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1、3.1.1变化率问题 教学目标：1理解平均变化率的概念；2了解平均变化率的几何意义；3会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念 教学过程：一创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最
2、一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度 二新课讲授（一）问题提出 问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积 V(单位:L)与半径 r(单位:dm)之间的函数关系是334)(rrV 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么343)(VVr 分析:343)(VVr，当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dmrr 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(Ldmrr 当 V 从 1 增加到
3、 2 时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dmrr 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(Ldmrr 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了 思考：当空气容量从 V1增加到 V2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(VVVrVr 问题 2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t（单位：s）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?h t o 思考计算：5.00 t和21 t的平均速度v 在5.00 t这段时间里，)/(05.405.0)0
4、()5.0(smhhv；在21 t这段时间里，)/(2.812)1()2(smhhv 探究：计算运动员在49650 t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知，)0()4965(hh，所以)/(004965)0()4965(mshhv，虽然运动员在49650 t这段时间里的平均速度为)/(0ms，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态（二）平均变化率概念:1上述问题中的变化率可用式子 121
5、2)()(xxxfxf表示,称为函数 f(x)从 x1到 x2的平均变化率 2若设12xxx,)()(12xfxff(这里x看作是对于 x1的一个“增量”可用x1+x代替 x2,同样)()(12xfxfyf)3 则平均变化率为xfxyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212 思考：观察函数 f(x)的图象 平均变化率xf1212)()(xxxfxf表示什么?直线 AB 的斜率 三典例分析 例1 已 知 函 数f(x)=xx 2的 图 象 上 的 一 点)2,1(A及 临 近 一 点)2,1(yxB,则xy x1 x2 O y y=f(x)f(x1)f(x2)x=x2-x1 y=f(
6、x2)-f(x1)x 重点平均变化率的概念函数在某点处附近的平均变化率教学难点平均变化率的概念教学过程一创设情景为了描述现实世界中运动过程等变化着的现象在数学中引入了函数随着对函数的研究产生了微积分微积分的创立以自然科学中四线三求已知函数的最大值与最小值四求长度面积体积和重心等导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减变化快慢最大小值等问题最一般最有效的工具导数研究的问题即变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程的半径增加越来越慢从数学角度如何描述这种现象呢气的体积单位与半径单位之间的函数关系是如果将半径表示为体积的函数那么分析当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为当从增加到时气半
7、径增加了气的平均膨胀率为可以解：)1()1(22xxy，xxxxxy32)1()1(2 例2 求2xy 在0 xx 附近的平均变化率。解：2020)(xxxy，所以xxxxxy2020)(xxxxxxxx020202022 所以2xy 在0 xx 附近的平均变化率为xx02 四课堂练习 1质点运动规律为32 ts，则在时间)3,3(t中相应的平均速度为 2.物体按照 s(t)=3t2+t+4 的规律作直线运动,求在 4s 附近的平均变化率.3.过曲线 y=f(x)=x3上两点 P（1，1）和 Q(1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1 时割线的斜率.五回顾总结 1平均变化率的概念 2函
8、数在某点处附近的平均变化率 六布置作业 253 t重点平均变化率的概念函数在某点处附近的平均变化率教学难点平均变化率的概念教学过程一创设情景为了描述现实世界中运动过程等变化着的现象在数学中引入了函数随着对函数的研究产生了微积分微积分的创立以自然科学中四线三求已知函数的最大值与最小值四求长度面积体积和重心等导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减变化快慢最大小值等问题最一般最有效的工具导数研究的问题即变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程的半径增加越来越慢从数学角度如何描述这种现象呢气的体积单位与半径单位之间的函数关系是如果将半径表示为体积的函数那么分析当从增加到时气半径增加了气的
9、平均膨胀率为当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为可以3.1.2导数的概念 教学目标：1了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3会求函数在某点的导数 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念 教学过程：一创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650 t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知，)0()4965(hh，所以)/(004
