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1、学习必备 欢迎下载 一元二次不等式及其解法典型例题透析 类型一：解一元二次不等式 例 1.解下列一元二次不等式（1）250 xx；（2）2440 xx；（3）2450 xx 思路点拨:转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.解析：（1）方法一：因为2(5)4 1 0250 所以方程250 xx的两个实数根为：10 x，25x 函数25yxx的简图为：因而不等式250 xx的解集是|05xx.方法二：250(5)0 xxx x 050 xx 或050 xx 解得05xx 或 05xx，即05x 或x.因而不等式250 xx的解集是|05xx.（2）方法一：因为0，方程2440 xx
2、的解为122xx.函数244yxx的简图为：所以，原不等式的解集是|2x x 方法二：2244(2)0 xxx（当2x 时，2(2)0 x）所以原不等式的解集是|2x x （3）方法一：原不等式整理得2450 xx.学习必备 欢迎下载 因为0，方程2450 xx 无实数解，函数245yxx的简图为：所以不等式2450 xx 的解集是.所以原不等式的解集是.方法二：2245(2)110 xxx 原不等式的解集是.总结升华：1.初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2.当0时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第 2、3 小题）；当0且是一个完全平方数
3、时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第 1 小题）.3.当二次项的系数小于 0 时，一般都转化为大于 0 后，再解答.举一反三：【变式 1】解下列不等式(1)22320 xx；(2)23620 xx (3)24410 xx；(4)2230 xx .【答案】（1）方法一：因为2(3)42(2)250 方程22320 xx 的两个实数根为：112x ，22x 函数2232yxx的简图为：因而不等式22320 xx 的解集是：1|22x xx 或.方法二：原不等式等价于21)(2)0 xx（,原不等式的解集是：1|22x xx 或.（2）整理，原式可化为23620 xx,因为0,方程23620
4、xx 的解1313x ，2313x ，点拨转化为相应的函数数形结合解决或利用符号法则解答解析方法一因为所以方程的两个实数根为的简图为函数因而不等式的解集是方法二或解得或即的解集是因而不等式方法一因为或方程的解为函数的简图为所以原不等式的解集以不等式的解集是所以原不等式的解集是方法二原不等式的解集是总结升华初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决培养并提高数形结合的分析能力时用配方法结合符号法则解答比较简洁如第小题当当是一个完全平方解下列不等式答案方法一且因为方程的两个实数根为函数的简图为因而不等式的解集是或方法二原不等式等价于原不等式的解集是或整理原式可化为因为方程的解学习必备欢迎下载
5、函数的简图为所以不等式的解集是方法一因为方程学习必备 欢迎下载 函数2362yxx的简图为：所以不等式的解集是33(1,1)33.（3）方法一：因为0 方程24410 xx 有两个相等的实根：1212xx，由函数2441yxx的图象为：原不等式的的解集是1 2.方法二：原不等式等价于：2(21)0 x,原不等式的的解集是1 2.（4）方法一：因为0，方程2230 xx 无实数解，由函数223yxx 的简图为：原不等式的解集是.方法二：2223(1)220 xxx ，原不等式解集为.【变式 2】解不等式：2666xx 【答案】原不等式可化为不等式组 226666xxxx ，即221200 xxx
6、x ，即(4)(3)0(1)0 xxx x ，解得3410 xxx 或 原不等式的解集为|3014xxx 或.类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数 例 2.不等式20 xmxn 的解集为(4,5)x，求关于x的不等式210nxmx 的解集。思路点拨:由二次不等式的解集为(4,5)可知：4、5 是方程20 xmxn 的二根，故由韦达定理可求出m、n的值，从而解得.点拨转化为相应的函数数形结合解决或利用符号法则解答解析方法一因为所以方程的两个实数根为的简图为函数因而不等式的解集是方法二或解得或即的解集是因而不等式方法一因为或方程的解为函数的简图为所以原不等式的解集以不等式的解集是所以原不等式
7、的解集是方法二原不等式的解集是总结升华初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决培养并提高数形结合的分析能力时用配方法结合符号法则解答比较简洁如第小题当当是一个完全平方解下列不等式答案方法一且因为方程的两个实数根为函数的简图为因而不等式的解集是或方法二原不等式等价于原不等式的解集是或整理原式可化为因为方程的解学习必备欢迎下载函数的简图为所以不等式的解集是方法一因为方程学习必备 欢迎下载 解析：由题意可知方程20 xmxn 的两根为4x 和5x 由韦达定理有45m ，4 5n 9m ，20n 210nxmx 化为220910 xx，即220910 xx (41)(51)0 xx，解得114
