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1、2021北京四中初二（下）期中数 学一、选 择 题（每小题3 分，共 3 0 分）1.（3分）能使百片有意义的x的取值范围是（）A.x 0 B.x -1 C.x-D.x E的延长线于点F,若E F=3,则。E的长为.15.（3分）阅读下面材料在数学课上，老师提出如下问题：已知：RtAABC,ZA B C=90.求作：矩形 ABCD.小敏的作法如下：以A为圆心，8 C长为半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点。；连接D C；所以四边形48C。为所求矩形.老师说：“小敏的作法正确.”请回答：小敏的作法正确的理由是16.（3分）如图，已知边长为2的等边三角形A 8C中，分别以点A,C为
2、圆心，加为半径作弧，两弧交于点。，连接8 D若BO的长为2次，则相的值为.17.（3分）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程f+5 x-14=0即x（x+5）=1 4为例加以说明.数学家赵爽（公元34世纪）在其所著的 勾股圆方图注中记载的方法是：构 造 图（如图左图）中大正方形的面积是（X+X+5）2,其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4x14+52,据此易得x=2.那么在如图右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程-4 x-1 2=0的 正 确 构 图 是.（只填序号）1 8.（3分）如图，点A,B,C为
3、平面内不在同一直线上的三点.点O为平面内一个动点.线段A B,BC,CD,DA的中点分别为M,N,P,Q.在点。的运动过程中，有下列结论:存在无数个中点四边形M N P Q是平行四边形;存在无数个中点四边形M N P Q是菱形;存在无数个中点四边形M N P Q是矩形;存在两个中点四边形M N P Q是正方形.所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.二、解答题1 9.（8分）计算 需-丘+（1 -V s）+lV2-H；（2）扬（布点）（V 7-V 5）.2 0.（6分）解下列一元二次方程：（1）J I2-2 x=0；（2）（用配方法解方程）/-8无+1=0.2 1.（5分）如图，四边形4 8
4、c o为平行四边形，E,尸是直线3 0上两点，且 B E=D F,连接A R C E,求证：A F=CE.D2 2.（4分）如图，在4 x 4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，边长为1,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图.图 图（1）在图中，画一个格点三角形A B C,使得A B=遥，B C=2娟,CA=5.（2）在（1）的条件下，直接写出A C边上的高.（3）在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数.2 3.（3分）阅读下面的例题：解方程:x2-W -2=0.解：（1）当x K）时，原方程化为r-x-2=0,解得：X|=2,X2-1 （不合题意，舍）.（2）
5、当x0时，原方程化为f+x-2=0,解得：.综上，原方程的根是.请参照例题解方程x2 f -3|-3=0,则此方程的根是.2 4.（5分）如图，菱形488的边长为1,N A B C=6 0。，点E是边A B上任意一点（端点除外），线 段C E的垂直平分线交8力，C E分别于点尸，G,A E,E F的中点分别为M,N.(1)求证：A F=EF；(2)NCEF=M N+N G的最小值为2 5.(7分)如 图，正方形4 B C D中，点E在A B上，点尸在B C的延长线上，DFLDE,E G 平分N B E F 交 B D 于点G.(1)求证：D E=D F；(2)请写出线段力G和。尸的数量关系并证
6、明；(3)作G H L E F于点H,请直接写出线段A 3、GH与E F的数量关系.2 6.(8分)对于平面直角坐标系x O y中的图形M,N,给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如 果P,。两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离”，记 作d(M,N),已知点 A (-2,6),8 (-2,-2),C(6,-2).(1)求 d(点。，A B C)；若点尸在x轴正半轴上，d(点 P,Z X AB C)=3,求点P的坐标.(2)记函数(-1人1,厚0)的图象为图形G,若d (图G,/XABC)=1,直接写出我的取值范围；(3)以点P(x,y)为正方形中