10、965)0()4965(mshhv，虽然运动员在49650 t这段时间里的平均速度为)/(0ms，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态 二新课讲授 1瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t 时的瞬时速度是多少？考察2t 附近的情况：思考：当t趋近于 0 时，平均速度v有什么样的变化趋势？结论：当t趋近于 0 时，即无论t从小于 2 的一边，还是从大于 2 的一边趋近于 2 时，h t o 重点平均变化率的概念函数在某点处附近的平均变化率教学难点平
11、均变化率的概念教学过程一创设情景为了描述现实世界中运动过程等变化着的现象在数学中引入了函数随着对函数的研究产生了微积分微积分的创立以自然科学中四线三求已知函数的最大值与最小值四求长度面积体积和重心等导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减变化快慢最大小值等问题最一般最有效的工具导数研究的问题即变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程的半径增加越来越慢从数学角度如何描述这种现象呢气的体积单位与半径单位之间的函数关系是如果将半径表示为体积的函数那么分析当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为可以平均速度v都趋近于一个确定的值13.1 从物理的角度
12、看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t 时的瞬时速度是13.1/m s 为了表述方便，我们用0(2)(2)lim13.1ththt 表示“当2t，t趋近于 0 时，平均速度v趋近于定值13.1”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。2 导数的概念 从函数 y=f(x)在 x=x0处的瞬时变化率是:0000()()limlimxxf xxf xfxx 我们称它为函数()yf x在0 xx出的导数，记作0()fx或0|x xy，即 0000()()()limxf xxf xfxx 说明：
13、（1）导数即为函数 y=f(x)在 x=x0处的瞬时变化率 （2）0 xxx ，当0 x 时，0 xx，所以0000()()()limxf xf xfxxx 三典例分析 例 1（1）求函数 y=3x2在 x=1 处的导数.分析：先求f=y=f(x)-f()=6x+(x)2 再求6fxx 再求0lim6xfx 解：法一 定义法（略）法二：2222111133 13(1)|limlimlim3(1)611xxxxxxyxxx （2）求函数 f(x)=xx 2在1x 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 解：xxxxxy32)1()1(2 200(1)(1)2(1)limlim(3)3xxyxxf
14、xxx 例 2（课本例 1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为2()715(08)f xxxx，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义 解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是(2)f和(6)f 根据导数定义，0(2)()fxf xfxx 22(2)7(2)15(272 15)3xxxx 重点平均变化率的概念函数在某点处附近的平均变化率教学难点平均变化率的概念教学过程一创设情景为了描述现实世界中运动过程等变化着的现象在数学中引入了函数随着对函数的研究产生了微积分微积分的创立以自然科学中四
15、线三求已知函数的最大值与最小值四求长度面积体积和重心等导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减变化快慢最大小值等问题最一般最有效的工具导数研究的问题即变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程的半径增加越来越慢从数学角度如何描述这种现象呢气的体积单位与半径单位之间的函数关系是如果将半径表示为体积的函数那么分析当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为可以所以00(2)limlim(3)3xxffxx 同理可得:(6)5f 在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和 5，说明在2h附近，原油温度大约以3/C h的速率下降，在第6h附近，原
16、油温度大约以5/C h的速率上升 注：一般地，0()fx反映了原油温度在时刻0 x附近的变化情况 四课堂练习 1质点运动规律为32 ts，求质点在3t 的瞬时速度为 2求曲线 y=f(x)=x3在1x 时的导数 3例 2 中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义 五回顾总结 1瞬时速度、瞬时变化率的概念 2导数的概念 六布置作业 重点平均变化率的概念函数在某点处附近的平均变化率教学难点平均变化率的概念教学过程一创设情景为了描述现实世界中运动过程等变化着的现象在数学中引入了函数随着对函数的研究产生了微积分微积分的创立以自然科学中四线三求已知函数的最大值与最小值四求长度面
17、积体积和重心等导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减变化快慢最大小值等问题最一般最有效的工具导数研究的问题即变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程的半径增加越来越慢从数学角度如何描述这种现象呢气的体积单位与半径单位之间的函数关系是如果将半径表示为体积的函数那么分析当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为可以3.1.3导数的几何意义 教学目标：1了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2理解曲线的切线的概念；3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数
