《直线与圆-2023年高考数学母题题源解密（新高考卷）（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《直线与圆-2023年高考数学母题题源解密（新高考卷）（解析版）.pdf（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题0 9直线与圆【母题来源】2 0 2 2年新高考I卷【母题题文】写出与圆/+y 2 =1和（-3）2+0-4）2=1 6都相切的一条直线的方程【答案】x+l=0 lx-2 4 y -2 5 =0 3 x+4 y -5 =0（填一条即可）【分析】本题考查了圆与圆的公切线问题，涉及圆与圆的位置关系、点到直线的距离等知识，属较难题.【解答】解：方 法1:显然直线的斜率不为0 ,不妨设直线方程为x+b y +c=0 ,于是 禺=1 ,写警=4 .vl+b2 V l+b2故 c2 =1 +b?，3 +4 b +c|=4c.于是 3 +4 b +c=4 c 或 3 +4 b +c=4c,再结合 解 得
2、b_ _ 2 4 (b=i 2 或)3 ,所以直线方程有三条，分别为x+1 =0 ,7 x-2 4 y -2 5 =0 ,3 x+c=-I。-4 y 5 =0 .(填一条即可)方 法2:设 圆x2+y2=l的 圆 心。(0,0),半径为4=1，圆(x-3)2+(y -4)2=1 6的 圆 心C(3,4),半 径 七=4,贝I OC=5 =rx+r2，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显 然x+l=0符合题意;又由方程（x-3/+（y -4）2=1 6和久2 +y 2 =1相减可得方程3 x+4 y -5 =0 ,即为过两圆公共切点的切线方程，乂易知两圆圆心所在直线0 C的方程为4
3、 x-3 y =0 ,直 线O C与直线x+l=0的交点为（一1,一令，设过该点的直线为y +g =k（x+l）解 得k=A,2 4从而该切线的方程为7x-24y 2 5 =0.（填一条即可）【母题来源】2 0 2 2年新高考I I卷【母题题文】设点力（-2,3）,B（0,a）,直线4 B关于直线y =a的对称直线为1,己知，与圆C:（久+3+（y +2尸=1有公共点，则a的 取 值 范 围 为.【答案】层|【分析】本题考查直线关于直线对称的直线求法，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题.【解答】解：因为该8 =等，所 以4B关于直线y =a的对称直线为（3 -a）x-2 y +2 a=0 ,
4、所以双急W甸 1 ,整理可得6 a2 1 1 a+340,解 得!S a W m.【命题意图】考察直线倾斜角与斜率，考察直线方程，考察直线平行与垂直，考察直线交点坐标，点到直线距离公式。考察圆的标准方程与一般方程。能判断直线和圆的位置关系，判断两个圆的位置关系，能用直线和圆的方程解决问题。【命题方向】直线与圆常见为中等题，多考察直线与圆的位置关系，动点与圆，圆与圆的关系。考察圆的切线，考察直线与圆相交弦，考察与圆有关的角度，点或者动点与圆的存在或者恒成立问题等等综合应用。涉及到解析法，几何法，三角函数，函数与最值范围等等方面的应用。试题涉及知识多，综合面广。【得分要点】一、直线倾斜角与斜率对应
5、关系斜率与倾斜角的对应关系图示y0-/J7./yX7 1。Xro7倾斜角（范围）a=00 a 9 0 a-=9 0 9 0 a0不存在k2+2-4F0不表示任何图形D2+2-4F=0表示一个点(一 冬 一9力2+E2-4Q 0表示以(2,f)为圆心，以十；4尸为半径的圆一、单选题1.(2020山东 高考真题)直线2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是()A.3x-2y-10=0 B.3x-2y 23=0C.2x+3y-4=0 D.2x+3y-2=O【答案】D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为(x，村,则其关于点(-1,2)对称的点的坐标为(-2-x,4-y),代入已知直线即
6、可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为(X，y),则其关于点(-1,2)对称的点的坐标为(-2-x,4-y),因为点(2 x,4-y)在直线2x+3y 6=0上，所以 2（2x）+3（4 y）6=0 即 2x+3y-2=0.故选：D.2.（2020山东 高考真题）已知直线/：y=xsind+cos。的图像如图所示，则角。是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【答案】D【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin d 0,即可得出结果.【详解】结合图像易知，sind 0,则角，是第四象限角，故选：D.3.（2023全国 高三专题练习）直 线 的-y-4