7、心，四条边均平行于坐标轴且到P点距离为1的正方形为P-单位正方形，若点P(/,0)在x轴上且d (尸-单位正方形，AB C)=1,请直接写出f的取值范围.3X5 6四、附加题2 7.（6分）如图，将等边三角形的三条边分别8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8,将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系，在建立的，三角形，坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表 示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1,2,5）,点8的坐标可表示为（3,1,4）.（1）
8、按此方法，则点C的坐标可表示为，点D的坐标可表示为.（2）若尸点的坐标为（3,m,m-1）,则m.（3）在图中以A、B、C、E为顶点构成平行四边形，则E点的坐标为.2 8.（6分）小明遇到这样一个问题：如 图1,在四边形AB C。中，NB=4 0。，Z C=5 0,A B=CD,AD=2,B C=4,求四边形AB C。的面积.经过思考小明想到如下方法：以 8 c 为边作正方形8 cM M 将四边形ABC。绕着正方形8cM N的中心逆时针旋转90。，180。，270,而分别得到四边形FNB4,EMNF,D C M E,则四边形4OEF是(填一种特殊的平行四边形),S 四边形 468=图 1图 2
9、图 3解决问题：如图 3,四边形 ABC。，ZBAD=40,ZCD4=160,AB=C的面积为_ _ _ _ _ _ _ _.29.(8 分)在 菱 形 ABCD中，NABC=60。，点 K 是线段4 8 延长线上一点，D E,取 D E的中点尸，连接BF.(1)依照题意补全图形.(2)求证：NFDA=NFBA.(3)若 点 G 是线段B E 延长线上任意一点，连 接 C G,点 为 C G 中点,的数量关系，并证明.6_ C D,AD=6,8 c=1 2,则四边形 A8C)点 E 是NCBK的平分线上一点，连接连 接 F H,用等式表达EG,DA,FHBK2021北京四中初二（下）期中数学参
10、考答案一、选 择 题（每小题3 分，共 30分）1 .【分析】利用二次根式的有意义的条件可得1+e 0,再解即可.【解答】解：由题意得：1+xK）,解得：_ 1，故选：C.2.【分析】根据平行四边形的对边相等，得平行四边形的一组邻边的和等于周长的一半，即 2 8 9 2=1 4,已知一边长可求另一边长.【解答】解：平行四边形周长为28,.一边长与另一边长和为14,，另一边长=14-6=8c/n.故选：D.3.【分析】根据算术平方根的定义逐一判断即可.【解答】解：A,&7=收 彳=3次，故此选项符合题意；B,J 万 万=遍=2,故此选项不符合题意；C,无意义，故此选项不符合题意；D,V l 6=
11、4,故此选项不符合题意.故选：A.4.【分析】根据菱形的性质及已知可得ABC为等边三角形，从而得到AC=AB.【解答】解：,四边形48。是菱形，；AB=BC,AB/CD,A 180,VZBCD=120,N 8=60。,：./ABC为等边三角形，.,.AC=AB=5.故选：D.5 .【分析】由 8 2 =6 4,1 5 2=2 2 5,1 7 2=2 8 9,6 4+2 2 5=2 8 9,可得出8 2+，=1 7 2,再利用勾股定理的逆定理，即可找出三边长分别为8,1 5,1 7 的三角形为直角三角形.【解答】解：8 2 =6 4,1 5 2 =2 2 5,*2=2 8 9,6 4+2 2 5
12、=2 8 9,r.82+1 52=1 72,三边长分别为8,1 5,1 7 的三角形为直角三角形.故选：C.6 .【分析】由平行四边形的判定可求解.【解答】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项4不符合题意；两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项C符合题意；对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项O不符合题意；故选：C.7 .【分析】先利用完全平方公式计算，再化简得到原式=4+8,然后利用新定义对各选项进行判断.【解答】解：（J5+）2=2+2 j f 分6=4 +8,所 以（加城）2 是 型无理数
