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1、 1.4.2用空间向量研究距离、夹角（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章) 一、教学目标1. 能利用投影向量得到点到直线的距离公式、点到平面的距离公式2. 能用向量方法解决点到直线、平行线间、点到平面、直线到平面（直线与平面平行）、平行平面间的距离问题3. 结合一些具体的距离问题的解决，体会向量方法在研究距离问题中的作用，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.二、教学重难点1. （重点）利用投影向量推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式.2. （难点）利用投影向量统一研究空间距离问题.三、教学过程1.公式的推导1.1复习回顾【实际情境】如图，在空间中任取一
2、点，作，xOO.问题1：（1）怎样表示向量方向上的单位向量？（2）如何作出向量在向量方向上的投影向量？（3）怎样用单位向量表示向量在向量方向上的投影向量及投影向量的模？【活动预设】学生回忆已学的概念、讨论交流【预设的答案】（1）； （2）过点作垂直于直线，垂足为，向量即为向量在向量方向上的投影向量；（3），即，.【设计意图】投影向量的概念是一个比较抽象的概念，不易被学生理解，而本节课距离公式的推导主要依赖于投影向量.投影向量的几何意义、代数表示及模，既体现了几何直观，又体现了代数定量刻画，从而提供了研究距离的方法. 复习回顾求任意非零向量方向上的单位向量，及投影向量的相关知识点，以便于学生更好
3、的参与后续公式的推导过程，以及对公式的理解，进而突破难点.1.2探究思考，提炼公式探究一：已知直线的单位方向向量，是直线上的定点，P是直线外一点. 如何利用这些条件求点到直线的距离？ 【活动预设】结合已有知识，小组讨论思考，每组选出代表回答. 连接，得到向量在直线直线上的投影向量，表示投影向量，求.进而利用勾股定理，可以求出点到直线的距离.【预设的答案】如图，设，则向量在直线上的投影向量.在中，由勾股定理，得.【设计意图】学生多思考，多发言，老师引导学生实现问题的转化，让学生经历公式的推导过程， 发展学生逻辑推理和数学运算的核心素养.问题2：若与直线垂直，点到直线的距离还等于吗？ 【预设的答案
4、】若与直线垂直，则，.问题3：在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点以及直线，那么点应该如何确定？【预设的答案】 点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度不会随着点的变化而变化，故点可以是直线上的任意一点.问题4：求解距离的过程中是否需要确定垂线段的垂足？【预设的答案】不需要，只需要参考向量和直线的单位方向向量.【设计意图】通过问题串，引导学生继续深入理解用空间向量的方法解决点到直线距离问题的方法，理解利用向量求解点到直线距离问题时，只需该点和直线上的任意一点确定的参考向量，不必确定垂足的位置，体会向量方法的的优越性.教师讲授：要理解公式中各字母的含义，明确点到直线的距离为
5、参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.因此，求解点到直线距离问题时，只需直线的方向向量及直线上的任意一点，这样得到参考向量或， 再求得直线的单位方向向量带入公式即可.问题5：求点到直线距离的主要有哪些方法？【预设的答案】(1)作点到直线的垂线,点到垂足的距离即为点到直线的距离；(2)在三角形中用等面积法求解；(3)向量法，即点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.思考：类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行线间的距离？【预设的答案】在其中一条直线上任取一点，将求两条平行直线之间的距离转化为求点到另一条直线的距离.【设计意图】根据已有知识类比学习，引导学生明确平行
6、直线间的距离的求法：转化为一条直线上的任一点到另一条直线的距离，让学生感悟转化思想，化未知为已知为后续把直线与平面间的距离、两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，在思想方法上做铺垫.探究二 已知平面的法向量为,是平面内的定点，是平面外一点.过点作出平面的垂线，交平面于点.类比点到直线距离的研究过程，如何用向量表示？【预设的答案】如图,向量在直线上的投影向量是，且.问题6：点到平面的距离应该怎样表示？【预设的答案】 .【设计意图】 教师提出问题串，类比点到直线距离的研究过程，合作探究，得到点到平面的距离公式，让学生进一步体会平面的法向量在刻画平面、求距离中的作用.在求解点到平面的距离的过程中
