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1、12.312.3 角的平分线的性质角的平分线的性质第十二章 全等三角形第第1 1课时课时 角平分线的性质角平分线的性质学习目标学习目标 1. 1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理线的性质定理. .（难点）（难点） 2. 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. . （重点）（重点） 问 题 ：问 题 ： 如 图 ， 是 一 个 角 平 分 仪 ， 其 中如 图 ， 是 一 个 角 平 分 仪 ， 其 中AB=ADAB=AD, ,BC=DCBC=DC. .将点将点A A放在角的顶点放在角的顶点,AB
2、,AB和和ADAD沿着角沿着角的两边放下的两边放下, ,沿沿ACAC画一条射线画一条射线AE,AEAE,AE就是角平分线就是角平分线，你能说明它的道理吗，你能说明它的道理吗? ?A AB BC C( (E E) )D D 其依据是其依据是SSSSSS，两全等三角形的，两全等三角形的对应角相等对应角相等. . 问题：问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？具，能实现该仪器的功能吗？A AB BO O尺规作角平分线一 做一做：做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系方法，并说明作图方
3、法与仪器的关系. .提示：提示：(1)(1)已知什么？求作什么？已知什么？求作什么？(2)(2)把平分角的仪器放在角把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个等，怎样在作图中体现这个过程呢过程呢? ?A AB BM MC CO O已知已知:AOBAOB. .求作：求作：AOBAOB的平分线的平分线. .仔细观察步骤仔细观察步骤 作角平分作角平分线是最基本的线是最基本的尺规作图尺规作图, ,大家大家一定要掌握噢一定要掌握噢! !作法：作法：（1 1）以点）以点O O为圆心，适当为圆心，适当长为半径画
4、弧，交长为半径画弧，交OAOA于于点点M M，交，交OBOB于点于点N N. .（2 2）分别以点）分别以点M M、N N为圆心，大为圆心，大于于 MNMN的长为半径画弧，两弧在的长为半径画弧，两弧在AOBAOB的内部相交于点的内部相交于点C C. .（3 3）画射线）画射线OCOC. . 射线射线OCOC即为所求即为所求. .12已知：平角已知：平角AOB. AOB. 求作：平角求作：平角AOBAOB的角平分线的角平分线. .结论：结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法点作这条直线的垂线的方法. .A AB BO OC C 1. 1
5、. 操作测量操作测量：取点：取点P P的三个不同的位置，分别的三个不同的位置，分别过点过点P P作作PDOAPDOA，PE OB,PE OB,点点D D、E E为垂足，测量为垂足，测量PDPD、PEPE的长的长. .将三次数据填入下表：将三次数据填入下表：2. 2. 观察测量结果，猜想线段观察测量结果，猜想线段PDPD与与PEPE的大小关系，的大小关系，写出结：写出结：_ PD PE 第一次第一次第二次第二次 第三次第三次 C CO OB BA APD=PEp pD DE E 实验：实验：OCOC是是AOBAOB的平分线，点的平分线，点P P是射线是射线OCOC上上的的 任意一点任意一点猜想：
6、猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. .角平分线的性质二PD=PEp pD DE EPD=PEp pD DE EPD=PE验证猜想已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOB,AOB,点点P P在在OCOC上，上，PDPDOAOA于于D,PED,PEOBOB于于E E, ,求证：求证：PD=PEPD=PE. .P PA AO OB BC CD DE E证明：证明： PDPDOAOA于于D D, ,PEPEOBOB于于E E PDOPDO= = PEOPEO=90 =90 在在PDOPDO和和PEOPEO中中PDOPDO= = PEOPEOAOC=
7、BOCAOC= BOCOP= OPOP= OP PDOPDO PEOPEO(AAS)(AAS)PD=PEPD=PE角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 这是一个真命题，这是一个真命题，我们来证明。首先，要分清其中我们来证明。首先，要分清其中的的“已知已知”和和“求证求证”。 在证明之前，在证明之前，先画出图形，并用几何符号表示已知先画出图形，并用几何符号表示已知和求证。和求证。 OCOC平分平分AOBAOB AOCAOC= = BOCBOC 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即可以按照类似的