13、.故选：B.8 .【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形4 E C F 形状的变化情况.【解答】解：观察图形可知，四边形A E C F 形状的变化依次为平行四边形一菱形一平行四边形一矩形.故选：B.9 .【分析】连接EG,根据A G垂直平分EF,即可得出EG=FG,设 C E=x,则 E=5-x=B F,F G=E G=S-x,再根据R t a C E G 中，CE2+CG2=EG2,即可得到CE的长.【解答】解：如图所示，连接E G,F B G c由旋转可得，）1 丝A8F,；.AE=AF,DE=BF,又,.，AG_LEF,H为 EF的中点，：.AG垂直平分EF,:.EG=F
14、G,设 C E=x,则。E=5-x=B F,FG=8-x,；.EG=8-x,V Z C=90,RtA CG 中，CE+CG2=EG2,即+22=（8-JC）2,解得x=K,4；.CE的长为工,4故 选:B.1 0.【分析】由图2 知，4B=B C=10,当 8P_L4C时，y 的值最小，即ABC中，AC边上的高为8（即此时BP=8）,即可求解.【解答】解：由图2 知，AB=BC=Q,当 BP_LAC时，y 的值最小，即ABC中，AC边上的高为8（即此时8P=8）,当 y=8 时,PC=-/BC2-BP2=V 102-82=6 fABC 的面积=2 x A C x 8 P=!X 8x12=48,
15、2 2故选：D.二、填 空 题（每小题3 分，共 24分）1 1 .【分析】求出3&=0至，4=5 7元，再进行比较即可.【解答】解：3&=在2 x 2=后，4=怖，：后我，二3&4.故答案为：.1 2【分析】首先根据勾股定理计算直角三角形的斜边，再根据直角三角形的性质进行计算.【解答】解：在 AB C中，V Z AC B=9 0,A C=6cm,B C=8cm：.A C2+B C2=A B2AB=4AC2+BC 2T$2+8 2=1 0 c w：8 是A B边上的中线*.CD A B x 1 0=5 cz.1 3【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案.【解答】解：V x（x-6）=
16、V x,V x-6,.f x0解 得:x6,即写一个满足条件的x的值，例如：7 （答案不唯一，大于等于6的数均可）.故答案为：7 （答案不唯一，大于等于6的数均可）.1 4.【分析】先证明O E为 AB C的中位线，得到四边形8 C F E为平行四边形，求出B C=E F=3,根据中位线定理即可求解.【解答】解：。、E 分别是A8C的边AB、AC的中点,.DE为ABC的中位线，：.DE/BC,DE=yBC-.CF/BE,，四边形BCFE为平行四边形,：.BC=EF=3,1 3 二 DE-BC号故答案为：215.【分析】直接利用基本作图方法得出四边形4BC力是平行四边形，进而利用矩形的判定方法得
17、出答案.【解答】解：以A 为圆心，BC长为半径作弧，以 C 为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点。；连接D4、DC；所以四边形ABC。为所求矩形.理由：AD=BC,AB=DC,，四边形A8CQ是平行四边形，ZB=90,二平行四边形ABCO是矩形.故答案为：有一个角是直角的平行四边形是矩形.16【分析】由作图知，点。在 AC的垂直平分线上，得到点B 在 A C的垂直平分线上，求 得 垂 直 平 分 A C,设垂足为E,得到B E=E，当点。、8 在 AC的两侧时，如图，当点。、B 在 AC的同侧时，如图，解直角三角形即可得到结论.【解答】解：由作图知，点 D 在 AC的垂直平分线上,.4BC是
18、等边三角形，.点8 在 AC的垂直平分线上，垂直平分4C,设垂足为E,.4C=A8=2,:.B E=M，当点。、B 在AC的两侧时，如图,:BD=2M，：.BE=DE,；.AQ=AB=2,*m=2；当点。、B 在 AC的同侧时，如图,:B D FM，二。名=3次，AD=(%)2+12=2 A.*.m=2 A综上所述，的值为2 或 2 4，故答案为：2 或 2救.17.【分析】仿照案例，构造面积是(x+x-4)2的大正方形，由它的面积为4x12+42,可求出x=6,此题得解.【解答】解：Vx2-4x-12=0 即 x(x-4)=12,构造如图中大正方形的面积是（x+x-4）2,其中它又等于四个矩