8、5x ，故不等式210nxmx 的解集为11(,)45.总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。举一反三：【变式 1】不等式 ax2+bx+120的解集为x|-3x2，则 a=_,b=_。【答案】由不等式的解集为x|-3x2 知 a0 对一切实数 x 恒成立，求实数 m的取值范围。思路点拨:不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为 R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。解析：(1)当 m2+4m-5=0时，m=1或 m=-5 若 m=1，
9、则不等式化为 30,对一切实数 x 成立，符合题意。若 m=-5，则不等式为 24x+30，不满足对一切实数 x 均成立，所以 m=-5舍去。(2)当 m2+4m-50 即 m1且 m-5 时，由此一元二次不等式的解集为 R知，抛物线 y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3 开口向上，且与 x 轴无交点，所以0)5m4m(12)1m(1605m4m222，即19m15m1m或，1m19。综上所述，实数 m的取值范围是m|1 m0；（3）x2-(a+1)x+a0，即a2或a-2时，原不等式的解集为2424|22aaxaaxx或 当=0，即 a=2 或-2 时，原不等式的解集为|2ax x
10、。当0，即-2a2时，原不等式的解集为 R。（3）(x-1)(x-a)1 时，原不等式的解集为x|1xa 当 a1 时，原不等式的解集为x|ax1 当 a=1 时，原不等式的解集为。总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；求根：求相应方程的根。当无法判断判别式与 0 的关系时，要引入讨论，分类求解；定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。举一反三：【变式1】解关于x的不等式：)0(01)1(2axaax【答案】原不等式化为0)1)(axax a=1或a=-1时，解集为；当0a1 或a1或-
11、1a0时，点拨转化为相应的函数数形结合解决或利用符号法则解答解析方法一因为所以方程的两个实数根为的简图为函数因而不等式的解集是方法二或解得或即的解集是因而不等式方法一因为或方程的解为函数的简图为所以原不等式的解集以不等式的解集是所以原不等式的解集是方法二原不等式的解集是总结升华初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决培养并提高数形结合的分析能力时用配方法结合符号法则解答比较简洁如第小题当当是一个完全平方解下列不等式答案方法一且因为方程的两个实数根为函数的简图为因而不等式的解集是或方法二原不等式等价于原不等式的解集是或整理原式可化为因为方程的解学习必备欢迎下载函数的简图为所以不等式的解集
12、是方法一因为方程学习必备 欢迎下载 若210aa，即210a时，),1 2,(ax；若210，aa，即21a时，xR；若210aa，即21a时，),21,(ax.当a0时，则有：21a，21，ax。【变式2】解关于x的不等式：ax22x-10时，则0，)11,11(aaaax.a0时，若a0，0，即a-1时，xR；若a0，=0，即a=-1时，xR且x1；若a0，即-1a0【答案】若 a=0，原不等式化为-x+10，解集为x|x1；若 a0，原不等式为关于 x 的一元二次不等式.方程012 xax的判别式=1-4a ()当=1-4a0，即41a时，方程012 xax有两个不等实数根 aax241
13、11，aax24112，当410 a时，函数1)(2xaxxf的图象开口向上，与 x 轴有两个不同的交点，且21xx，其简图如下：所以，此时不等式012 xax的解集为,24112411,aaaa；当 a0 时，函数1)(2xaxxf的图象开口向下，与 x 轴有两个不同的交点，且21xx，其简图如下：所以，此时不等式012 xax的解集为aaaa2411,2411；综上所述：a0 时，原不等式解集为aaaa2411,2411；a=0 时，原不等式解集为(,1)；410 a时，原不等式解集为,24112411,aaaa；41a时，原不等式解集为),2()2,(；41a时，原不等式解集为实数集 R
14、.点拨转化为相应的函数数形结合解决或利用符号法则解答解析方法一因为所以方程的两个实数根为的简图为函数因而不等式的解集是方法二或解得或即的解集是因而不等式方法一因为或方程的解为函数的简图为所以原不等式的解集以不等式的解集是所以原不等式的解集是方法二原不等式的解集是总结升华初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决培养并提高数形结合的分析能力时用配方法结合符号法则解答比较简洁如第小题当当是一个完全平方解下列不等式答案方法一且因为方程的两个实数根为函数的简图为因而不等式的解集是或方法二原不等式等价于原不等式的解集是或整理原式可化为因为方程的解学习必备欢迎下载函数的简图为所以不等式的解集是方法一因为方程