18、的几何意义 教学过程：一创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数 我们知道，导数表示函数 y=f(x)在 x=x0处的瞬时变化率，反映了函数 y=f(x)在 x=x0附近的变化情况，导数0()fx的几何意义是什么呢？二新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图 3.1-2，当(,()(1,2 3,4)nnnP x f xn沿着曲线()f x趋近于点00(,()P xf x时，割线nPP的变化趋势是什么？我们发现,nP沿 着 曲 线当点无限接近点P 即时,割 线nPPx 0趋近于 确 定 的 位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P处的切线.割线nPP的问题：nk与切线 PT
19、斜率率k有什么关的斜系？切线 PT 的k为多少？斜率容 易 知线nPP的斜率道，割是00()()nnnf xf xkxx,当点nP沿着曲线无限接近点 P 时，nk无限趋近于切线 PT 的斜率k，即0000()()lim()xf xxf xkfxx 说明：（1）设切线的倾斜角为 ,那么当x0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处的切线的斜率.这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在0 xx处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3
20、)曲线的图 3.1-2 重点平均变化率的概念函数在某点处附近的平均变化率教学难点平均变化率的概念教学过程一创设情景为了描述现实世界中运动过程等变化着的现象在数学中引入了函数随着对函数的研究产生了微积分微积分的创立以自然科学中四线三求已知函数的最大值与最小值四求长度面积体积和重心等导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减变化快慢最大小值等问题最一般最有效的工具导数研究的问题即变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程的半径增加越来越慢从数学角度如何描述这种现象呢气的体积单位与半径单位之间的函数关系是如果将半径表示为体积的函数那么分析当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为当从增加到时气
21、半径增加了气的平均膨胀率为可以切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数 y=f(x)在 x=x0处的导数等于在该点00(,()xf x处的切线的斜率，即 0000()()()limxf xxf xfxkx 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出 P 点的坐标;求出函数在点0 x处的变化率0000()()()limxf xxf xfxkx ，得到曲线在点00(,()xf x的切线的斜率；利用点斜式求切线方程.（二）导函数：由函数 f(x)在 x=x0处求导数的过程可以看到,当时,0()fx 是一个确定的数，那么,当 x变化时,便是 x 的
22、一个函数,我们叫它为 f(x)的导函数.记作：()fx或y，即:0()()()limxf xxf xfxyx 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数（三）函数()f x在点0 x处的导数0()fx、导函数()fx、导数 之间的区别与联系。（1）函数在一点处的导数0()fx，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。(2）函数的导数，是指某一区间内任意点 x 而言的，就是函数 f(x)的导函数 (3）函数()f x在点0 x处的导数0()fx就是导函数()fx在0 xx处的函数值，这也是 求函数在点0 x处的导数的方法之一。三典例分析 例 1:（1）求曲线 y=
23、f(x)=x2+1 在点 P(1,2)处的切线方程.（2）求函数 y=3x2在点(1,3)处的导数.解：（1）222100(1)1(11)2|limlim2xxxxxxyxx ,所以，所求切线的斜率为 2，因此，所求的切线方程为22(1)yx 即20 xy （2）因为2222111133 13(1)|limlimlim3(1)611xxxxxxyxxx 所以，所求切线的斜率为 6，因此，所求的切线方程为36(1)yx 即630 xy （2）求函数 f(x)=xx 2在1x 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 解：xxxxxy32)1()1(2 200(1)(1)2(1)limlim(3)3
24、xxyxxfxxx 重点平均变化率的概念函数在某点处附近的平均变化率教学难点平均变化率的概念教学过程一创设情景为了描述现实世界中运动过程等变化着的现象在数学中引入了函数随着对函数的研究产生了微积分微积分的创立以自然科学中四线三求已知函数的最大值与最小值四求长度面积体积和重心等导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减变化快慢最大小值等问题最一般最有效的工具导数研究的问题即变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程的半径增加越来越慢从数学角度如何描述这种现象呢气的体积单位与半径单位之间的函数关系是如果将半径表示为体积的函数那么分析当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为当从增加到时气半径
25、增加了气的平均膨胀率为可以例 2（课本例 2）如图 3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 2()4.96.510h xxx，根据图像，请描述、比较曲线()h t在0t、1t、2t附近的变化情况 解：我们用曲线()h t在0t、1t、2t处的切线，刻画曲线()h t在上述三个时刻附近的变化情况（1）当0tt时，曲线()h t在0t处的切线0l平行于x轴，所以，在0tt附近曲线比较平坦，几乎没有升降（2）当1tt时，曲线()h t在1t处的切线1l的斜率1()0h t，所以，在1tt附近曲线下降，即函数2()4.96.510h xxx在1tt附近单调递减（3）当2tt时，曲线()h t
26、在2t处的切线2l的斜率2()0h t，所以，在2tt附近曲线下降，即函数2()4.96.510h xxx 在2tt附近单调递减 从图 3.1-3可以看出，直线1l的倾斜程度小于直线2l的倾斜程度，这说明曲线在1t附近比在2t附近下降的缓慢 例 3（课本例 3）如图 3.1-4，它表示人体血管中药物浓度()cf t(单位：/mg mL)随时间t（单位：min）变化的图象根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8t 时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()f t在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线()f t在此点处的切线的斜率 如
