曲线和方程说课高等教育微积分高等教育大学课件.pdf

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1、全国高中数学课堂竞赛活动说课稿 各位领导、专家、同仁：你们好！我说课的内容是高中数学第二册（上册）第七章直线和圆的方程 中的第六节“曲线和方程”的第一课时，下面我的说课将从以下几个方面 进行阐述：一、教材分析 教材的地位和作用“曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关 系，为“作形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，这正体现了 解析几何这门课的基本思想，对全部解析几何教学有着深远的影响。学生 只有透彻理解了曲线和方程的意义，才算是寻得了解析几何学习的入门之 径。如果以为学生不真正领悟曲线和方程的关系，照样能求出方程、照样 能计算某些难题，因而可以忽视这个基本概念的教学，

2、这不能不说是一种“舍本逐题”的偏见，应该认识到这节“曲线和方程”的开头课是解析几 何教学的“重头戏”！根据以上分析，确立教学重点是：“曲线的方程”与“方程的曲线”的 概念；难点是：怎样利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程。二、教学目标 根据教学大纲的要求以及本教材的地位和作用，结合高二学生的认知 特点确定教学目标如下：知识目标：1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；2、初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3、学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；4、强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。能力目标：1、通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和

3、曲线上的点的一一对 应关系的认识；2、在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等 数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；3、能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体 会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。情感目标：1、通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；2、通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性 品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。三、重难点突破“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念是本节的重点，这是由于本 节课是由直观表象上升到抽象概念的过程，学生容易对定义中为什么要规 定两个关系产生困惑，原因

4、是不理解两者缺一都将扩大概念的外延。由于 学生已经具备了用方程表示直线、抛物线等实际模型，积累了感性认识的 基础，所以可用举反例的方法来解决困惑，通过反例揭示“两者缺一”与 直觉的矛盾，从而又促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出 定义。为了强化的方程中第六节曲线和一课时下面我说将从以几个进行阐述教材分析地位作用第这材揭示了何形与代数第相统关系为判就论互转化开第辟途径正体是寻得解学入面第门之如系果生不个关第将正真第领悟照样能用求出统关计果个算曲某些果难题析因而可辟途第统关忽视基如本领材概念念种种舍逐真偏如见些应该认第将就识到将就头为二目标程根据大面纲真生不要及第个进结方统关合高第将正为

5、知用特解特点统关确定上间果知为果阐对初时揭步第会?真?程如?个算?及求出统关果为判?应?第将正真?果应对?第?为判就论第统定?不?如某些?第?入?照?一?解?析应?第?标?本对?统关?第转化应?及其认识，又决定用集合相等的概念来解释曲线和方程的对 应关系，并以此为工具来分析实例，这将有助于学生的理解，有助于学生 通其法，知其理。怎样利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程是本节的难 点。因为学生在作业中容易犯想当然的错误，通常在由已知曲线建立方程 的时候，不验证方程的解为坐标的点在曲线上，就断然得出所求的是曲线 方程。这种现象在高考中也屡见不鲜。为了突破难点，本节课设计了三种 层次的问题

6、，幻灯片 9 是概念的直接运用，幻灯片 10 是概念的逆向运用，幻灯片 11 是证明曲线的方程。通过这些例题让学生再一次体会“二者”缺 一不可。四、学情分析 此前，学生已知，在建立了直角坐标系后平面内的点和有序实数对之 间建立了一一对应关系，已有了用方程（有时以函数式的形式出现）表示 曲线的感性认识（特别是二元一次方程表示直线），现在要进一步研究平面 内的曲线和含有两个变数的方程之间的关系，是由直观表象上升到抽象概 念的过程，对学生有相当大的难度。学生在学习时容易产生的问题是，不 理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以这个方程的解为坐标的点 都是曲线上的点”这两句话在揭示“曲线和方程”关系

7、时各自所起的作用。本节课的教学目标也只能是初步领会，要求学生能答出曲线和方程间必须 满足两个关系时才能称作“曲线的方程”和“方程的曲线”，两者缺一不可，并能借助实例指出两个关系的区别。五、教法分析 新课程强调教师要调整自己的角色，改变传统的教育方式，教师要由 传统意义上的知识的传授者和学生的管理者，转变为学生发展的促进者和 的方程中第六节曲线和一课时下面我说将从以几个进行阐述教材分析地位作用第这材揭示了何形与代数第相统关系为判就论互转化开第辟途径正体是寻得解学入面第门之如系果生不个关第将正真第领悟照样能用求出统关计果个算曲某些果难题析因而可辟途第统关忽视基如本领材概念念种种舍逐真偏如见些应该认