7、，平面的法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了图形直观，又提供了代数定量刻画.在这个过程中，向量与起点无关的自由性也为求距离带来了便利.问题7： 在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点以及平面，那么点应该如何确定？求解距离的过程中是否需要找出点在平面内的投影以及垂线段？【预设的答案】点可以是平面内的任意一点.不需要找出点在平面内的投影以及垂线段.【活动预设】教师提出问题串，引导学生思考，加深对公式的理解，教师总结.教师讲授：求解点到平面距离问题时，理解公式中各字母的含义，只需平面的法向量及平面内的任意一点，这样得到“参考向量”，明确点到平面的距离为参考向量与法向量数量
8、积的绝对值与法向量的模之比，即参考向量与法向量方向上的单位向量的数量积取绝对值. 【设计意图】 类比点到直线距离的研究方法，以类似的方法研究点到平面的距离，使学生学会距离公式的同时，体会数学中常见的研究问题的方法“类比”.思考：如果直线与平面平行，如何求直线与平面的距离？如何求两平行平面之间的距离？【预设的答案】 先证明直线与平面平行或面面平行，再转化为点到平面的距离.【设计意图】 通过对所提问题的思考，引导学生明确直线到平面的距离以及两平行平面的距离的求法：都可以转化为点到平面的距离师生共析，将平行于平面的直线和两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，得到统一的向量表达式，进一步体会转化的
9、思想.问题8：求点到平面的距离主要有哪些方法？【预设的答案】 (1)作点到平面的垂线,点与垂足的距离即为点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法，即点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比.2.初步应用，解决问题例1 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.(1)求点到直线的距离；(2)求直线到平面的距离.【活动预设】学生分析解题思路，教师给出解答示范.让学生注意到点在直线上，因此，可以选择作为参考向量.事实上，可以选择直线上的任意一点和确定“参考向量”，另外，让学生注意到平面的法向量不唯一.【预设的答案】解：以为原点， ，所在直线
10、为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，,.（1） 取，则 ，所以，点到直线的距离为(2) 因为，所以，又面，面， 所以平面，所以点到平面的距离，即为直线到平面的距离设平面的法向量为，则 所以 所以 取，则，,所以，是平面的一个法向量,又因为，所以点到平面的距离为 ,即直线到平面的距离为【设计意图】通过典型例题，使学生巩固并逐步掌握利用向量方法求空间距离的方法，体会向量方法再解决距离问题中的作用，渗透用空间向量解决立体几何问题的一般过程,并注意培养学生规范的解题能力.追问： 求两种距离的步骤是怎样的？【活动预设】学生结合具体实例及公式特征，尝试总结解题步骤，教师总结.【预设的答案
11、】点到直线的距离 ：第一步：建系，在直线上任取一点 (注：选择特殊便于计算的点)，求“参考向量(或)”的坐标. 第二步： 依据图形先求出直线的单位方向向量.第三步：带入公式求解.点到面的距离 :第一步：建系，选择“参考向量”； 第二步：确定平面的法向量；第三步： 带入公式求值.【设计意图】总结求解距离问题的步骤，培养学生抽象概括的数学素养.3. 梳理归纳，感悟本质思考：回顾这节课的学习，我们学习了哪些内容？用的是什么方法？【预设的答案】本节课我们一起应用空间向量及其运算研究了求空间中的距离问题，包括两点间的距离，点到直线的距离，平行直线之间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，平行平面之间
12、的距离等，结合投影向量、勾股定理以及向量数量积运算等，我们得到了这些距离问题的计算公式，并通过例题的解决，体会了公式的使用，在很多问题中，我们需要建立空间直角坐标系，求出点的坐标，以及直线的方向向量、平面的法向量的坐标表示，代入公式进行计算我们用类比和转化的研究方法，把要解决的五个距离问题转化为两个距离问题，几何问题转化为向量问题，求解距离转化为向量运算，在此过程中提升直观想象、数学运算和逻辑推理等数学学科核心素养教师讲授：本节课的学习你体会到向量方法解决立体几何问题的“三步曲”吗？与用平面向量解决平面几何问题的 “三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的 “三步曲”： （1）建
13、立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.四、课后作业1在棱长为的正方体中，点到平面的距离等于_；直线到平面的距离等于_；平面到平面的距离等于_2已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（ ） A B C D3已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）A B C D4如图，在棱长为的正方体中，求平面与平面的距离【设计意图】作业中的4个题目，包括了求点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离以及两平行平面间的距离等主要的距离问题，尤其突出训练了本节课的重点以及难点，即点到直线、点到平面的距离.这样可以使学生巩固课上所学习的知识，提升对公式的应用能力.