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1、“小学数学基本思想”解读 刘玉和 数学课程标准（2011 版）在总体目标中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”把“基本思想”作为“四基”之一，这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位。那么，什么是数学基本思想？数学“基本思想”蕴涵在教材的哪些内容之中？教学中怎样帮助学生获得“基本思想”呢？一、什么是数学基本思想？数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有
2、奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。史宁中教授指出：基本数学思想不应当是个案的，而必须是一般的。这大概需要满足两个条件：一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想。二是学习过数学的人所具有的思维特征。这些特征表现在日常的生活之中。这就可以归纳为三种基本思想，即抽象、推理和模型。通过抽象，人们把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象，其思维特征是抽象能力强；通过推理，人们得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的
3、发展，其思维特征是逻辑能力强；通过模型，人们创造出具有表现力的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁，其思维特征是应用能力强。1、什么是抽象 抽象是在思维中抛开对象的非特有、非本质属性，从中抽取对象的特有属性或本质属性的方法。数学中抽象主要包括两方面的内容：数量与数量关系的抽象，图形与图形关系的抽象。通过抽象得到数学的基本概念，这些基本概念包括：数学研究对象的定义、刻画对象之间关系的术语和符号以及刻画对象之间关系的运算方法。例如：人们经过长期的实践，把 1 个鸡蛋、1 只羊、1 头牛抽象成数字“1”符号，继而形成了自然数，并且用十个符号和位数表示。后来又抽象出了数之间的大小、运算关系。至于图形与
4、图形关系的抽象最明显的体现是构成几何学的基本要素的“点、线、面”就是抽象的结果。2、什么是推理 所谓推理，是指从一个命题判断到另一个命题判断的思维过程，其中命题是指可供是否判断的语句；所谓有逻辑的推理，是指所涉及的命题内涵之间具有某种传递性。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理。合情推理是从已有事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果的思维过程。合情推理是命题内涵由小到大的推理，是一种从特殊到一般的推理。合情推理包括归纳推理和类比推理。归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识
5、基本技能基本思想基本活动经验把基本思想作为四基之一这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位那么什么是数学基本思想数学基本思想蕴涵在教材的哪些内容之中教学中怎样之中经过思维活动而产生的结果数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本认识基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性总结性和最广泛的数学思想它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特精髓史宁中教授指出基本数学思想不应当是个案的而必须是一般的这大概需要满足两个条件一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想二是学习过数学的人所具有的思维特征这些特征表现在日常的生活之中这就可以归括出一般结论；类比推理由两类对象具有某
6、些类似特性和其中一类对象的某些已知特性，推出另一类对象也具有这些特性的推理。简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。因此，通过合情推理得到的结论是或然的。人们借助合情推理，从经验过的东西出发推断未曾经验过的东西，这便是所说的“看”出数学结果，看出的数学结果不一定是正确的，但指引了数学研究的方向。便于探索思路、发现结论。例如：（三角形的内角和 180 度）演绎推理。演绎推理是命题内涵由大到小的推理，是一种从一般到特殊的推理。因此，通过演绎推理得到的结论是必然的。演绎推理包括三段论、反证法、数学归纳法、算法逻辑等。人们借助演绎推理，按照假设前提和规定的法则验证那些通过推断得到的结论，这便是数学的“证
7、明”，通过证明得到的结论是正确的，但不能使命题的内涵得到扩张。例如：乘积是 1 的两个数互为倒数，因为 3 1/3=1，所以 3 和 1/3 互为倒数。注意：不可能把抽象和推理截然分开：抽象的过程要依赖推理；而两种形式的推理、特别是合情推理的过程要依赖抽象。3、什么是模型 数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征，数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念，定理，规律，法则，公式，性质，数量关系式，图表，程序等都是数学模型。应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识基本技能基本思想基本活动经验把基本思想作为四基之一这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位那么什