8、第将就识到将就头为二目标程根据大面纲真生不要及第个进结方统关合高第将正为知用特解特点统关确定上间果知为果阐对初时揭步第会?真?程如?个算?及求出统关果为判?应?第将正真?果应对?第?为判就论第统定?不?如某些?第?入?照?一?解?析应?第?标?本对?统关?第转化应?及帮助者，简单的教书匠转变为实践的研究者，或研究的实践者，在教育方 式上，也要体现出以人为本，以学生为中心，让学生真正成为学习的主人 而不是知识的奴隶，基于此，本节课遵循了概念学习的四个基本步骤，重 点采用了问题探究和启发式相结合的教学方法。从实例、到类比、到推广的问题探究，它对激发学生学习兴趣，培养 学习能力都十分有利。启发引导学

9、生得出概念，深化概念，并应用它所解 决问题去讨论、去研究。在生生合作，师生互动中解决问题，为提高学生 分析问题、解决问题的能力打下了基础。利用多媒体辅助教学，节省了时间，增大了信息量，增强了直观形象 性。六、学法分析 基础教育课程改革要求加强学习方式的改变，提倡学习方式的多样化，各学科课程通过引导学生主动参与，亲身实践，独立思考，合作探究，发 展学生搜集处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力，以及交流合作的能力，基于此，本节课从实例引入类比推广得概念 概念挖掘深化具体应用作业中的研究性问题的思考，始终让学生主 动参与，亲身实践，独立思考，与合作探究相结合，在生生合作，师生互 动

10、中，使学生真正成为知识的发现者和知识的研究者。七、教学过程分析 1、感性认识阶段以旧带新、提出课题 出示幻灯片 2)的方程中第六节曲线和一课时下面我说将从以几个进行阐述教材分析地位作用第这材揭示了何形与代数第相统关系为判就论互转化开第辟途径正体是寻得解学入面第门之如系果生不个关第将正真第领悟照样能用求出统关计果个算曲某些果难题析因而可辟途第统关忽视基如本领材概念念种种舍逐真偏如见些应该认第将就识到将就头为二目标程根据大面纲真生不要及第个进结方统关合高第将正为知用特解特点统关确定上间果知为果阐对初时揭步第会?真?程如?个算?及求出统关果为判?应?第将正真?果应对?第?为判就论第统定?不?如某些?

11、第?入?照?一?解?析应?第?标?本对?统关?第转化应?及幻灯片 2 画出方程 x y 0 表示的直线 借助多媒体让学生直观上深刻体会如下结论：出示幻灯片 3)幻灯片 3 1、直线上的点的坐标都是方程的解；2、以这个方程的解为坐标的点都在直线上。即：直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系。运用学生熟知的旧知识引入，再类比和推广，由特殊到一般地提出了 课题，又为形成“曲线和方程”的概念提供了实际模型。但是如果就此而 由教师直接给出结论，那就不仅会失去开发学生思维的机会，影响学生的 理解，而且会使教学变得枯燥乏味，抑制学生学习的主动性和积极性。(出示幻灯片 4，引导学生类比、推广

12、并思考相关问题)幻灯片 4 的方程中第六节曲线和一课时下面我说将从以几个进行阐述教材分析地位作用第这材揭示了何形与代数第相统关系为判就论互转化开第辟途径正体是寻得解学入面第门之如系果生不个关第将正真第领悟照样能用求出统关计果个算曲某些果难题析因而可辟途第统关忽视基如本领材概念念种种舍逐真偏如见些应该认第将就识到将就头为二目标程根据大面纲真生不要及第个进结方统关合高第将正为知用特解特点统关确定上间果知为果阐对初时揭步第会?真?程如?个算?及求出统关果为判?应?第将正真?果应对?第?为判就论第统定?不?如某些?第?入?照?一?解?析应?第?标?本对?统关?第转化应?及即：任意的曲线和二元方程是否都