7、机+1=0与 圆/+丁=25相交，所得弦长为整数，这样的直线有（）条A.10 B.9C.8 D.7【答案】C【分析】求出过定点（4,1）的直线与圆的最短弦长 为 寂w（5,6）,最长的弦长为直径10,则弦长为6的直线恰有1条，最长的弦长为直径1 0,也恰有1条，弦长为7,8,9的直线各有2条，即可求出答案.【详解】直线,nr-y-4m+l=0过定点（4,1）,圆半径为5,最短弦长为2k防=后？（5,6）,恰有一条，但不是整数；弦长为6的直线恰有1条，有1条斜率不存在，要舍去；最长的弦长为直径1 0,也恰有1条；弦长为7,8,9的直线各有2条，共有8条，故选：C.4.（2023 全国高三专题练习
8、）当圆C:x2+y2-4 x+6 y-3 =0的圆心到直线/：/nr+y+m-l=0的距离最大时,m=（）【答案】C【分析】求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线/垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积为-1 求解即可.【详解】解：因为圆 C:x2+y 2-4 x +6)，-3 =0 的圆心为C(2,-3),半径R =4,乂因为直线/:如+y +m-l =。过定点A(-U),故当C 4 与直线/垂直时，圆心到直线的距离最大，4 3此时有心C&=1 1 ,即-；(-=-1，解得，7?=.3 4故选：C.5.(2 0 2 2 全国 模拟预测(理)过圆C:(x-l)2 +V=i外一点
9、尸作圆c的 两 条 切 线 琢 P 6,切点分别为A、B,若 必，P B,则点P到直线/：x+y-5 =0的距离的最小值为()A.1 B.y/2 C.2&D.3 7 2【答案】B【分析】求出点P的轨迹为圆，再由圆心到直线的距离减去半径即可得出最小值.【详解】过圆C:(x-l)2+/=l外一点P向圆C引两条切线PA,P B,切点分别为A,B,由 阳，P B 可知，四边形C 4 P B 为边长为1 的正方形，所以|C P|=0,所以P点的轨迹E是以C(l,0)为圆心，血 为半径的圆,圆心C(l,0)到直线/+3-5 =0的距离”|1 +0-5|=/F4=2&,所以点尸到直线/：x+y-5 =0 的
10、最短距离为d-r =2 夜-应=0，故选：B6.(2 0 2 3 全国高三专题练习)如图，P为圆O：N+)2=4 外一动点，过点尸作圆。的切线抬，P B,切点分别为A,B,/A P B=1 2 0。，直线OP与 A B 相交于点Q,点 (3,6)，则|M Q|的最小值为()A.73B.2373【答案】A【分析】利用平面几何知识得。点轨迹是圆，然后求出M与圆心距离减去半径得最小值.【详解】解：过点P作圆。的切线啊,P 8,切点分别为4,B,Z A P B 20,由圆与切线的平面几何性质知，ZAPO=60,又1 0 A l=2,则可得|0 P|=4耳nA2 r-在直角 A P O 中，A Q 1
11、0 P,由！。4 Q !O P A 得。=OP二。点的轨迹是以。为圆心，白 为半径的圆，方程为？+产=3；|”。|的最小值即为|0 M -r=y/93-6=6.故选：A.97.（2 0 2 3 全国高三专题练习）已知圆0：/+）,2=一，圆 时：（1 _ ）2+（,一1）2 =,若圆M上存在点P,过4J T点 P作圆。的两条切线，切点分别为A,B,使得则实数。的取值范围是（）A.-7 1 5,7 1 5 B.-行，6 C.f V3,V1 5 D.-V1 5,-/3 U ,Vi 5【答案】D【分析】由题意求出OP的距离，得 到 P的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案.【详解】3由题可知圆O 的半
12、价为；，圆例上存在点P,过点P作 圆 O 的两条切线，2切点分别为4，B,使得N A P 3 =6 0。，则N A P O =3 0。，在R t A P A O 中，|。=3,所 以 点P在圆f+y 2=9 上，由于点P也 在 圆M上，故两圆有公共点.又 圆M的半径等于1,圆心坐标（a,1）,.,-3-l|O M|3 +l,2 la2+1 +（y-l）2=l 上的动点，P为直线x+y +5=0 上的动点，则|P M|+|P N|的最小值为（）A.4石-3B.6C.9D.12【答案】C【分析】设圆C3圆心（a,b）半径为1,（4 与（2,1）美直线x+y+5=0对称，求出1PM+|PN|最小时，