8、么是数学基本思想数学基本思想蕴涵在教材的哪些内容之中教学中怎样之中经过思维活动而产生的结果数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本认识基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性总结性和最广泛的数学思想它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特精髓史宁中教授指出基本数学思想不应当是个案的而必须是一般的这大概需要满足两个条件一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想二是学习过数学的人所具有的思维特征这些特征表现在日常的生活之中这就可以归数学模型思想是指用数学的语言描述现实世界所依赖的思想。数学模型使数学走出数学的世界，是构建数学与现实世界的桥梁。通俗地说，数学模型是借
9、用数学的语言讲述现实世界的故事。例如：小学两个典型的模型：路程=速度时间 总价=单价数量 二、小学阶段主要的数学思想有哪些？抽象、推理和模型是数学的基本思想，是最高层面的思想，在实践中又派生出很多与具体内容结合的具体思想。在小学阶段，具体数学思想主要有符号化思想、化归思想、分类思想、方程思想、集合思想、函数思想、数形结合思想、统计与概率思想等等。（一）符号化思想 1、符号化思想的概念。数学符号是数学的语言，数学世界时一个符号化的世界，数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用：因为数学有了符号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了数学的普及和
10、发展；国际通用的数学符号的使用，使数学成为国际化的语言。符号化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。2、符号化思想的具体应用。知识领域 知识点 具体应用 应用拓展 应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识基本技能基本思想基本活动经验把基本思想作为四基之一这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位那么什么是数学基本思想数学基本思想蕴涵在教材的哪些内容之中教学中怎样之中经过思维活动而产生的结果数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本认识基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性总结性和最广泛的数学思想它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特精髓史宁中教授指出基本数学思想
11、不应当是个案的而必须是一般的这大概需要满足两个条件一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想二是学习过数学的人所具有的思维特征这些特征表现在日常的生活之中这就可以归数 与 代 数 数的表示 阿拉伯数字：09 中文数字：、+百分号：%负号：用数轴表示数 数的运算+、（）、a2(平方)、b3(立方)大括号：数的大小关系=、运算定律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac a(b-c)=ab-ac 方程 ax+b=c 应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识基本技能基
12、本思想基本活动经验把基本思想作为四基之一这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位那么什么是数学基本思想数学基本思想蕴涵在教材的哪些内容之中教学中怎样之中经过思维活动而产生的结果数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本认识基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性总结性和最广泛的数学思想它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特精髓史宁中教授指出基本数学思想不应当是个案的而必须是一般的这大概需要满足两个条件一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想二是学习过数学的人所具有的思维特征这些特征表现在日常的生活之中这就可以归数量关系 时间、速度和路程：S=vt 数量、单价
13、和总价：a=np 正比例关系：yx=k 反比例关系：xy=k 用表格表示数量间的关系 用图象表示数量间的关系 图 形 与 几 何 用字母表示计量单位 长度单位：km、m、dm、cm、mm 面积单位：km2、m2、dm2、cm2、mm2、hm2(公顷)体积单位：m3、dm3、cm3 容积单位：L（升）、mL（毫升）质量单位：t、kg、g 用符号表示 图形 用字母表示点：三角形 ABC 用符号表示角：1、2、3、4 ABC 线段 AB 射线c、直线 l 两线段平行：AB CD ABCD 应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识基本技能基本思想基本活动经验把基本思想作为四基之一这就明确了数学思想
14、在数学教学中的重要地位那么什么是数学基本思想数学基本思想蕴涵在教材的哪些内容之中教学中怎样之中经过思维活动而产生的结果数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本认识基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性总结性和最广泛的数学思想它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特精髓史宁中教授指出基本数学思想不应当是个案的而必须是一般的这大概需要满足两个条件一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想二是学习过数学的人所具有的思维特征这些特征表现在日常的生活之中这就可以归两线段垂直：AB CD 用字母表示公式 三角形面积：S=1 2ab 平行四边形面积：S=ah 梯形面积：S
