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1、 第二章函数3函数的单调性和最值第1课时函数的单调性课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)下列函数在区间(0,+)上单调递增的是()A.y=2x+1B.y=x2+1C.y=3-xD.y=x2+2x+1解析函数y=3-x在区间(0,+)上单调递减.答案ABD2.函数f(x)=-x2+2x+3的单调递减区间是()A.(-,1)B.(1,+)C.(-,2)D.(2,+)解析易知函数f(x)=-x2+2x+3是图象开口向下的二次函数,其对称轴为x=1,所以其单调递减区间是(1,+).答案B3.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有f(a)-f(b)a-b0成立,则()A.f(x)
2、在R上是增函数B.f(x)在R上是减函数C.函数f(x)是先增后减D.函数f(x)是先减后增解析由f(a)-f(b)a-b0知f(a)-f(b)与a-b同号,即当ab时,f(a)b时,f(a)f(b),所以f(x)在R上是增函数.答案A4.已知函数f(x)在区间(-,+)上是减函数,若aR,则()A.f(a)f(2a)B.f(a2)f(a)C.f(a2+a)f(a)D.f(a2+1)a,f(x)在区间(-,+)上是减函数,所以f(a2+1)f(a).而在其他选项中,当a=0时,自变量均是0,应取等号.故选D.答案D5.若函数f(x)=x2-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,则实数
3、a的取值范围是()A.(-,34,+)B.(-,3)(4,+)C.(-,3D.4,+)解析函数f(x)图象开口向上,对称轴为直线x=a-1,因为函数在区间(2,3)上为单调函数,所以a-12,或a-13,相应解得a3,或a4,故选A.答案A6.函数f(x)=|x|与g(x)=x(2-x)的单调递增区间分别为()A.(-,0,1,+)B.(-,0,(-,1C.0,+),1,+)D.0,+),(-,1解析由函数图象(图略)可知选D.答案D7.(多选题)下列命题是假命题的有()A.定义在区间(a,b)上的函数f(x),如果有无数个x1,x2(a,b),当x1x2时,有f(x1)f(x2),那么f(x
4、)在区间(a,b)上为增函数B.如果函数f(x)在区间I1上为减函数,在区间I2上也为减函数,那么f(x)在区间I1I2上就一定是减函数C.任取x1,x2(a,b),且x1x2,当f(x1)-f(x2)x1-x20时,f(x)在区间(a,b)上单调递增解析A是假命题,“无数个”不能代表“所有”“任意”;以f(x)=1x为例,知B是假命题;f(x1)-f(x2)x1-x20(x1x2)等价于f(x1)-f(x2)(x1-x2)0,x1-x20或f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),x1x2或f(x1)x2,f(x)在区间(a,b)上是减函数,C是真命题,同理可得D也是真命题.答案AB
5、8.若函数y=ax与y=-bx在区间(0,+)上都是单调递减,则函数y=ax2+bx在区间(0,+)上是()A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析由于函数y=ax与y=-bx在区间(0,+)上都是单调递减,所以a0,即a0,b0.因为抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=-b2a0,且抛物线开口向下,所以函数y=ax2+bx在区间(0,+)上单调递减.答案B9.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x-2,+)时,f(x)单调递增,当x(-,-2时,f(x)单调递减,则m=,f(1)=.解析函数f(x)在区间(-,-2上单调递减,在区间-2,+)上单调递增,x=-b2a=m4=-2
6、,m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.f(1)=13.答案-81310.证明函数f(x)=-x在定义域上为减函数.证明函数f(x)=-x的定义域为0,+).任取x1,x20,+),且x10,f(x2)-f(x1)=(-x2)-(-x1)=x1x2=(x1-x2)(x1+x2)x1+x2=x1-x2x1+x2.x1-x20,f(x2)-f(x1)0,即f(x2)0,0f(0),解得a0.又因为f(x)的图象的对称轴为x=-4a2a=2,所以f(x)在区间0,2上的值域与在区间2,4上的值域相同.所以满足f(m)f(0)的m的取值范围是0m4.答案A3.给出下列三个结论:若函数y=f(x)的定
7、义域为(0,+),且满足f(1)f(2)f(3),则函数y=f(x)在区间(0,+)上是增函数;若函数y=f(x)在区间(-,+)上是减函数,则f(a2+1)a2,又y=f(x)在区间(-,+)上是减函数,f(a2+1)f(a2),正确;取x1=-1,x2=1,f(-1)=-1,f(1)=1,f(-1)1是定义域上的减函数,则实数a的取值范围为.解析由题意可得-a1,ax2-2,则f(x1)f(x2),则实数a的取值范围是.(用区间来表示)解析由“若x1x2-2,则f(x1)f(x2)”可知函数f(x)在区间(-2,+)上单调递增.而f(x)=ax+1x+2=a+1-2ax+2,故有1-2a1
8、2,即a的取值范围为12,+.答案12,+7.(2020浙江金华高一检测)函数f(x)=1(x-1)(x-2)的定义域为;单调递减区间为.解析函数f(x)=1(x-1)(x-2),(x-1)(x-2)0,解得x2,函数f(x)的定义域为(-,1)(2,+);又t=(x-1)(x-2)在区间(-,1)上单调递减,在区间(2,+)上单调递增,函数f(x)在区间(-,1)上单调递增,在区间(2,+)上单调递减,函数f(x)的单调递减区间为(2,+).答案(-,1)(2,+)(2,+)8.已知函数f(x)=mx+1nx+12(m,n是常数),且f(1)=2,f(2)=114.(1)求m,n的值;(2)
9、当x1,+)时,判断f(x)的单调性并证明;(3)若不等式f(1+2x2)f(x2-2x+4)成立,求实数x的取值范围.(1)解f(1)=m+1n+12=2,f(2)=2m+12n+12=114,m=1,n=2.(2)证明设1x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1+12x1+12x2+12x2+12=(x1-x2)1-12x1x2=(x1-x2)2x1x2-12x1x2.1x1x2,x1-x21.2x1x2-11.f(x1)-f(x2)0,即f(x1)x2-2x+4.x2+2x-30.x1.素养培优练1.(2019江苏南通期中)已知函数f(x)=x2+ax(x0,aR),若函数f(x)在区间
10、2,+)上单调递增,则a的取值范围为.解析任取x1,x22,+),且x10,f(x2)-f(x1)=x22+ax2x12ax1=x2-x1x1x2x1x2(x1+x2)-a.要使函数f(x)在区间2,+)上单调递增,需满足f(x2)-f(x1)0在2,+)上恒成立.x2-x10,x1x240,a4,x1x2(x1+x2)16,a16,即a的取值范围是(-,16.答案(-,162.设f(x)是定义在R上的函数,对m,nR,恒有f(m+n)=f(m)f(n)(f(m)0,f(n)0),且当x0时,0f(x)0;(3)求证:f(x)在R上是减函数.解(1)根据题意,令m=0,可得f(0+n)=f(0)f(n),f(n)0,f(0)=1.(2)由题意知,当x0时,0f(x)0;当x0,0f(-x)0.故xR时,恒有f(x)0.(3)设任意的x1,x2R,且x1x2,则f(x1)=f(x2+(x1-x2).f(x1)-f(x2)=f(x2+(x1-x2)-f(x2)=f(x2)f(x1-x2)-f(x2)=f(x2)f(x1-x2)-1.由(2)知,f(x2)0.x1-x20,0f(x1-x2)1,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在R上是减函数.