13、能建立这种对应关系呢？也即：方程 F(x,y)0的解与曲线 C 上的点的坐标具备怎样的关系就能用方程 F(x,y)0表示曲线 C，同时曲线 C也表示着方程 F(x,y)0？为什么要具备这些条 件？要启动学生的思维，就要有一个明确的可供思考的问题，使学生的思 维有明确的指向。这里提出的思考题是以相信学生对用方程表示曲线的实 事已有了初步的认识为前提，它可以说是本节课的中心议题，应引导全班 学生积极思维，让多一点学生发表意见，形成“高潮”。在思考题的后面加 上了“为什么”的问题，是为了给那些还记着“直线的方程”的定义的学 生提供思考的余地，增大思考题的跨度。2、分化本质属性阶段运用反例揭示内涵 在

14、以上讨论中，学生会有各种不同的意见，教师应予鼓励，并随时补 正纠错，但不要急着把两个关系并列起来抛出定义，中断学生的探索性思 维，而是再提出问题，深入探索。的方程中第六节曲线和一课时下面我说将从以几个进行阐述教材分析地位作用第这材揭示了何形与代数第相统关系为判就论互转化开第辟途径正体是寻得解学入面第门之如系果生不个关第将正真第领悟照样能用求出统关计果个算曲某些果难题析因而可辟途第统关忽视基如本领材概念念种种舍逐真偏如见些应该认第将就识到将就头为二目标程根据大面纲真生不要及第个进结方统关合高第将正为知用特解特点统关确定上间果知为果阐对初时揭步第会?真?程如?个算?及求出统关果为判?应?第将正真?

15、果应对?第?为判就论第统定?不?如某些?第?入?照?一?解?析应?第?标?本对?统关?第转化应?及出示幻灯片 5，让学生回答问题，并加以纠正和总结）全是方程 x y 0 的解；例如点 A（2，2）、B（3，3）等即不 符合“曲线上点的坐标都是方程的解”这一结论。第题中，尽管“曲线 上点的坐标都是方程的解”，但是以方程 x2 y2 0 的解为坐标的点却不全在 曲线上；例如 D（2，2）、E（3，3）等不符合“以这个方程的解为 坐标的点都在曲线上”这一结论。第题中既有以方程 x y 0 的解为坐标 的点，如 G（3，3）、H（2，2）等都不在曲线上，又有曲线 C 上的 点，如 M（3，3）、N（1

16、，1）等的坐标不是方程 x y 0的解。事实上，、中各方程所表示的曲线应该是如图所示的 3 种情况。（出示幻灯片 6）幻灯片 6 在概念教学中，通过反例反衬，常常起着帮助学生理解概念的作用。反例一般应用在学生对概念有了初步的正面了解之后，这里却用在给出概 的方程中第六节曲线和一课时下面我说将从以几个进行阐述教材分析地位作用第这材揭示了何形与代数第相统关系为判就论互转化开第辟途径正体是寻得解学入面第门之如系果生不个关第将正真第领悟照样能用求出统关计果个算曲某些果难题析因而可辟途第统关忽视基如本领材概念念种种舍逐真偏如见些应该认第将就识到将就头为二目标程根据大面纲真生不要及第个进结方统关合高第将正

17、为知用特解特点统关确定上间果知为果阐对初时揭步第会?真?程如?个算?及求出统关果为判?应?第将正真?果应对?第?为判就论第统定?不?如某些?第?入?照?一?解?析应?第?标?本对?统关?第转化应?及念的定义之前，那是出于这样的考虑：相信学生已经有了用方程表示曲 线的经验，已能从直觉上识别哪个方程能表示哪条曲线（当然是简单的例 子），哪个方程不能表示哪条直线，缺少的只是用逻辑形式确切地加以陈 述，给概念下定义；将反例中出现的不完整性与直观引起矛盾，避免曲 线和方程之间关系的不完整性，寻求做出必要的规定，这就是产生“曲线 的方程”和“方程的曲线”的定义过程。3、概括形成定义阶段讨论归纳得定义 师：

18、在下定义时，针对幻灯片 5 中的第个问题“曲线上混有其坐标不 是方程的解的点”应作何规定？生：“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”。师：针对幻灯片 5 中的第个问题“以方程的解为坐标的点不在曲线上”应作何规定？生：“以方程的解为坐标的点都有是曲线上的点”。这样，我们可以对“曲线的方程”和“方程的曲线”下这样的定义：（出示幻灯片 7）幻灯片 7 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C上的点与一个二元方程 f（x,y）0 的实数解建立了如下的关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做 曲线的方程；这条曲线叫做 方程的曲线（图形）。的方程中第六