19、形的面积加上中间小正方形的面积，即4 x 1 2+4 2,据此易得x=6.故答案为：.1 8.【分析】连接AC、BD,根据三角形中位线定理得到P Q AC,P Q-AC,MN/A C,M N=AC,根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可.【解答】解：当4 c与8。不平行时，中点四边形M N P Q是平行四边形；故存在无数个中点四边形M N P Q是平行四边形；当A C与BD相等且不平行时，中点四边形M N P Q是菱形；故存在无数个中点四边形M N P Q是菱形；当A C与B O互相垂直（B,。不重合）时，中点四边形M N P。是矩形；故存在无数个中点四边形M N P Q是矩形；
20、如图所示，当A C与8。相等且互相垂直时，中点四边形M N P。是正方形.故存在两个中点四边形M N P Q是正方形.故答案为：.三、解答题1 9【分析】（1）先利用零指数幕的意义计算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可;（2）根据二次根式的除法法则和平方差公式计算.【解答】解：（1）原 式=申-3扬1+&7=隹2 1（2）原式=1 2+2+7-5=V6+2.2 0【分析】(1)利用因式分解法求解即；(2)利用配方法求解即可可.【解答】解：(1)Vx2-2x=0,.*.x (x -2)=0,贝ij x=0 或 x -2=0,*%1 =0,念=2；(2)Vx2-8 x+1 6=1 5,(x
21、-4)2=1 5,则x-4=V1 5-解得 x i=4+/1 5，及=4 -Vl 5.21.【分析】只要证明A O F之 C 8 E,即可解决问题;【解答】解：；四边形A B C O是平行四边形，J.A D/B C,A D=B C,NA DB=NDB C,ZA DF+ZA DB=180,N C BE+N f t BC=1 8 0 ,/A D F=NCB E,:DF=B E,:AAD F迫2CB E(SA S),：.A F=CE.22.【分析】(1)利用数形结合的思想解决问题即可.(2)利用面积法求解即可.(3)根据要求作出图形(答案不唯一).【解答】解：(1)如图，4 BC即为所求.(2)4
22、c边上的高=2立X立.=2.523.【分析】去掉绝对值，然后利用因式分解法解一元二次方程即可.【解答】解：当xVO时，原方程化为/+x-2=0,解这个方程，XI-2,X 2=l（不合题意，舍去）.故答案为：X|=-2,X2=l（不合题意，舍去）.综上，原方程的根是制=2,及=-2；故答案为：x=2,xz=-2；当於3 时，原方程化为x2-x=O,解得：Xl=o,X2=l（均不合题意，舍）.当x =&A B,由(2)可知，D G=D E,O EF是等腰直角三角形，贝 U 即可解决问题.【解答】(1)证明：.四边形ABCD是正方形，：.ADCD,NBAD=NBCD=90,，/CDE+NEDA=90
23、。,/F C D=/E A D=90。,VDEDF,/.ZFDC+ZCDE=90,：.ZFD C=ZED A,：./E D A/F D C (ASA),：.DE=DF；(2)解：D G=D F,证明如下：由(1)得：DE=DF,：NFDE=90。,NEF是等腰直角三角形，；N D FE=/D EF=45。,:/DEG=45+NFEG,四边形ABC。是正方形，NABG=45。，ZDGE=ZABG+ZBEG=45+ZBEGfVEG 平分NBEF,:/F E G=/B E G,：.ZD EG=ZD GE,:DE=DG,:DG=DF；(3)解：AB-GH=E F,理由如下：2过点G 作 GMLAB于
24、M,如图所示：TEG 平分NBEF,GM.LAB,GHLEF,:.GM=GH,：/ABG=45,A BO 是等腰直角三角形，.2 G=&GM=&G，B D=yp2A B,由（2）可知，D G=D E,E F是等腰直角三角形,:.EF=42PE,:D E=D G,：.D G=26 【分析】（1）根据点A、B、C三点的坐标作出 A BC,利用“闭距离”的定义即可得;（2）由题意知）=在7W烂 1 范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过（1,-1）和（-1,-1）时k的值即可得；（3）分 P-单位正方形在 A 8 C 的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得.【解答】解：