15、=1 2（a+b）h 圆周长：C=2 r 圆面积：S=r2 长方体体积：V=abc 正方体积：V=a3 圆柱体积：V=sh 圆锥体积：V=13sh 统计与 概率 统计图与统计表 用统计图表述和分析各种信息 可能性 用分数表示可能性的大小 符号化思想作为数学基本的、广泛应用的思想之一，教师和学生无时无刻不在与它们打交道。教师在教学中应把握好以下几点。应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识基本技能基本思想基本活动经验把基本思想作为四基之一这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位那么什么是数学基本思想数学基本思想蕴涵在教材的哪些内容之中教学中怎样之中经过思维活动而产生的结果数学思想是对数学事实
16、与理论经过概括后产生的本认识基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性总结性和最广泛的数学思想它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特精髓史宁中教授指出基本数学思想不应当是个案的而必须是一般的这大概需要满足两个条件一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想二是学习过数学的人所具有的思维特征这些特征表现在日常的生活之中这就可以归 （1）在思想上引起重视。数学课程标准把培养学生的符号意识作为必学的内容，并提出了具体要求，足以证明它的重要性。因此，教师在日常教学中应给予足够的重视。（2）把培养符号意识落实到课堂教学目标中。教师在每堂课的教学设计中，要明确符号的具体应用，并
17、纳入教学目标中。创设合适的情境，引导学生在探索中归纳和理解教学符号化的模型，并进行解释和应用。(3)引导学生认识符号的特点。让学生逐步明确，数学符号不仅可以表示数、数量关系，还可以参与运算和推理证明。理解数学符号的高度概括性和简捷性。（4）符号意识的培养是一个长期的过程。符号意识的培养应用贯穿于数学学习的整个过程中，学生首先要理解和掌握数学符号的内涵和思想，并通过一定的训练，才能利用符号进行比较熟练地运算、推理和解决问题。例如：教学“甲乙两个数的和是 58，甲数比多 36。求甲乙各是多少？”这样的问题，当学生已经掌握这类问题的特点和解答方法之后，可以设计这样的练习题：A +B=18 A -B
18、=2 求：A=？B=？（二）化归思想 1、化归思想的概念。应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识基本技能基本思想基本活动经验把基本思想作为四基之一这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位那么什么是数学基本思想数学基本思想蕴涵在教材的哪些内容之中教学中怎样之中经过思维活动而产生的结果数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本认识基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性总结性和最广泛的数学思想它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特精髓史宁中教授指出基本数学思想不应当是个案的而必须是一般的这大概需要满足两个条件一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想二是学习
19、过数学的人所具有的思维特征这些特征表现在日常的生活之中这就可以归人们面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，这种思想方法称为化归（转化）思想。2、化归所遵循的原则。化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规划为常规，从而解决各种问题。因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：（1）数学化原则，把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型。（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。（3）
20、简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。（4）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题。3、化归思想的具体应用。知识领域 知识点 应用举例 数 与 代 数 数的意义 整数的意义，用实物操作和直观图帮助理解 小数的意义：用直观图帮助理解 分数的意义：用直观图帮助理解 应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识基本技能基本思想基本活动经验把基本思想作为四基之一这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位那么什么是数学基本思想数学基本思想蕴涵在教材的哪些内容之中教学中怎样之中经过思维活动而产生的结果数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本认识基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠
21、基性总结性和最广泛的数学思想它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特精髓史宁中教授指出基本数学思想不应当是个案的而必须是一般的这大概需要满足两个条件一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想二是学习过数学的人所具有的思维特征这些特征表现在日常的生活之中这就可以归负数的意义：用数轴等直观图帮助理解 四则运算的意义 乘法的意义：若干个相同的数相加的一种简便算法 除法的意义：乘法的逆运算 四则运算的法则 整数加减法：用实物操作和直观图帮助理解算法 小数加减法：小数点对齐，然后按照整数的方法进行计算 小数乘法：先按照整数乘法的方法进行计算，再点小数点 小数除法：把除数转化为整数，基本按