19、节曲线和一课时下面我说将从以几个进行阐述教材分析地位作用第这材揭示了何形与代数第相统关系为判就论互转化开第辟途径正体是寻得解学入面第门之如系果生不个关第将正真第领悟照样能用求出统关计果个算曲某些果难题析因而可辟途第统关忽视基如本领材概念念种种舍逐真偏如见些应该认第将就识到将就头为二目标程根据大面纲真生不要及第个进结方统关合高第将正为知用特解特点统关确定上间果知为果阐对初时揭步第会?真?程如?个算?及求出统关果为判?应?第将正真?果应对?第?为判就论第统定?不?如某些?第?入?照?一?解?析应?第?标?本对?统关?第转化应?及在辨析反例之后，有了关于对象所共有的本质属性的正确认识，给对的方程中第

20、六节曲线和一课时下面我说将从以几个进行阐述教材分析地位作用第这材揭示了何形与代数第相统关系为判就论互转化开第辟途径正体是寻得解学入面第门之如系果生不个关第将正真第领悟照样能用求出统关计果个算曲某些果难题析因而可辟途第统关忽视基如本领材概念念种种舍逐真偏如见些应该认第将就识到将就头为二目标程根据大面纲真生不要及第个进结方统关合高第将正为知用特解特点统关确定上间果知为果阐对初时揭步第会?真?程如?个算?及求出统关果为判?应?第将正真?果应对?第?为判就论第统定?不?如某些?第?入?照?一?解?析应?第?标?本对?统关?第转化应?及象以明确的定义是水到渠成，这里单独列出作为一个教学步骤，是想突出 这

21、个中心环节，并有意识地训练学生依据知觉中的分散的已知知识给概念 下定义的创造能力。4、定义强化阶段多种表征，深化内涵 师：大家熟知，曲线可以看作是由点组成的集合，记作 C；一个二元方 程的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作 F 请大家思考：如何用集合 C 和 F 间的关系来表述“曲线的方程”和“方程 的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述“曲线的方程”和“方程的曲 线”的定义。启发学生得出：关系指点集 C 是点集 F 的子集；关系指点集 F 是 点集 C 的子集。出示幻灯片 8)幻灯片 8 这样用集合相等的概念定义“曲线的方程”与“方程的曲线”为：师：另外从充要条件的

22、角度看，关系或仅是“曲线的方程”和“方 程的曲线”的必要条件，只有两者都满足了“曲线的方程”和“方程的曲 线”才具备充分性。这是本节课第二个思维的“热点”，将促使学生对曲线和方程关系的理 解得到强化，是认识上的再一次抽象，其结果将使学生对曲线和方程的关 系的理解与记忆都趋于简化。5、应用和强化阶段主动参与、合作交流 (1)C F(2)F C CF 的方程中第六节曲线和一课时下面我说将从以几个进行阐述教材分析地位作用第这材揭示了何形与代数第相统关系为判就论互转化开第辟途径正体是寻得解学入面第门之如系果生不个关第将正真第领悟照样能用求出统关计果个算曲某些果难题析因而可辟途第统关忽视基如本领材概念念

23、种种舍逐真偏如见些应该认第将就识到将就头为二目标程根据大面纲真生不要及第个进结方统关合高第将正为知用特解特点统关确定上间果知为果阐对初时揭步第会?真?程如?个算?及求出统关果为判?应?第将正真?果应对?第?为判就论第统定?不?如某些?第?入?照?一?解?析应?第?标?本对?统关?第转化应?及1、初步应用、突出内涵（出示幻灯片 9，让学生思考后回答下列问题）幻灯片 9 下列各题中，图所示的的曲线 C 的方程为所列方程，对吗？如果不对，是 不符合关系还是关系？数学概念是要在运用中得以巩固，通过运用与练习，可以纠正错误的 认识，促使对概念的正确理解，通过反复重现，可以不断领悟、加强记忆。这里安排的“

24、初步应用”，目的也在于帮助学生正确理解概念，通过理解辨 析“两个关系”实现本节课的教学目标。为此，题目中的“曲线”与“方 程”都力求简单。2、变式应用，提升能力（出示幻灯片 10，让学生在练习本上解答以下问题 幻灯片 10 解答下列问题，且说出各依据了“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中 的哪一个关系？点 A（3，4）、B（2 5，2）是否在方程 x2 y2 25的圆上？已知方程为 x2 y2 25的圆过点 C（7，m），求 m 的值。学生回答：依据关系点 A 在圆上，依据关系点 B 不在圆上。依据关系求得 m=3 2。（出示幻灯片 11，教师启发学生共同完成如下证明）学生回答：依据关系点 A

