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1、考点02 指数与对数的运算知识理解一指数运算1根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果axn，那么x叫做a的n次实数方根n1且nN*当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数0的n次实数方根是0当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数负数没有偶次方根(2)两个重要公式(n为偶数)；()na(注意a必须使有意义)2有理指数幂(1)分数指数幂的表示正数的正分数指数幂是(a0，m，nN*，n1)；正数的负分数指数幂是(a0，m，nN*，n1)；0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义(2)有理指数幂的运算性质asatast(a0，t，sQ)；(a
2、s)tast(a0，t，sQ)；(ab)tatbt(a0，b0，tQ)二对数的概念(1)对数的定义一般地，如果a(a0，a1)的b次幂等于N，即abN，那么称b是以a为底N的对数，记作blogaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数底数的对数是1，即logaa1,1的对数是0，即loga10.(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a1)logaN常用对数底数为10lg N自然对数底数为eln N4.对数的性质与运算法则(1)对数的性质N(a0且a1，N0)； logaaNN(a0且a1)(2)对数的重要公式换底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1，N0)；logab(
3、a，b均大于零且不等于1)(3)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN； logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)； logaM考向分析考向一 根式【例1】(2020全国练习)化简下列各式：(1)； (2)； (3).【答案】(1)(2)原式(3)【解析】(1)原式.(2)原式，当时，原式；当时，原式.原式(3)原式.【举一反三】1_.【答案】【解析】化简得：，整理得：.故答案为：.2(2020四川省冕宁中学校)下列根式与分数指数幂的互化，正确的是( )ABCD【答案】C【解析】A. ，故错误；B. ，故错误；C. ,故正确；D
4、. ，故错误；故选：C3下列各式正确的是( )ABCD【答案】D【解析】对于A，当为负数时等式不成立，故A不正确；对于B，当时无意义，故B不正确；对于C，左边为正，右边为负，故C不正确；对于D，故D正确.故选：D.考向二 指数运算【例2】(2020浙江课时练习)计算下列各式：(1).(2).(3).【答案】(1)；(2)100；(3).【解析】(1)原式.(2)原式.(3)原式.【举一反三】（1） (214)12(2)0(278)23+(32)2 (2)21412(9.6)082723+322(3)(0.06415)2.52333380； (4) (235)0+22(214)12(0.01)0
5、.5 (5) (6)；【答案】(1)12.(2)12(3)0(4)1615(5)；(6)7)【解析】(1)由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得：(214)12(2)0(278)23+(32)2=(32)212(2)0(32)323+(32)2=32149+49=12，故答案为：12(2)21412(9.6)082723+322=9412123323+232=321=12(3)(0.06415)2.52333380=0.4315(2.5)23321=52321=0.(4)(235)0+22(214)12(0.01)0.5=1+1221940.01=1+1423110=1615(5)原式 (6)
6、原式.(7)原式；考向三 指对数的转化【例3】将下列指数式与对数式互化.(1)； (2)；(3)； (4).【答案】(1).(2).(3).(4).【解析】因为由可得，所以(1)由可得；(2)由可得；由可得，所以(3)由可得；(4)由可得.【举一反三】1(2020上海课时练习)将下列指数式改为对数式：(1)，对数式为_；(2)，对数式为_；(3)，对数式为_；(4)，对数式为_.【答案】 【解析】(1) 利用互化公式可得，.(2) 利用互化公式可得，(3) 利用互化公式可得，(4) 利用互化公式可得，.故答案为: ；.2(2020全国课时练习)用对数的形式表示下列各式中的x：(1)；(2)；(
7、3)；(4).【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【解析】(1) 根据指数式与对数式的相互转化 (2)根据指数式与对数式的相互转化(3)根据指数式与对数式的相互转化(4)根据指数式与对数式的相互转化考点四 对数式求值【例4】(2020全国课时练习)求下列各式中x的值：(1)； (2)；(3)； (4).【答案】(1)；(2)；(3)2；(4)【解析】(1)因为所以.(2)因为,所以.又所以(3)因为所以于是(4)因为所以于是【举一反三】1(2020宁县第二中学)方程的解_【答案】【解析】，经检验满足故答案为：.2(2019安徽金安六安一中)已知log7log3(log2x)0，那么()AB
8、CD【答案】D【解析】，故选D3.求下列各式中的x的值(1)log2(log3x)0；(2)log5(log2x)1；(3)log(1)x.【答案】(1)3 (2)32 (3)1【解析】(1)因为log2(log3x)0，所以log3x1，所以x3.(2)因为log5(log2x)1，所以log2x5，所以x2532.(3)1，所以log(1)log(1)(1)1，所以x1.考点五 对数运算或化简【例5】(2020上海课时练习)计算下列各式：(1)_；(2)_；(3)_；(4)_；(5)_【答案】-2 6 2 【解析】(1)；(2)(3)(4)(5)故答案为：；.【举一反三】1(2020四川达
9、州高三其他(文)计算_【答案】0【解析】由题意.故答案为：.2(2020石嘴山市第三中学)_.【答案】【解析】根据对数的运算性质及换底公式化简可得，故答案为：.3. log2log212log242；【答案】【解析】原式log2log22.4.(lg2)33lg2lg5(lg5)3.【答案】1【解析】原式(lg2lg5)(lg 2)2lg 2lg 5(lg 5)23lg2lg5(lg2)22lg2lg5(lg5)2(lg2lg5)21.强化练习一 化简或计算下列指数式(1) (2)(3). (4)(5)； (6).(7)； (8)(9) (10)(11)；(12)(13)(14)；(15)【答
10、案】(1)；(2)-2 (3)0(4)41 (5)； (6) (7)6；(8).（9） ；(10)(11)(12)；(13)(14)(15)44【解析】(1)原式(2)原式(3)原式 (4)原式(5)原式；(6)原式.(7)原式.(8)原式.(9)原式；(10)原式；(11)原式；(12)(13)(14)；(15)，.二化简或计算下列对数式(1) (2)(3) (4)(5).(6).(7)(8)(9)(10).【答案】(1)(2).(3)1(4)(5)520(6)3(7) ；(8)(9)9(10)5【解析】(1)原式，(2) (3)(4)原式(5)原式(6).(7) ，(8) (9)原式，故答案为：.(10)故答案为：5