8、步骤进行，即1.1.明确命题中的已知和求证；明确命题中的已知和求证；2.2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；已知和求证；3.3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程途径，写出证明过程. .方法归纳 性质定理：性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离角的平分线上的点到角的两边的距离相等相等. .应用所具备的条件：应用所具备的条件：（1 1）角的平分线；）角的平分线；（2 2）点在该平分线上；）点在该平分线上；（3 3）垂直距离）垂直距离. .定理的作用：定理的作用： 证明线段相等证明线段相
9、等. .u应用格式：应用格式：OPOP 是是AOBAOB的平分线，的平分线，PD = PEPD = PE推理的已知条推理的已知条件有三个，必件有三个，必须写完全，不须写完全，不能少了任何一能少了任何一个个. .知识要点PDPDOAOA于于D D, ,PEPEOBOB于于E E，BADOPEC ( (角的平分线上角的平分线上的点到角的两边的距离相等的点到角的两边的距离相等) )判一判：判一判：（1 1） 如下左图，如下左图，ADAD平分平分BACBAC（已知），（已知）， _ _ = = _ _，( ( 角的平分线上的点到角的两边的距离相等）角的平分线上的点到角的两边的距离相等）BD CDBD
10、CDBADC(2) (2) 如上右图，如上右图， DCDCACAC，DBDBAB AB （已知）（已知）. . _ _ = = _ _ , , ( ( ） 角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等BD CDBD CDBADC例例1 1：已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中，ADAD是它的角平分线，是它的角平分线，且且BD=CDBD=CD, ,DEDEAB, DFAB, DFACAC. .垂足分别为垂足分别为E E, ,F F. .求证：求证：EB=FCEB=FC. .A AB BC CD DE EF F证明证明: :ADAD是是BACBAC的角平分线，
11、的角平分线， DE DEABAB于于E, DFE, DFACAC于于F F DE=DF DE=DF DEB=DFC DEB=DFC=90 =90 在在RtRtBDEBDE 和和 Rt RtCDFCDF中中DE=DFDE=DFBD=CBD=CD D Rt RtBDEBDE Rt RtCDFCDF(HL)(HL) EB=FC EB=FC( (角的平分线上的点到角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的两边的距离相等) )练习练习1 1：已知：如图，已知：如图，OCOC是是AOBAOB的角平分线，的角平分线，B BD DOOA A于于D, AED, AEOBOB于于E,AEE,AE与与BDBD恰好相交
12、于恰好相交于C C. .求证：求证：AC=BCAC=BC. .证明证明: :OCOC是是AOBAOB的角平分线，的角平分线， CD CDOOA A于于D, CED, CEOBOB于于E E CD=CE CD=CE ADC=BEC ADC=BEC=90 =90 在在RtRtADCADC 和和 Rt RtBECBEC中中CD=CECD=CE Rt RtADCADC Rt RtBECBEC(HL)(HL) AC=BC AC=BC( (角的平分线上的点到角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的两边的距离相等) )A AB BC CD DE EO OADC=BECADC=BECACD=BCEACD=BC
13、E练习练习2 2：已知：如图，已知：如图，BDBD是是ABCABC的平分线，的平分线，AB=CBAB=CB,P,P在在BDBD上，上，PMPMADAD于于M, PNM, PNCDCD于于N N求证：求证：PM=PNPM=PN. .B BC CN ND DA AP PM M证明证明: :BDBD是是ABCABC的平分线，的平分线， ABD=CBDABD=CBD在在ABDABD与与CBDCBD中中ABDABDCBDCBD（SASSAS）AB=CB AB=CB ABD=CBD ABD=CBD BD=BD BD=BD DBDB平分平分ADCADCADB=CDBADB=CDBPMPMADAD于于M, P
