切三角形三角形内心的性质三4、(20XX 年山东东营)如图，AB 是O 的直径，OD 垂直于弦 AC 于点 E，且交O 于点 D，F 是 BA 延长线上一点，若CDB=BFD（1）求证：FD 是O 的一条切线；（2）若 AB=10，AC=8，求 DF 的长 5、（2013 十堰）如图 1，ABC 中，CA=CB，点 O 在高 CH 上，ODCA 于点 D，OECB于点 E，以
17、O 为圆心，OD 为半径作O（1）求证：O 与 CB 相切于点 E；（2）如图 2，若O 过点 H，且 AC=5，AB=6，连接 EH，求BHE 的面积和 tanBHE 的值 6、（2014 菏泽）如图，AB是O的直径，点 C在 0O上，连接 BC，AC，作 OD BC与过点 A的切线交于点 D，连接 DC并延长交 AB的延长线于点 E（1)求证：DE是O的切线；(2)若32DECE，求 cos ABC的值 6 题图 做直线和圆相交这时直线叫做圆的割线相切直线和圆有惟一公共点时叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线惟一的公共点做切点相离直线和圆没有公共点时叫做直线和圆相离直线与圆的位置关系的数量
18、特征设的半径为圆心到直线的切线切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径推论经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系可得如下结论如果一条直线具备下列三证垂直未知点在圆上作垂直证垂线段的长度等于圆的半径三角形的内切圆内心圆的外切三角形的概念和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆的圆心叫做三角形的内心这个三角形叫做圆的外切三角形三角形内心的性质三7、（2014 潍坊）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，B=900，以 AB为直径作O，恰与另一腰CD相切于点 E，连接 OD、OC、BE (1)求证：ODBE；(2)
19、若梯形 ABCD 的面积是 48，设 OD=x，OC=y，且 x+y=14，求 CD的长 8、（2014 德州）如图，O 的直径 AB为 10cm，弦 BC 为 5cm，D、E 分别是ACB的平分线与O，AB 的交点，P 为 AB延长线上一点，且 PC=PE（1）求 AC、AD 的长；（2）试判断直线 PC 与O 的位置关系，并说明理由 9、（2014威海）如图，在ABC 中，C=90，ABC的平分线交 AC于点 E，过点 E作 BE的垂线交 AB于点 F，O是BEF的外接圆（1）求证：AC是O的切线（2）过点 E作 EHAB 于点 H，求证：CD=HF 做直线和圆相交这时直线叫做圆的割线相切
20、直线和圆有惟一公共点时叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线惟一的公共点做切点相离直线和圆没有公共点时叫做直线和圆相离直线与圆的位置关系的数量特征设的半径为圆心到直线的切线切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径推论经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系可得如下结论如果一条直线具备下列三证垂直未知点在圆上作垂直证垂线段的长度等于圆的半径三角形的内切圆内心圆的外切三角形的概念和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆的圆心叫做三角形的内心这个三角形叫做圆的外切三角形三角形内心的性质三O 第 12 题图 x y A
21、B P C D 10、（2012 济南）如图 1，抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴相交于点 A（-3，0），B（-1，0），与y 轴相交于点 C，O1 为ABC 的外接圆，交抛物线于另一点 D（1）求抛物线的解析式；（2）求 cosCAB 的值和O1 的半径；11、（2010 济南）如图所示，菱形 ABCD 的顶点 A、B 在 x 轴上，点 A在点 B 的左侧，点 D 在 y 轴的正半轴上，BAD=60，点 A的坐标为(2，0)求线段 AD 所在直线的函数表达式 动点 P 从点 A出发，以每秒 1 个单位长度的速度，按照 ADCBA的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为 t 秒求
22、 t 为何值时，以点 P 为圆心、以 1 为半径的圆与对角线 AC 相切？做直线和圆相交这时直线叫做圆的割线相切直线和圆有惟一公共点时叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线惟一的公共点做切点相离直线和圆没有公共点时叫做直线和圆相离直线与圆的位置关系的数量特征设的半径为圆心到直线的切线切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径推论经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系可得如下结论如果一条直线具备下列三证垂直未知点在圆上作垂直证垂线段的长度等于圆的半径三角形的内切圆内心圆的外切三角形的概念和三角形各边都相切的圆叫做三角形的
23、内切圆内切圆的圆心叫做三角形的内心这个三角形叫做圆的外切三角形三角形内心的性质三12、（2014 济宁）已知，如图（1），在面积为 S 的ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆 O 的半径为 r连接 OA、OB、OC，ABC 被划分为三个小三角形 S=SOBC+SOAC+SOAB=BC r+AC r+AB r=（a+b+c）r r=（1）类比推理：若面积为 S 的四边形 ABCD 存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为 AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径 r；（2）理解应用：如图（3），在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，AB=21，CD=
24、11，AD=13，O1与O2分别为ABD 与BCD 的内切圆，设它们的半径分别为 r1和 r2，求的值 做直线和圆相交这时直线叫做圆的割线相切直线和圆有惟一公共点时叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线惟一的公共点做切点相离直线和圆没有公共点时叫做直线和圆相离直线与圆的位置关系的数量特征设的半径为圆心到直线的切线切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径推论经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系可得如下结论如果一条直线具备下列三证垂直未知点在圆上作垂直证垂线段的长度等于圆的半径三角形的内切圆内心圆的外切三角形的概念和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆的圆心叫做三角形的内心这个三角形叫做圆的外切三角形三角形内心的性质三