13、由|PM|+|PM=|GG卜3即可求解.【详解】易得圆C圆心为（-6,5）半径为2,圆Ci圆心为（2,1）半径为1,设圆G；圆心（”，）半径为，（a，b）与（2,1）关于直线x+y+5=0时称,则 L 1a-2a+2 b+1.八-+-+5=0如图所示,要使|PM|+|PN|最小，2I 2!Hlj|PA/|+|PAf|=|PC1|+|PC2|-2-l=|PC1|+|PC3|-3=|C1|-3 =9.故选：C.9.（2022全国高三专题练习）已知A,8为圆0:/+/=4上的两动点，|4 3|=2 6，点P是圆C:（x+3y+（y-4）2=l上的一点，则|丽+丽|的最小值是（）A.2 B.4 C.6
14、 D.8【答案】C【分析】根据向量的运算律将题意转化为圆上的点到AB的中点M的距离最值问题即可得解.【详解】设M是A8的中点，因为|A B|=2G，所以|O M|=/=1,即“在以0为圆心，1为半径的圆匕PA+PB=P M +M A +P M +M B =2 P M 所以I 序 +而|=|2峭.又 12。1而内。口一1=/?了不一1 =4,所以 12 京=12 京-1 =4-1=3,所以|西+而I m m=2 x 3 =6.故选：C.10.(2 0 2 3 全国高三专题练习)已知圆C:(x-2)2+(y-6)2=4,点M为直线/：x-y +8=0上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A
15、,B,则当四边形C 4 M B周长取最小值时，四边形C 4 M 8的外接圆方程 为()A.(x-7)2+(y-l)2=4 B.(x-1)2+(y-7)2=4C.(x-7)2+(y-l)2=2 D.(x-l)2+(y-7)2=2【答案】D【分析】根据给定条件，利用切线长定理求出四边形C 4 M 8周长最小时点M的坐标即可求解作答.【详解】J|2-6+8|c 六圆C:(x 2尸+(y -6尸=4的圆心C(2,6),半径r =2 ,点C到直线/的距离”=心+产=22，依题意，CAA.AM,四边形 C 4 A/B周长 2 1c Ai+2|二/=4 +2 j(2 扬-4 =8,x-y+8=0当且仅当CM
16、U时取“=”，此时直线CM：x+y 8=0,由 。八得点M(0,8),x+y _ 8=0四边形 的外接圆圆心为线段CM中点(1,7),半径 正，方程为(x-i)2+(y-7=2.故选：D11.(2 0 2 2辽宁 沈阳市第三十一中学高三阶段练习)已知点P为函数/(x)=l n x的图象上任意一点，点。为_ _ 2圆x-(e +g)+=1上任意一点，则线段尸。的长度的最小值为【答案】A【分析】将P Q的最小值,转化为P到圆心的最小距离再减去半径来求得P Q的最小值.设出函数I n x上任意一点的坐标,求得圆心C 的坐标，利用两点间的距离公式求得P C 的衣达式，利用导数求得这个表达式的最小值，再
17、减去1求得PQ的最小值.【详解】依题意，圆心为C(e+g,O),设P 点的坐标为(x,ln x),由两点间距离公式得附=x-(e+工 j +(in a)?=x2-2 e+x+e+In2 x,设f (x)=x2-2(e+，)x+e+，)+ln2 x.7(x)=2 x-2(e+g)+=2(x-e)+2(-),令/(x)=0 解 x =e,由于(U E =I n x,可知当xw(O,e)时，电土递增，xe(e,T 8)时，f)0,皿 递减，故当x=e 时取得极大值也是最大值为L故 处-4 0,故xe(O,e)时，x-e 0 且曲二-0,所以e x e x e/(x)e时，(Y-in x+l”。，即/
18、-ln x+1 单调递增，且 e?-Ine+l=e2 0,E P/(x)0,f(x)单调递增，而f(e)=0,故当x e(e,)时，f(x)0 函数单调递增，故函数在1=e 处取得极小值也是最小值为f(e)=+l,故 P C 的最小值为*口?=止 逵，此时尸。=逵_1 =叵1二.故选A.e Nee e e12.(2021四川省绵阳南山中学高三阶段练习(文)已知圆C:x2+(y-3/=2,点 A 是 x 轴上的一个动点,AP,AQ分别切圆C 于 P,Q 两点，则线段PQ 的取值范围是A.芈，72)B.半，2 0)C.芈，&D.半，2。3 3 3 3【答案】B【分析】根据点A 在原点及在x 轴极限
19、远的特殊位置，求得PQ 的取值范围.【详 解】=1 A在坐标原点时，sin/POC=X3由 sin2ZPOC+cos2ZPOC=l 可得 cosZ PO C=3，sinZ P0Q=sin2 Z POC=2sin Z POC cos Z POC=即.s in/P C Q=*l/.cosZPCQ=-此时 PQ=yjcp2+CQ2-2CP-CQ-cosZPCQ当 点A在x轴上无限远时，PQ值接近直彳仝2&所 以PQ的取值范围为2&）3所 以 选B二、填空题13.（2022全国高考真题）设 点4-2,3）,8（0,“），若 直 线A 8关 于V=4对称的直线与圆（x+3）?+（y+2了 =1有公共点，
