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1、12.3 角的平分线的性质第十二章 全等三角形第1课时 角平分线的性质学习目标 1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.（难点）2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.（重点）问 题：如 图，是 一 个 角 平 分 仪，其 中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?ABC(E)D 其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.问题：问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？具，能实现该仪器的功能吗？ABO尺规作角平分线一 做一做：做一
2、做：请大家找到用尺规作角的平分线的请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系方法，并说明作图方法与仪器的关系.提示：(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?ABMNCO已知:AOB.求作：AOB的平分线.仔细观察步骤 作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.已知：平角AOB.求作：平角A
3、OB的角平分线.结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.ABOC 1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PDOA，PE OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：_ PD PE 第一次第一次第二次第二次 第三次第三次 COBAPD=PEpDE 实验：OC是AOB的平分线，点P是射线OC上的 任意一点猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质二PD=PEpDEPD=PEpDEPD=PE验证猜想已知：如图，OC平分AOB,点P在OC上，PDOA于D,PEOB于E,求证：
4、PD=PE.PAOBCDE证明：PDOA于D,PEOB于E PDO=PEO=90 在PDO和PEO中PDO=PEOAOC=BOCOP=OP PDO PEO(AAS)PD=PE角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.这是一个真命题，这是一个真命题，我们来证明。首先，要分清其中我们来证明。首先，要分清其中的的“已知已知”和和“求证求证”。在证明之前，在证明之前，先画出图形，并用几何符号表示已知先画出图形，并用几何符号表示已知和求证。和求证。OC平分AOB AOC=BOC 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2
5、.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.方法归纳 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：证明线段相等.u应用格式：OP 是AOB的平分线，PD=PE推理的已知条件有三个，必须写完全，不能少了任何一个.知识要点PDOA于D,PEOB于E，BADOPEC (角的平分线上的点到角的两边的距离相等)判一判：（1）如下左图，AD平分BAC（已知），_=_，(角的平分线上的点到角的两边的距离相等）BD CDBADC(2)如上右图，DCAC，D
6、BAB （已知）._=_,(）角的平分线上的点到角的两边的距离相等BD CDBADC例1：已知：如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DEAB,DFAC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF证明:AD是BAC的角平分线，DEAB于E,DFAC于F DE=DF DEB=DFC=90 在RtBDE 和 RtCDF中DE=DFBD=CD RtBDE RtCDF(HL)EB=FC(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)练习1：已知：如图，OC是AOB的角平分线，BDOA于D,AEOB于E,AE与BD恰好相交于C.求证：AC=BC.证明:OC是AOB的角平分线，CDOA于D,C
7、EOB于E CD=CE ADC=BEC=90 在RtADC 和 RtBEC中CD=CE RtADC RtBEC(HL)AC=BC(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)ABCDEOADC=BECACD=BCE练习2：已知：如图，BD是ABC的平分线，AB=CB,P在BD上，PMAD于M,PNCD于N求证：PM=PN.BCNDAPM证明:BD是ABC的平分线，ABD=CBD在在ABDABD与与CBDCBD中中ABDCBDABDCBD（SASSAS）AB=CB AB=CB ABD=CBD ABD=CBD BD=BD BD=BD DBDB平分平分ADCADCADB=CDBADB=CDBPMAD于M,
8、PNCD于NPM=PNPM=PN例2:如图，AM是BAC的平分线，点P在AM上，PDAB，PEAC，垂 足 分 别 是 D、E，PD=4cm，则PE=_cm.BACPMDE4ABCP变式：如图，在RtABC中，AC=BC,C90，AP平分BAC交BC于点P，若PC4,AB=14.（1）则点P到AB的距离为_.D4温馨提示：温馨提示：存在一条垂线段存在一条垂线段构造应用构造应用A AB BC CP P变式：如图，在Rt ABC中，AC=BC,C900，AP平分BAC交BC于点P，若PC4，AB=14.（2）求APB的面积.D D（3）求PDB的周长.A AB BC CP P变式：如图，在Rt A
9、BC中，AC=BC,C900，AP平分BAC交BC于点P，若PC4，AB=14.D D（3）求PDB的周长.解:C=90 PD=PC PDA=PCA=90 在RtPDA 和 RtPCA中PD=PCPA=PA RtPDA RtPCA(HL)AD=AC(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)AP平分BAC PDAB于D,PCAC于C AC=BC BC=ADBC=PB+PC,PD=PC AD=PB+PD PB+PD+BD =AD+BD=AB=14答：PDB的周长为14.1.应用角平分线性质：存在存在角平分线角平分线涉及涉及距离问题距离问题2.联系角平分线性质：面积面积周长周长条件条件知识与方法知识与
10、方法利用角平分线的性利用角平分线的性质所得到的等量关质所得到的等量关系进行转化求解系进行转化求解当堂练习当堂练习1.ABC中,C=90,AD平分CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .ABCD3E2.如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，SABC7，DE2，AB4，则AC的长是()A6 B5 C4 D3DBCEAD解析：作DFAC于F AD是ABC的角平分线 DEAB于E DFDE2F方法总结：方法总结：利用角平分利用角平分线的性质作线的性质作辅助线构造辅助线构造三角形的高三角形的高.解得AC3.3.如图，已知ADBC，P是BAD与 ABC的平分线的交点，PEAB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.解：作PMAD于M，交BC于N.ADBC PNBC AP平分BAD,PMAD,PEAB，PM=PE.同理，PN=PE.PM=PN=PE=3.MN=6.即AD与BC之间的距离为6.BCEDAPMN课堂小结课堂小结角平分线尺 规作 图属于基本作图，必须熟练掌握性 质定 理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等辅 助 线添加过角平分线上一点向两边作垂线段见典中点本课时练习课后作业：P 51 2、5课后作业：