27、图 3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值 作0.8t 处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：0.480.911.41.00.7k 所以 (0.8)1.4f 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：重点平均变化率的概念函数在某点处附近的平均变化率教学难点平均变化率的概念教学过程一创设情景为了描述现实世界中运动过程等变化着的现象在数学中引入了函数随着对函数的研究产生了微积分微积分的创立以自然科学中四线三求已知函数的最大值与最小值四求长度面积体积和重心等导数是微积分的核心概念之一它是研
28、究函数增减变化快慢最大小值等问题最一般最有效的工具导数研究的问题即变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程的半径增加越来越慢从数学角度如何描述这种现象呢气的体积单位与半径单位之间的函数关系是如果将半径表示为体积的函数那么分析当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为可以t 0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度瞬时变化率()f t 0.4 0-0.7-1.4 四课堂练习 1求曲线 y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线；2求曲线yx在点(4,2)处的切线 五回顾总结 1曲线的切线及切线的斜率；2导数的几何意义 六布置作业 重点平均变化率的概念
29、函数在某点处附近的平均变化率教学难点平均变化率的概念教学过程一创设情景为了描述现实世界中运动过程等变化着的现象在数学中引入了函数随着对函数的研究产生了微积分微积分的创立以自然科学中四线三求已知函数的最大值与最小值四求长度面积体积和重心等导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减变化快慢最大小值等问题最一般最有效的工具导数研究的问题即变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程的半径增加越来越慢从数学角度如何描述这种现象呢气的体积单位与半径单位之间的函数关系是如果将半径表示为体积的函数那么分析当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为可以3.2.1几个
30、常用函数的导数 教学目标：1 使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式；2掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数 教学重点：四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式及应用 教学难点：四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式 教学过程：一创设情景 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度那么，对于函数()yf x，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数
31、的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数 二新课讲授 1函数()yf xc的导数 根据导数定义，因为()()0yf xxf xccxxx 所以00limlim 00 xxyyx 函数 导数 yc 0y 0y 表示函数yc图像（图 3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为 0若yc表示路程关于时间的函数，则0y 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0，即物体一直处于静止状态 2函数()yf xx的导数 因为()()1yf xxf xxxxxxx 所以00limlim11xxyyx 函数 导数 yx 1y 1y 表示函数yx图像（图 3.2-2）上每一点处的切线
32、的斜率都为 1若yx表示路程关于时间的函数，则1y 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动 3函数2()yf xx的导数 重点平均变化率的概念函数在某点处附近的平均变化率教学难点平均变化率的概念教学过程一创设情景为了描述现实世界中运动过程等变化着的现象在数学中引入了函数随着对函数的研究产生了微积分微积分的创立以自然科学中四线三求已知函数的最大值与最小值四求长度面积体积和重心等导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减变化快慢最大小值等问题最一般最有效的工具导数研究的问题即变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程的半径增加越来越慢从数学角度如何描述这种现象呢气的体积单位与半径单位
33、之间的函数关系是如果将半径表示为体积的函数那么分析当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为可以因为22()()()yf xxf xxxxxxx 2222()2xx xxxxxx 所以00limlim(2)2xxyyxxxx 函数 导数 2yx 2yx 2yx 表示函数2yx图像（图 3.2-3）上点(,)x y处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0 x 时，随着x的增加，函数2yx减少得越来越慢；当0 x 时，随着x的增加，函数2yx增加得越来越快若2yx表示路程关于时间的函
34、数，则2yx 可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x 4函数1()yf xx的导数 因为11()()yf xxf xxxxxxx 2()1()xxxx xxxxxx 所以220011limlim()xxyyxxxxx 函数 导数 1yx 21yx 5函数()yf xx的导数 因为()()yf xxf xxxxxxx ()()()xxxxxxxxxx ()()xxxxxxx 所以0011limlim2xxyyxxxxx 函数 导数 yx 12yx 重点平均变化率的概念函数在某点处附近的平均变化率教学难点平均变化率的概念教学过程一创设情景为了描述现实世界中运动过程等变化着的现象在数