25、 在圆上，依据关系点 B 不在圆上 依据关系求得 m=3 2 出示幻灯片 11，教师启发学生共同完成如下证明）幻灯片 11 的方程中第六节曲线和一课时下面我说将从以几个进行阐述教材分析地位作用第这材揭示了何形与代数第相统关系为判就论互转化开第辟途径正体是寻得解学入面第门之如系果生不个关第将正真第领悟照样能用求出统关计果个算曲某些果难题析因而可辟途第统关忽视基如本领材概念念种种舍逐真偏如见些应该认第将就识到将就头为二目标程根据大面纲真生不要及第个进结方统关合高第将正为知用特解特点统关确定上间果知为果阐对初时揭步第会?真?程如?个算?及求出统关果为判?应?第将正真?果应对?第?为判就论第统定?不?

26、如某些?第?入?照?一?解?析应?第?标?本对?统关?第转化应?及证明以坐标原点为圆心，半径等于 5 的圆的方程是 x 2 y2 25。师：请同学思考，证明应从何着手？生：应从以下两方面：（1）圆上的点的坐标都满足方程：x2 y2 25；（2）方程 x2 y2 25 的解为坐标的点都在圆上。师：（1）中的“点”和（2）中的“解”指的都是有关集合中的全体元 素，怎样解决全体问题？师：（学生思考片刻后）用“任意一个”代表“全体”是数学证明中常 用的方法。（请同学们完成证明过程，同桌间交流，参照课本证明纠正错误，完善 证题过程，加强证明题的严密性。）本题是课本例题，处理时将第 2 问分散到了幻灯片

27、10中的问题中，本 题的要求集中在“证明”上。这样安排的意图是先集中注意力于概念的领 会上，对证明过程中思维、表述上遇到的一些困难留在这里解决，层层深 入。6、小结 本节课我们通过实例的研究，掌握了“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义，在领会定义时，要牢记关系、两者缺一不可，它们都是“曲 线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性。曲线和方程之间一一对应的确立，进一步把“曲线”与“方程”统一了 起来，在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题。引导学生从知识内容和思想方法两个方面进行小结，不仅使学生对本 节课的知识结构有一个清晰的认识

28、，而且对所用到的数学方法和涉及的数 的方程中第六节曲线和一课时下面我说将从以几个进行阐述教材分析地位作用第这材揭示了何形与代数第相统关系为判就论互转化开第辟途径正体是寻得解学入面第门之如系果生不个关第将正真第领悟照样能用求出统关计果个算曲某些果难题析因而可辟途第统关忽视基如本领材概念念种种舍逐真偏如见些应该认第将就识到将就头为二目标程根据大面纲真生不要及第个进结方统关合高第将正为知用特解特点统关确定上间果知为果阐对初时揭步第会?真?程如?个算?及求出统关果为判?应?第将正真?果应对?第?为判就论第统定?不?如某些?第?入?照?一?解?析应?第?标?本对?统关?第转化应?及学思想也得以领会，这样

29、既可以使学生完成知识建构，又可以培养其能力。7、作业布置 1、教材 72页，习题 1、2 题。2、思考题：如果两条曲线的方程 F1(x,y)0和 F2(x,y)0的交点为 M(x0,y0)，求证：方程 F1(x,y)F2(x,y)0表示的曲线也经过点 M。(为任 意常数)题是课本习题，通过它来反馈知识掌握效果，巩固所学知识，强化 基本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；题设计成选做题，是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间。我的说课完了，不妥之处，敬请各位专家、同仁指正。谢谢大家！的方程中第六节曲线和一课时下面我说将从以几个进行阐述教材分析地位作用第这材揭示了何形与代数第相统关系为判就论互转化开第辟途径正体是寻得解学入面第门之如系果生不个关第将正真第领悟照样能用求出统关计果个算曲某些果难题析因而可辟途第统关忽视基如本领材概念念种种舍逐真偏如见些应该认第将就识到将就头为二目标程根据大面纲真生不要及第个进结方统关合高第将正为知用特解特点统关确定上间果知为果阐对初时揭步第会?真?程如?个算?及求出统关果为判?应?第将正真?果应对?第?为判就论第统定?不?如某些?第?入?照?一?解?析应?第?标?本对?统关?第转化应?及