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1、 2.2.1等式性质与不等式性质（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第二章) 一、教学目标1. 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系；2. 灵活掌握作差法比较两实数的大小, 提高数学运算能力；3. 通过具体情景, 构建不等式，初步了解数学建模的思想. 二、教学重难点1. 将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；2. 在实际情景中建立不等式(组)，准确用作差法比较大小.三、教学过程1.用不等式（组）表示不等关系1.1创设情境，引发思考【实际情境】中国“神舟七号”宇宙飞船飞天取得了圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v)
2、不小于第一宇宙速度(记作v2),且小于第二宇宙速度(记作v1).问题1：你能用不等式和不等式组表示下面的不等关系吗？（1）某路段限速40km/h;（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5,蛋白质的含量p应不少于2.3；（3）三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.【预设的答案】0 v 40; f2.5p2.3%; 设ABC的三条边为a，b，c，则 a + b c ，a b c ; 设C是直线AB外的任意一点，CDAB于点D，E是直线AB上不同于D的任意一点，连接线段CE，则CDCE.【设计意图】不等式和不
3、等式组不是凭空产生的，用这些生活实例所蕴含的不等关系抽象出不等式，让学生感受“不等式和不等式组”来简化表达.问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调査，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元?【活动预设】（1）第一步：审题找出题中数量关系；（2）第二步：根据数量关系构建不等式或者不等式（组）.【设计意图】从引例中的具体问题入手，思考指数x的存在性，唯一性和大致范围，为了表示指数，引入对数符号，在具体问题中体验用对数符号表示指数的过程.问题3：如何比较两个实数的大小关系？你能比较(x+2)(x+3)与(x+
4、1)(x+4)的大小关系吗？【活动预设】（1）化简题设中的代数式，观察结构，利用作差法比大小；（2）总结：实数大小的基本事实.教师讲授：如果a-b是正数，那么ab; 如果a-b等于0，那么a=b;如果a-b是负数，那么ab.反过来也对. 比较大小常用方法: 作差比较法 由于 (x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)=20，所以(x+2)(x+3)(x+1)(x+4).【设计意图】在探究实数大小的基本事实的基础上，总结比较大小的常用方法“作差比大小”.1.2探究典例，理性分析典例1：用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长
5、为x m试用不等式表示其中的不等关系变条件本例中，若矩形的长、宽都不能超过11 m，对面积没有要求，则x应满足的不等关系是什么？变条件本例中，若要求xN，则x可以取哪些值?【活动预设】感受在列不等式的过程中，变量的范围的重要性及不可缺少性.【设计意图】为加强不等式或不等式(组)中变量范围的限制.典例2：已知x1，比较x31与2x22x的大小变条件 将本例中“x1”改为“xR”，比较x31与2x22x的大小？【活动预设】感受利用作差法比大小的过程中，变量的范围的重要性.【设计意图】为给学生贯彻分类讨论的数学思想.教师讲授：比较两个实数(代数式)大小的步骤 (1)作差：对要比较大小的两个实数(或式
6、子)作差；(2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.1.3具体感知，加强练习活动：观察2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标.注:实际上这个图称为“弦图”,三国时期吴国的数学家赵爽,用来证明勾股定理.【活动要求】第一组每一排学生讨论在这个图案中含有怎样的几何图形；第二组相应排学生找出图案中的相等关系；第三组相应排学生找出图案中的不等关系.【活动预设】得出当a0,b0时，a2+b22ab，引导学生思考“当a,b为任意实数时，上式仍成立”的合理性.【设计意图】在实践活动中进行认识, 在得出不等关系后，遵循从特殊到一般的思路，从外延的角度加深概念的
7、理解，为基本不等式作铺.2.初步应用，理解概念例1 比较大小：(x1)(x2)与(x2)的大小关系；【预设的答案】(x1)(x2)(x2)【设计意图】进行简单的比较大小运算，熟悉作差法.例2 已知a0,b0, 试比较ab+ba与a+b的大小；【预设的答案】ab+baa+b【设计意图】（1）利用作差法概念以及变形方法,加深对作差法比大小的理解；（2）从这个例题中归纳概括出变形的方法：有理化.例3 已知a=76,b=65,则下列关系正确的是（ ） A. ab B. ab C. ab D. ab , 证明：aa+b2b【预设的答案】aa+b2=ab2,ab0aab20 即aa+b2a+b2b=ab2,ab0ab2b0 即a+b2b综上，aa+b2b【设计意图】让学生掌握证明不等式的方法及书写格式3.归纳小结实际问题 不等关系 不等式 不等式性质 数学抽象 两个实数大小 关系的基本事实 (作差法)思考：对于，应该怎样正确读，规范写，它的含义是什么？【设计意图】（1）梳理本节课对于对数的认知；（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习对数的必要性 .四、课外作业高中教科书数学必修第一册第39页至第40页课后练习