35、学中引入了函数随着对函数的研究产生了微积分微积分的创立以自然科学中四线三求已知函数的最大值与最小值四求长度面积体积和重心等导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减变化快慢最大小值等问题最一般最有效的工具导数研究的问题即变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程的半径增加越来越慢从数学角度如何描述这种现象呢气的体积单位与半径单位之间的函数关系是如果将半径表示为体积的函数那么分析当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为可以（2）推广：若*()()nyf xxnQ，则1()nfxnx 三课堂练习 1课本 P13探究 1 2课本 P13探究 2 四回顾
36、总结 函数 导数 yc 0y yx 1y 2yx 2yx 1yx 21yx yx 12yx *()()nyf xxnQ 1nynx 五布置作业 重点平均变化率的概念函数在某点处附近的平均变化率教学难点平均变化率的概念教学过程一创设情景为了描述现实世界中运动过程等变化着的现象在数学中引入了函数随着对函数的研究产生了微积分微积分的创立以自然科学中四线三求已知函数的最大值与最小值四求长度面积体积和重心等导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减变化快慢最大小值等问题最一般最有效的工具导数研究的问题即变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程的半径增加越来越慢从数学角度如何描述这种现象呢气的体
37、积单位与半径单位之间的函数关系是如果将半径表示为体积的函数那么分析当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为可以3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学目标：1熟练掌握基本初等函数的导数公式；2掌握导数的四则运算法则；3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程：一创设情景 常见函数yc、yx、2yx、五 种1yx、yx的导数公式及应用 二 新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表（二）导数的运
38、算法则 导数运算法则 1()()()()f xg xfxg x 2()()()()()()f xg xfx g xf x g x 3 2()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xg x（2）推论：()()cf xcfx （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三典例分析 函数 导数 yc 0y yx 1y 2yx 2yx 1yx 21yx yx 12yx *()()nyf xxnQ 1nynx 函数 导数 yc 0y *()()nyf xxnQ 1nynx sinyx cosyx cosyx sinyx ()xyf xa ln(0)xyaa a()x
39、yf xe xye()logaf xx 1()log()(01)lnaf xxfxaaxa且()lnf xx 1()fxx 重点平均变化率的概念函数在某点处附近的平均变化率教学难点平均变化率的概念教学过程一创设情景为了描述现实世界中运动过程等变化着的现象在数学中引入了函数随着对函数的研究产生了微积分微积分的创立以自然科学中四线三求已知函数的最大值与最小值四求长度面积体积和重心等导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减变化快慢最大小值等问题最一般最有效的工具导数研究的问题即变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程的半径增加越来越慢从数学角度如何描述这种现象呢气的体积单位与半径单位之间
40、的函数关系是如果将半径表示为体积的函数那么分析当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为可以例 1假设某国家在 20 年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系0()(15%)tp tp，其中0p为0t 时的物价假定某种商品的01p，那么在第 10 个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有()1.05 ln1.05tp t 所以10(10)1.05ln1.050.08p（元/年）因此，在第 10 个年头，这种商品的价格约为 0.08 元/年的速度上涨 例 2根据
41、基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数（1）323yxx（2）1111yxx；（3）sinlnyxxx；（4）4xxy；（5）1 ln1 lnxyx（6）2(251)xyxxe；（7）sincoscossinxxxyxxx 解：（1）332(23)()(2)(3)32yxxxxx，232yx。（2）11()()11yxx22(1)(1)(1)(1)xxxx 221122(1)(1)xxxx 221112(1)(1)xxx 2221(1)(1)(1)2xxxx 2(1)(1)xxxx 2(1)(1)xxyxx（3）(sinln)(ln)sin yxxxxxx (ln)sin(ln
42、)(sin)xxxxxx 重点平均变化率的概念函数在某点处附近的平均变化率教学难点平均变化率的概念教学过程一创设情景为了描述现实世界中运动过程等变化着的现象在数学中引入了函数随着对函数的研究产生了微积分微积分的创立以自然科学中四线三求已知函数的最大值与最小值四求长度面积体积和重心等导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减变化快慢最大小值等问题最一般最有效的工具导数研究的问题即变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程的半径增加越来越慢从数学角度如何描述这种现象呢气的体积单位与半径单位之间的函数关系是如果将半径表示为体积的函数那么分析当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为当从增加到时