22、照整数的方法进行计算，需要注意被除数小数点与商的小数点对齐。分数加减法：异分母加减法转化为同分母加减法 分数除法：转化为分数乘法 应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识基本技能基本思想基本活动经验把基本思想作为四基之一这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位那么什么是数学基本思想数学基本思想蕴涵在教材的哪些内容之中教学中怎样之中经过思维活动而产生的结果数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本认识基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性总结性和最广泛的数学思想它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特精髓史宁中教授指出基本数学思想不应当是个案的而必须是一般的这大概需
23、要满足两个条件一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想二是学习过数学的人所具有的思维特征这些特征表现在日常的生活之中这就可以归四则运算各部间的关系 a+b=c c-a=b ab=c a=c b 简便计算 利用运算定律进行简便计算 方程 解方程：解方程的过程，实际就是不断把方程转化为未知数前边的系数是 1 的过程（x=a）解决问题的策略 化繁为简：植树问题、鸡兔同笼问题等 化抽象为直观：用线段图、图表、图像等直观表示数量之间的关系，帮助理解。化实际问题为数学问题 化一般问题为特殊问题 化未知问题为已知问题 应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识基本技能基本思想基本活动经验把基本思
24、想作为四基之一这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位那么什么是数学基本思想数学基本思想蕴涵在教材的哪些内容之中教学中怎样之中经过思维活动而产生的结果数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本认识基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性总结性和最广泛的数学思想它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特精髓史宁中教授指出基本数学思想不应当是个案的而必须是一般的这大概需要满足两个条件一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想二是学习过数学的人所具有的思维特征这些特征表现在日常的生活之中这就可以归图 形 与 几 何 三角形内角和 通过操作把三个内角转化为平角 多边形的内
25、角和 转化成三角形求内角和 面积公式 正方形的面积：转化为长方形求面积 平行四边形求面积：转化成长方形求面积 三角形的面积：转化为平行四边形求面积 梯形的面积：转化为平行四边形求面积 圆的面积：转化为长方形求面积 组合图形面积：转化为求基本图形的面积 正方体的体积：转化为长方体求体积 应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识基本技能基本思想基本活动经验把基本思想作为四基之一这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位那么什么是数学基本思想数学基本思想蕴涵在教材的哪些内容之中教学中怎样之中经过思维活动而产生的结果数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本认识基本数学思想则是体现或应该体现于基础
26、数学中的具有奠基性总结性和最广泛的数学思想它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特精髓史宁中教授指出基本数学思想不应当是个案的而必须是一般的这大概需要满足两个条件一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想二是学习过数学的人所具有的思维特征这些特征表现在日常的生活之中这就可以归体积公式 圆柱的体积：转化为长方体求体积 圆锥的体积：转化为圆柱求体积 统计与 概率 统计图和统计表 运用不同的统计图表述各种数据 可能性 运用不同的方式表示可能性的大小 例如：组合图形面积一课就充分体现了“化归思想”。（三）方程和函数思想 1、方程和函数思想的概念。方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，
27、也是解决实际问题的重要工具，他们都可以用来描述现实世界的数量关系，而且他们之间有着密切的联系。（1）方程思想。含有未知数的等式叫方程，判断一个式子是不是方程，只需要同时满足两个条件;一个是含有未知数，另一个必须是等式。方程思想的核心是将问题中未知量用数字以外的数学符号（常用 x、y 等字母）表示，根据数量关系之间的相等关系构建方程模型。方程思想体现了已知与未知数的对立统一。应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识基本技能基本思想基本活动经验把基本思想作为四基之一这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位那么什么是数学基本思想数学基本思想蕴涵在教材的哪些内容之中教学中怎样之中经过思维活动而产生
28、的结果数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本认识基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性总结性和最广泛的数学思想它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特精髓史宁中教授指出基本数学思想不应当是个案的而必须是一般的这大概需要满足两个条件一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想二是学习过数学的人所具有的思维特征这些特征表现在日常的生活之中这就可以归(2)函数思想。设集合 ab 是两个非空数集，如果按照某种确定的对立关系f，如果对于集合 a中的任意一个数 x,在集合 b 中都有唯一确定的数 y 和它的对应，那么就称 y 是 x的函数，记作 y=f(x)。其中 x