20、则。的取值范围是.-1 3一【答 案】3,2【分 析】首先求出点A关 于 了 =。对 称 点4的坐标，即可得到直线，的方 程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：4（2,3）关 于y=对称的点的坐标为4（-2,勿3）,B（0,a）在直线 产。上，所 以AB所在直线即为直线/,所以直线/为y=x+a,即（a-3）x+2 y-2 a=0：2圆 C:（x+3 y+（y+2）2=l,圆心 C（3,2）,半径 r=l,-3（a-3）-4-2a依题意圆心到直线/的 距 离 =I-L 41,7（-3）+2291 1 3 r 1 3即（5-5 a）2 4（a 3）2 +2 2,解
21、得六即a e ；-1 3故答案为：14.（2022 全国高考真题（文）设 点M在 直 线2x+y-1 =0上，点（3,0）和（0,1）均 在O M上，则0 M的方程为.【答 案】(x-l)2+(y+l)2=5【分 析】设 出 点M的坐标，利 用(3,0)和(0,1)均 在。M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详 解】解：.点”在 直 线2x+y 1=0上，设 点M为(。,1-24),又因为点(3,0)和(0,1)均 在Q M上，；.点M到两点的距离相等且为半径R,7(-3)2+(1-2)2=荷+(-2a)2=R,a2-6a+9+4a2-4+l=5a2,解 得a=l,AR=4s,QM 的方程
22、为(x-l)2+(y+l)=5.故答案为：(x-l)2+(y+l)2=515.(2022 湖南长郡中学高三阶段练习)ABC中，角A,B,C所对的三边分别为a,b,c,c=2 b,若 ABC的 面 积 为1,则BC的最小值是.【答 案】G【分 析】由三角形面积公式得到=二，利 用 角A的三角函数表达出竽，利用数形结合及sin A sm Asin A _ sin A-0一 尸=一 尸 的 几 何 意 义 求 出 最 值.cos Acos A 44【详 解】因为A8C的 面 积 为1,所工机1sin A=bx2人sin A=Z?2sinA=l,可得方？=-,2 2 sin A由 配=/一 瓶，BJW
23、|BC|2=|AC|2+I ABI2-2 AC AB=h2+c2-Ihccos A=b2+(2h2-2bx2bcosA=5h2-4b2 cos A=4 cs A=公。,),sin A sin A sin A设？=sin A-4 cos A+51 sin A x-4 45cos A L4其 中A(0,兀),sin A _ sin A-0(、因为 A 5-5表 示 点P|：,0与 点(cos八，sinA)连线的斜率,cos A cos A 14)4 4 v 7如图所示，当过点尸的直线与半圆相切时，此时斜率最小，4所以斜率的最小值为即A =t a n/”O =-1所 以 的 最 大 值 为-%（-扪
24、（，所以|配.3,所以|祠 百，即 8 c的最小值为G，故答案为：B1 6.（2 0 2 2 内蒙古 包钢一中一模）已知实数为、%、X、%满足x；+y：=i,考+=1,xx2+yy2,则区 铲1+生 铲）的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.72 v 2【答案】2 V 2+V 3【分析】设A（再,y）。为坐标原点，则 次=6,%）,砺=（如/），由题意AB两点在圆+y 2=i 上,且 三 角 形 为 等边三角形，A B=1,由士!平二3+昆 琴 二 3y/2&的几何意义为AB两点到直线x+y-2 =0的距离A%与 B 用之和，记线段A B,。用的中点分别是C,C 。到直线x+y
25、-2 =0的距离为。，根据|A 4 j+W 4|=2|C G|，且|c c j,i o c i+|o q|即可得答案.【详解】解：设A（%，x）,。为坐标原点，则。4 =（5,）,砺=优,），由才+1%+靖=1 年+9号,可得 A,8 两点在圆/+/=上，且 O4OB=l x l x c o s Z A O B =/,则 N A O 3 =6 0 ,所以三角形O 4 B 为等边三角形，AB=1,国士”3+昆 琴 二 4的几何意义为AB两点到直线x+y-2 =0的距离M与BB之和，V2 V2记线段AB,4 片的中点分别是C,C,。到直线x+y-2 =0 的距离为0。，则有|A4,|+忸4|=2|C C J,且|CCj|OC|+|OOj=3+应,所以|的|+|典|4 2 夜+后,所以仁+修的最大值为2&+G ,故答案为：2夜+G.