25、（1）如图所示，点。到 4 BC 的距离的最小值为2,：.d（点 O,ABC）=2；尸在x 轴正半轴，由点到直线垂线段最短可知，P 在。时，最小距离=2&3,V2故 P 在A C A与 x 轴交点右侧，过 C 作C E L x轴于E,：.C E=D E=2,则 PC=3,故 P E=8尸=4+2+7,故 尸（6+75，0）；（2）y=kx（厚0）经过原点，在-1 W g 1范围内，函数图象为线段，当），=丘（-1姿 1,厚0）经 过（1,-1）时，&=-1,此时 d（G,ABC）=1；当（-1X 1,七0）经 过（-1,-1）时，上=1,此时 d（G,ABC）=1；，-l i l,:原 0,：
26、.-1K1 且厚0；（3）正方形与ABC的位置关系分三种情况：当 P-单位正方形在ABC的左侧时，由d（P-单位正方形，ABC）=1 知此时f=-4；当在P-单位正方形A8C内部时,当点P与原点重合时，“（P-单位正方形，A BC）=1,知此时1=0；当点P位于鼻位置时，由d（P-单位正方形，4 BC）=1知P 3 M=2,：4 8=B C=8、Z A BC=90,；./。=/尸3。用=4 5 ,则 心。=P3Mcos450,1W 2cos450=2+V2.32-&,故此时O S江2-&；当在P-单位正方形4 A B C右边时，由d（P-单位正方形，A BC）=1知尸W=2,.,/P4O C=
27、N C=45,:.PAD=P4Ncos450_ 1W 2cos450=2+&,.,./=6+V2：综上，f=-4 或 0 Z E尸是菱形，ZOADZOAF=45,AZM E=90o,菱形形AOE尸为正方形，；S 四边形 A8CO=-(S 四 边 彬 BC M N -S 四边形 AOEF)=士-(42-22)=3.4 4故答案为：正方形，3；解决问题：如 图3,以 为 边 作 等 边 三 角 形8 c M,将四边形43C Q绕着等边三角形BCM的中心逆时针旋转120,2 4 0,而分别得到四边形ME43,EMCD,以BC为边作等边三角形8 C M,将四边形A8CO绕着等边三角形8 c M的中心逆
28、时针旋转120。，240,而分别得到四边形ME48,EMCD,：.AD=AE=ED,三角形AOE是等边三角形，S 四边形 ABCD=(SABCM SAADE)，%。=6,8 c=12,*SABGW-C*C*sin60=-x 12x 12x-*-36A/,2 2 2 2 2 2,S四边形AB C。=不 (3 6 V 3-9 V 3)=9 ,o故答案为：973.29【分析】(1)按照题目要求作图即可；(2)连接0 8,根据四边形ABC。是菱形，可得/D 3 C=3 0。，NC8E=60。，即可得出NBE=90。，再由尸为BE中点，运用直角三角形性质即可证得结论；(3)连接C E,取CE中点为点M,
29、连接FM,H M,延长交A B于点N,设EG=a,DA=b,F H=c,运用三角形中位线定理可得FM=b./M F=/M M 4 =N A B G=1 2 0。；过点4作 H P _L F P 交 FM延长2 2线于点P,运用勾股定理即可得出结论.【解答】解(1)如图所示.D y-S(2)如图所示，连接D B,-?四边形A B C D 是菱形，.8。平分/4 8(7,，ZDBC=ZABC=30,2同理/CBE=Z CBK=6 0 ,2NDBE=NDBC+NCBE=9G0,在中，尸为B E中点,J.B F DEDF,：./FD B=N FBD,：DA=AB,：.ZAD BZABD,.ZFDA=Z
30、FBA.(3)4FH2=EG2+DA2+EG-DA.如 图 1 所示，连 接 C E,取 C E中点为点M,连接F M,H M,延长HM交 AB 于点N,不妨设 E G=m DA=b,FH=c,:H,M分别为C G,C E的中点，：.H M/G E,且“M=LG=L,2 2同理F M O C,且 加=工。=工。4=上42 2 22HMF=ZMNA-NABG=1 2 0 ；如图2所示，过点H 作HP1FP交FM延长线于点P,在 中，N H M P=6 0。，HM=a,2i M：.MP=a,H P=4 a.4 4：.FP=b+a.2 4在 中，NHPM=90,：.HP1+MP1=HM2,即 2+(/7+a)2=,2,4 2 4化简得：Accr+lr+ab.即 4FH2=EG2+DA2+EG-DA.H1图2图1