14、NM, PNCDCD于于N NPM=PNPM=PN例例2 2: :如图，如图，AMAM是是BACBAC的平分线，点的平分线，点P P在在AMAM上，上，PDABPDAB，PEACPEAC，垂足分别是垂足分别是D D、E E，PD=4cmPD=4cm，则则PE=_cm.PE=_cm.B BA AC CP PM MD DE E4 4A AB BC CP P变式：变式：如如 图，在图，在RtRtABCABC中，中，AC=BC,CAC=BC,C9090，APAP平分平分BACBAC交交BCBC于点于点P P，若，若PCPC4,4, AB=14. AB=14.（1 1）则点则点P P到到ABAB的距离为
15、的距离为_._.D D4 4温馨提示：温馨提示：存在一条垂线段存在一条垂线段构造应用构造应用A AB BC CP P变式：变式：如图，在如图，在Rt Rt ABCABC中，中，AC=BC,CAC=BC,C90900 0，APAP平分平分BACBAC交交BCBC于点于点P P，若，若PCPC4 4，AB=14.AB=14.（2 2）求）求APBAPB的面积的面积. .D D（3）求PDB的周长.PDABSAPB21解：)2(2841421A AB BC CP P变式：变式：如图，在如图，在Rt Rt ABCABC中，中，AC=BC,CAC=BC,C90900 0，APAP平分平分BACBAC交交
16、BCBC于点于点P P，若，若PCPC4 4，AB=14.AB=14.D D（3 3）求）求PDBPDB的周长的周长. .解解: :C=90C=90 PD=PC PD=PC PDA=PCA PDA=PCA=90 =90 在在RtRtPDAPDA 和和 Rt RtPCAPCA中中PD=PCPD=PCPA=PAPA=PA Rt RtPDAPDA Rt RtPCAPCA(HL)(HL) AD=AC AD=AC( (角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等) )APAP平分平分BAC BAC PD PDABAB于于D, D, PCPCACAC于于C C AC=BCAC=
17、BC BC=AD BC=ADBC=PB+PC,BC=PB+PC,PD=PC PD=PC AD=PB+PD AD=PB+PD PB+PD+BD PB+PD+BD =AD+BD=AB=14 =AD+BD=AB=14答：答： PDBPDB的周长为的周长为14.14.1.应用角平分线性质：存在存在角平分线角平分线涉及涉及距离问题距离问题2.联系角平分线性质：面积面积周长周长条件条件知识与方法知识与方法利用角平分线的性利用角平分线的性质所得到的等量关质所得到的等量关系进行转化求解系进行转化求解当堂练习当堂练习1.1.ABCABC中中, C=90, C=90, ,ADAD平分平分CABCAB, ,且且BC
18、BC=8,=8,BDBD=5,=5,则点则点D D到到ABAB的距离是的距离是 . .A AB BC CD D3 3E E2.2.如图，如图，ADAD是是ABCABC的角平分线，的角平分线，DEABDEAB，垂足为，垂足为E E，S SABCABC7 7，DEDE2 2，ABAB4 4，则，则ACAC的长是的长是( () )A A6 B6 B5 C5 C4 D4 D3 3D DB BC CE EA AD D解析：解析：作作DFACDFAC于于F F ADAD是是ABCABC的角平分线的角平分线 DEABDEAB于于E E DF DFDEDE2 2F F方法总结：方法总结：利用角平分利用角平分线
19、的性质作线的性质作辅助线构造辅助线构造三角形的高三角形的高. . 解得解得ACAC3.3.ABCACDABDSSS72212421AC3.3.如图，已知如图，已知ADADBCBC，P P是是BADBAD与与 ABCABC的平分线的平分线的交点，的交点，PEPEABAB于于E E，且，且PEPE=3=3，求，求ADAD与与BCBC之间的距之间的距离离. .解：作解：作P PM MADAD于于M M，交，交BCBC于于N N. . ADADBCBC PNPNBCBC APAP平分平分BADBAD, , PMPMADAD , , PEPEABAB， PMPM= = PE.PE.同理，同理， PNPN= = PE.PE. PMPM= = PNPN= = PE=PE=3 3. . MN=MN=6.6.即即ADAD与与BCBC之间的距离为之间的距离为6.6.B BC CE ED DA AP PM MN N课堂小结课堂小结角平分线尺 规作 图属于基本作图，必须熟练掌握性 质定 理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等辅 助 线添加过角平分线上一点向两边作垂线段见典中点本课时练习课后作业：课后作业：P 51 2P 51 2、5 5课后作业：课后作业：