29、叫做自变量，x 的取值范围 a 叫做函数的定义域；y叫做函数或因变量，与 x 相对应的 y 的值叫做函数值，y 的取值范围 b 叫做值域。函数思想体现了运动变化的、普遍性的观点。2.方程和函数思想的具体运用.小学数学在学习方程之前的问题,都通过算术方法解决,在引入方程之后,小学数学中比较复杂的有关数量关系的问题,都可以通过方程解决,方程思想是小学思想的重要思想,其中一元一次方程是小学数学的必学内容,在小学数学里没有学习函数的概念,但是有函数思想的渗透,与正比例函数和反比例函数最接近的正比例函数和反比例函数是小学数学的必学内容.另外,在小学数学的一些知识中也会渗透函数思想,如数与数的一一对应体现
30、了函数思想.方程和函数是小学数学与初中数学衔接的纽带.小学数学中方程和函数思想的应用如下表.思想 方法 知识点 应用举例 应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识基本技能基本思想基本活动经验把基本思想作为四基之一这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位那么什么是数学基本思想数学基本思想蕴涵在教材的哪些内容之中教学中怎样之中经过思维活动而产生的结果数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本认识基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性总结性和最广泛的数学思想它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特精髓史宁中教授指出基本数学思想不应当是个案的而必须是一般的这大概需要满足两
31、个条件一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想二是学习过数学的人所具有的思维特征这些特征表现在日常的生活之中这就可以归方程 思想 方程 用一元一次方程解决整数和小数等各种问题 分数,百分数和比例 用一元一次方程解决分数,百分数和比例等各种问题 等量代换 二(三)元一次方程思想的渗透 鸡兔同笼 用方程解决鸡兔同笼问题 函数 思想 加法 一个加数不变,和随着另一个加数的变化而变化,可表示为 Y=KX.渗透正比例函数思想 积的变化规律 一个因数不变,积随着另一个因数的变化而变化,表示为 Y=KX.渗透正比例函数关系 商的变化规律 除数不变,商随着被除数的变化而变化,可表示为 Y=XK,渗透
32、正比例函数思想,被除数不变,商随着除数的变化而变化,可表示为Y=XK,渗透反比例函数思想 正比例关系 正比例关系改写成 Y=KX,就是正比例函数 反比例关系 反比例函数改写成 Y=XK,就是反比例函数 应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识基本技能基本思想基本活动经验把基本思想作为四基之一这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位那么什么是数学基本思想数学基本思想蕴涵在教材的哪些内容之中教学中怎样之中经过思维活动而产生的结果数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本认识基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性总结性和最广泛的数学思想它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的
33、基本特精髓史宁中教授指出基本数学思想不应当是个案的而必须是一般的这大概需要满足两个条件一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想二是学习过数学的人所具有的思维特征这些特征表现在日常的生活之中这就可以归数列 等差数列,等比数列,一般数列的每一项与序号之间的对应关系,都可以看作是特殊的函数关系.空间与图形 长方形,正方形,平行四边形,三角形,梯形的面积公式,长方体.,正方体,圆柱,圆锥的体积公式,圆的周长和面积公式都渗透了函数思想 统计图表 函数的列表法与统计表都有相似之处（四）分类讨论思想 1.分类讨论思想的概念。人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的
34、对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适应于各种科学的研究；同时也是数学领域问题较常用的思想方法。2.分类讨论思想的具体应用 思想方法 知识点 应用举例 分类讨论思想 分类 一年级上册物体的分类，渗透分类思想、集合思想 数的认识 数可以分为整数、0、负数 有理数可以分为整数和分数（小数是特殊的分数）应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识基本技能基本思想基本活动经验把基本思想作为四基之一这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位那么什么是数学基本思想数学基本思想蕴涵在
35、教材的哪些内容之中教学中怎样之中经过思维活动而产生的结果数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本认识基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性总结性和最广泛的数学思想它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特精髓史宁中教授指出基本数学思想不应当是个案的而必须是一般的这大概需要满足两个条件一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想二是学习过数学的人所具有的思维特征这些特征表现在日常的生活之中这就可以归整数的性质 整数可以分成奇数和偶数 正整数可以分为 1、素数和合数 图形的认识 平面图形中的多边形可以分为：三角形、四边形、五边形、六边形 三角形按角可以分为：锐角三角