43、气半径增加了气的平均膨胀率为可以1(1 ln)sin(ln)cosxxxxxxx sinlnsinlncosxxxxxx sinlnsinlncosyxxxxxx （4）224(4)1 44 ln41ln4()4(4)(4)4xxxxxxxxxxxxxy ，1ln44xxy。（5）2211 ln212()(1)2()21ln1ln1ln(1ln)(1ln)xxyxxxxxx 22(1ln)yxx（6）22(251)(251)()xxyxxexxe 22(45)(251)(24)xxxxexxexxe ，2(24)xyxxe 。（7）sincos()cossinxxxyxxx 2(sincos)
44、(cossin)(sincos)(cossin)(cossin)xxxxxxxxxxxxxxx 2(coscossin)(cossin)(sincos)(sinsins)(cossin)xxxxxxxxxxxxxco xxxx 2sin(cossin)(sincos)s(cossin)xxxxxxxxxco xxxx 22(cossin)xxxx。22(cossin)xyxxx【点评】求导数是在定义域内实行的 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心 例 3日常生活中的饮水通常是经过净化的随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加已知将 1 吨水净化到纯净度为%x时所需费用（单位：元）为 52
45、84()(80100)100c xxx 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%（2）98%解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数 252845284(100)5284(100)()()100(100)xxc xxx 重点平均变化率的概念函数在某点处附近的平均变化率教学难点平均变化率的概念教学过程一创设情景为了描述现实世界中运动过程等变化着的现象在数学中引入了函数随着对函数的研究产生了微积分微积分的创立以自然科学中四线三求已知函数的最大值与最小值四求长度面积体积和重心等导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减变化快慢最大小值等问题最一般最有效的工具导数研究的问题即
46、变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程的半径增加越来越慢从数学角度如何描述这种现象呢气的体积单位与半径单位之间的函数关系是如果将半径表示为体积的函数那么分析当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为可以20(100)5284(1)(100)xx 25284(100)x（1）因为25284(90)52.84(10090)c，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是 52.84 元/吨（2）因为25284(98)1321(10090)c，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是 1321 元/吨 函数()f x在某点处导数的大小表示函数在此点附
47、近变化的快慢由上述计算可知，(98)25(90)cc 它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的 25 倍这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快 四课堂练习 1课本 P92练习 2已知曲线 C：y 3 x 42 x39 x24，求曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线方程；（y 12 x 8）五回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表（2）导数的运算法则 六布置作业 3.2.2复合函数的求导法则 教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则 教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变
48、量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积 教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确 一创设情景（一）基本初等函数的导数公式表 函数 导数 yc 0y *()()nyf xxnQ 1nynx sinyx cosyx cosyx sinyx ()xyf xa ln(0)xyaa a()xyf xe xye()logaf xx 1()log()(01)lnaf xxfxaaxa且 重点平均变化率的概念函数在某点处附近的平均变化率教学难点平均变化率的概念教学过程一创设情景为了描述现实世界中运动过程等变化着的现象在数学中引入了函数随着对函数的研究产生了微积分微积分的创立以自然科学中
49、四线三求已知函数的最大值与最小值四求长度面积体积和重心等导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减变化快慢最大小值等问题最一般最有效的工具导数研究的问题即变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程的半径增加越来越慢从数学角度如何描述这种现象呢气的体积单位与半径单位之间的函数关系是如果将半径表示为体积的函数那么分析当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为当从增加到时气半径增加了气的平均膨胀率为可以（二）导数的运算法则 导数运算法则 1()()()()f xg xfxg x 2()()()()()()f xg xfx g xf x g x 3 2()()()()()()0)()()f xf
50、x g xf x g xg xg xg x（2）推论：()()cf xcfx （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二新课讲授 复合函数的概念 一般地，对于两个函数()yf u和()ug x，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数()yf u和()ug x的复合函数，记作()yf g x。复合函数的导数 复合函数()yf g x的导数和函数()yf u和()ug x的导数间的关系为xuxyyu，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 若()yf g x，则 ()()()yfg xfg xg x 三典例分析 例 1（课本例 4）求下列函数的导数：（1）2(