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1、考点31 指数函数知识理解一指数函数的概念函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数形如ykax，yaxk(kR且k0，a0且a1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数二指数函数yax(a0，且a1)的图象与性质底数a10a0时，恒有y1；当x0时，恒有0y0时，恒有0y1；当x1在定义域R上为增函数在定义域R上为减函数注意指数函数yax(a0，且a1)的图象和性质与a的取值有关，应分a1与0a1来研究考向分析考向一 指数函数辨析【例1】(2020科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学)函数是指数函数，则a的取值范围是( )ABCD或【答案】C【解析】函数是
2、指数函数，且，由解得或，故选【举一反三】1(2021定远县育才学校)函数是指数函数，则a的取值范围是_【答案】【解析】因为是指数函数,所以,解得: 或即a的取值范围是.故答案为: 2(2020上海市松江二中)已知指数函数是严格增函数，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】因为指数函数是严格增函数，所以，解得：，故答案为：.3(2020全国高三专题练习)若函数是指数函数，则实数的值为_【答案】2【解析】因为函数是指数函数,所以且,解得.故答案为2考向二 指数函数定义域值域【例2】(2020全国课时练习)求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)；(3).【答案】(1)定义域，值域为且；（2） 定
3、义域，值域；(3)定义域，值域【解析】(1)要使函数式有意义，则，解得.所以函数的定义域为.因为，所以，即函数的值域为.(2)要使函数式有意义，则，解得，所以函数的定义域为.因为，所以，即函数的值域为.(3)函数的定义域为.因为，所以.又，所以函数的值域为.【举一反三】1(2020全国高三专题练习)函数的定义域为_，值域为_.【答案】 【解析】，x210，即x1，即函数的定义域为x|x1x21函数的值域为故答案为2(2020上海课时练习)函数的定义域为_，值域为_.【答案】 【解析】令，即，则，解得且.即函数的定义域为；当时，所以，则；当时，且当时，则且，所以，即；当时， ，则，所以；综上所述
4、，值域为.故答案为: ;.3(2020全国课时练习)求下列函数的定义域和值域：(1)；(2).【答案】(1)或；(2)【解析】(1)或.定义域为.由于，即，值域为.(2)，定义域为.由于，且，即且，值域为.考向三 指数式比较大小【例3】(2021江苏南通市海门市第一中学)已知，则a，b，c的大小关系为( )ABCD【答案】D【解析】，因为在单调递增，所以，即，因为在上单调递增，所以，即，所以，即故选：D.【举一反三】1(2021云南昆明市昆明一中高三月考)设，则，的大小关系为( )ABCD【答案】D【解析】由题可知，则，又，所以，故选：D.2(2021四川高三月考(文)设.则的大小关系是( )
5、ABCD【答案】A【解析】由指数函数的单调性知：，由幂函数的单调性知：，又，综上有：.故选：A3(2019江西九江市)设，则大小关系是( )ABCD【答案】C【解析】由幂函数和指数函数知识可得，即，.下面比较的大小，即比较与的大小.设，则，在上单调递增，在上单调递减，即，即，即，即，故选C.考向四 指数函数过定点【例4】(2020浙江)函数恒过定点_【答案】.【解析】因为函数过定点，而函数是将函数的图像向左平移个单位，向上平移个单位得到，所以函数恒过定点.故答案为：.【举一反三】1(2021上海市大同中学)已知函数的图像恒过定点，则的坐标为_.【答案】【解析】过定点(0,1)，而可以看成的图像
6、右移3个单位，再下移2个点位得到的，所以函数的图像恒过定点即A故答案为：2(2021上海市建平中学)对于任意实数，函数(且)的图像经过一个定点，则该定点的坐标是_【答案】【解析】因为函数图像可以通过向左平移个单位得，再将图像上的点向上平移个单位得到，且指数函数(且)恒过定点，所以函数(且)的图像经过定点.故答案为：3(2020江苏课时练习)已知函数(且)恒过定点，则_【答案】【解析】函数(且)恒过定点，则，故答案为：强化练习一、单选题1(2021全国高一课时练习)若指数函数是R上的减函数，则a的取值范围为( )ABCD【答案】C【解析】由指数函数的单调性可知，所以.故选C.2(2010吉林长春
7、市)如果指数函数是增函数，则的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】由于指数函数是增函数，所以，解得，故选A.3(2021四川雅安市)函数的定义域为()ABCD【答案】A【解析】由题意，解得故选：A4(2020全国课时练习)函数的定义域是( )ABCD【答案】A【解析】要使函数有意义，则需，即为，解得，则定义域为.故选：A.5(2021河北石家庄市石家庄一中)若，则( )ABCD【答案】D【解析】，所以.故选：D6(2021浙江丽水市)已知，则( )ABCD【答案】D【解析】，又函数单调递增，故，即，故选：D.7(2021云南高三期末)若，则、的大小关系是( )ABCD【答案】D【解析】，
8、即，又，因此，.故选：D.8(2021浙江)已知函数的图象恒过定点，则点的坐标为( )ABCD【答案】D【解析】对于函数，令，得，所以图象恒过定点，故选：D.9(2021长沙市湖南师大附中)函数(且)的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则的值为( )A-8B-9CD【答案】A【解析】，令，得，的图象恒过点，设，把代入得，.故选：A10(2020怀仁市第一中学校云东校区)函数(且)的图象恒过定点P，点P又在幂函数的图象上，则的值为( )A4B8C9D16【答案】C【解析】，令得，的图象恒过点，设，把代入得，.故选：C.11(2020毕节市实验高级中学)函数的图象一定经过点( )ABCD【答案】
9、C【解析】由解析式可得当时，故函数过定点.故选：C.12(2020浙江高一期末)已知是指数函数，则实数m的值是_【答案】3【解析】是指数函数，解得或，不满足题意故舍去，.故答案为：313(2020全国单元测试)指数函数f(x)=(a1)x在R上是增函数，则a的取值范围是_【答案】(2，+)【解析】指数函数f(x)=(a1)x在R上是增函数，a11，即a2，故a的取值范围是(2，+)故答案为(2，+)14(2020全国高三专题练习)函数的定义域为_.【答案】【解析】函数的自变量满足：，解得即 .故答案为：15(2021湖南长沙市)函数的值域为_【答案】【解析】设，则，因为，在定义域内为减函数，所
10、以，即，所以函数的值域为，故答案为：16(2021曲靖市沾益区第四中学)函数(，且)恒过一个定点，则该点的坐标为_.【答案】【解析】令得，.所以，所以函数恒过定点 故答案：17(2021山东济宁市)已知函数(且)的图象恒过定点，则点的坐标为_.【答案】【解析】时，所以函数图象恒过定点故答案为：18(2020浙江高一期末)函数的定义域为_，值域为_【答案】 且 【解析】由题意可得，解得：，所以函数的定义域为：，令，则，且，即，故函数的值域为且，故答案为：；且19(2020浙江杭州市学军中学高一期中)函数的定义域是_；值域是_.【答案】； ； 【解析】由题意知：指数中有， ，令，则有，故答案为：，；20(2021长春市第八中学)若函数，(，且)的图象恒过定点P，则点P的坐标为_，若点P在角的终边上，则_.【答案】 【解析】对于函数(，且)，令，求得，可得它的的图象恒过定点，点在角的终边上，故答案为：，