36、形、直角三角形、钝角三角形 三角形按边可以分为：不等边三角形、等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为等边三角形和腰与底边不相等的等腰三角形 四边形按对边是否平行可以分为：平行四边形、梯形和两组对边都不平行的四边形 统计 数据的分类整理和描述 排列组合 分类讨论是小学生了解排列组合思想的基础 概率 排列组合是概率计算的基础 植树问题 先确定是几排树，再确定每排树的情况：两端都不栽、一端栽一端不栽、两端都栽 应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识基本技能基本思想基本活动经验把基本思想作为四基之一这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位那么什么是数学基本思想数学基本思想蕴涵在教材的哪些内容之中教
37、学中怎样之中经过思维活动而产生的结果数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本认识基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性总结性和最广泛的数学思想它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特精髓史宁中教授指出基本数学思想不应当是个案的而必须是一般的这大概需要满足两个条件一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想二是学习过数学的人所具有的思维特征这些特征表现在日常的生活之中这就可以归抽屉原理 构建抽屉实际上是应用分类标准，把所有元素进行分类 例如：教师的板书（五）统计思想 1统计思想的概念。现实生活中有大量的数据需要分析和研究，如人口数量、物价指数、商品合格率、种子发
38、芽率等等。有时需要对所有的数据进行全面调查，如我国为了掌握人口的真实情况，曾经进行过全国人口普查。一般情况下不可能也不需要考察所有对象，如物价指数、商品合格率等，就需要采取抽样调查的方法收集和分析数据，用样本来估计总体，从而进行合理的推断和决策，这就是统计的思想方法。在统计里主要有两种估计方法：一是用样本的频率分布估计总体的分布，二是用样本的数据特征（如平均数、中位数和众数）估计总体的数据特征。2统计思想的具体应用。小学数学中统计的知识点主要有：象形统计图、単式统计表、复式统计表、单式条形统计图、复式条形统计图、单式折线统计图、复式折线统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数等。这些知识作为学
39、习统计的基础是必须掌握的，但更重的是能够根据数据的特点和解决问题的需要选择合适的统计图表或者统计量来描述和分析数据、做出合理的预测和决策。3统计思想的教学。应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识基本技能基本思想基本活动经验把基本思想作为四基之一这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位那么什么是数学基本思想数学基本思想蕴涵在教材的哪些内容之中教学中怎样之中经过思维活动而产生的结果数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本认识基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性总结性和最广泛的数学思想它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特精髓史宁中教授指出基本数学思想不应当是个
40、案的而必须是一般的这大概需要满足两个条件一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想二是学习过数学的人所具有的思维特征这些特征表现在日常的生活之中这就可以归课程标准的颁布和实施，赋予了统计更加丰富的内涵。教师要全面理解课程标准关于统计知识的内容和理念，在教学中要注意以下几点。第一，注意过程性目标的教学。让学生经历数据的收集、整理、描述、分析、推断和决策的过程。包括设计合适的调查表、选择合适的统计图表和统计量描述数据、科学地分析数据并做出合理的决策。统计的教学要改变以往注重统计知识和技能这种数学化的倾向，要让学生经历统计的全过程，把统计与生活密切联系起来，让学生学习活生生的统计，而不是仅仅
41、回答枯燥乏味的纯数学问题。第二，认识统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题。学会用数据说话，能使我们的思维更加理性，避免感性行事。从小学开始就要让学生认识统计对决策的重要作用，为将来的进一步学习和走向社会培养良好的统计意识。如作为市场经济和信息化社会的公民，每个人无不与经济活动和投资理财打交道，如果能够根据影响经济运行的各种主要数据进行合理的分析和推断，做出正确的投资理财决策、使自己的投资不断保值和升值，对于每个公民意义重大。第三，能对给定数据的来源、收集和描述的方法，以及分析的结论进行合理的质疑。、第四，对有关概念应正确理解，应注重知识的应用，避免单纯的数据计算和概念判断。（六
42、）概率思想 1.概率思想的概念。应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识基本技能基本思想基本活动经验把基本思想作为四基之一这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位那么什么是数学基本思想数学基本思想蕴涵在教材的哪些内容之中教学中怎样之中经过思维活动而产生的结果数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本认识基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性总结性和最广泛的数学思想它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特精髓史宁中教授指出基本数学思想不应当是个案的而必须是一般的这大概需要满足两个条件一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想二是学习过数学的人所具有的思维特征
43、这些特征表现在日常的生活之中这就可以归表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。生活中的事件可以分为两类：一类是确定事件，在一定条件下一定发生的和一定不会发生的，这些事件都是确定事件；另一类是随机事件，就是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，随机事件表面上看杂乱无章，但是大量地重复观察这些事件时，这些随机事件会呈现规律性，这种规律叫统计规律，概率论是研究随机现象的统计规律性的一门科学学科，概率思想的意义在于揭示和把握规律，充分地利用规律为人类服务。（1）事件的分类。事件可以分为确定事件和随机事件，其中确定事件又可以分为必然事件和不可能事件。在一定条件下一定发生的是必然事件，一定不
44、会发生的是不可能事件。（2）频率与概率的区别和联系。随机事件发生的可能性的大小是概率论研究的主要内容，通过试验来观察随机事件发生的可能性的大小是常用的方法。在相同的条件下，重复进行 n 次试验，某一事件 A 出现的次数是 m，m/n 就是事件 A 出现的频率。如果试验的次数不断增加，事件 A 发生的频率稳定在某个数上，就把这个常数记作 P（A），称为事件 A 的概率。事件的概率是确定的、不变的常数，是理论上的精确值；而频率是某次具体试验的结果，是不确定的、变化的数，尽管这种变化可能性非常的小。这里的概率是用频率来界定的，在等可能性随机试验中，虽然频率总是在很小的范围内变化，但我们可以认为频率和
45、概率的相关性非常的强。也就是说，在一次应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识基本技能基本思想基本活动经验把基本思想作为四基之一这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位那么什么是数学基本思想数学基本思想蕴涵在教材的哪些内容之中教学中怎样之中经过思维活动而产生的结果数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本认识基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性总结性和最广泛的数学思想它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特精髓史宁中教授指出基本数学思想不应当是个案的而必须是一般的这大概需要满足两个条件一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想二是学习过数学的人所具有的思
46、维特征这些特征表现在日常的生活之中这就可以归试验中，事件 A 出现的频率越大、事件 A 的概率就越大；事件 A 出现的频率越小、事件 A 的概率就越小。反之亦然。（3）两种概率模型 古典概模：试验中所有可能出现的基本事件是有限的，每个基本事件出现的可能性相等。如比较经典的投硬币和掷骰子试验，都属于这种概率模型。几何概型：试验中每个基本事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积、体积）成比例。如比较常见的转盘游戏，就是几何概率模型。2.概率思想的具体应用。概率思想主要应用于统计与概率领域。一是小学数学第一、第二学段都安排了可能性的内容。（新课标 2011 版把这一内容调整到第二学段）3.概率思
47、想的教学。这部分内容的教学应注意以下几点。第一，随机事件的发生是有条件的，是在一定条件下，事件发生的可能性性有大有小；条件变了，事件发生的可能性大小也可能会变化。如种子的发芽率与很多因素有关，如种子的质量、保存期限、温度、水分、土壤、阳光、空气等等。在各种条件都合适的情况下，发芽率可能高达 90%；条件不合适发芽率可能降到50%甚至不发芽。第二，避免把频率与概率混淆。如最经典的就是掷硬币试验去验证概率。从概率的统计定义而言，做抛硬币试验是可以的，可以使学生参与实践活动、经历知识的形成过程、提高学习的兴趣。关键是广大教师心中要明白：试验次数少的时候应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识基本
48、技能基本思想基本活动经验把基本思想作为四基之一这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位那么什么是数学基本思想数学基本思想蕴涵在教材的哪些内容之中教学中怎样之中经过思维活动而产生的结果数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本认识基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性总结性和最广泛的数学思想它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特精髓史宁中教授指出基本数学思想不应当是个案的而必须是一般的这大概需要满足两个条件一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想二是学习过数学的人所具有的思维特征这些特征表现在日常的生活之中这就可以归频率与概率的误差可能会比较大，但是试验次数
49、多，也不能每次都保证频率与概率相差很小，或者说试验次数足够大的两次试验，也不能保证试验次数多的比试验次数少的误差小。这是随机事件本身的特点决定的，教师要通过通俗的语言使学生清楚这一点。这样在抛硬币时出现什么情况都是正常的，在学生操作的基础上，有条件的可通过计算机模拟试验，还要呈现数学家们做的试验结果，使学生理解概率的统计定义。第三，创设联系学生生活的情境，要注意每个基本事件是否具有等可能性。如下面的题目就不合适：全班 50 个学生，选一人代表全班参加科普知识竞赛，张三被选中的可能性是多少？事实上参加竞赛是有一定条件的，如需要学习好、知识面宽等等，每个学生被选中的可能性是不相等的。第四，概率是理
50、论上的精确值，但是随机事件在具体一次试验中可能出现意外，即频率与概率有一定偏差。随机中有精确，精确中有随机，这是对待概率的一种科学态度。例如；（摸球游戏）（七）集合思想 1.集合的概念。把指定的具有某种性质的事物看作一个整体，就是一个集合（简称集），其中每个事物叫做该集合的元素（简称元）。给定的集合，它的元素必须是确定的，即任何一个事物是否属于这个集合是明确的。如“学习成绩好的同学”不能构成一个集合，因为构成它的元素是不确定的；而“语文和数学的平均成绩在 90 分及以上应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识基本技能基本思想基本活动经验把基本思想作为四基之一这就明确了数学思想在数学教学中的