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1、2021-2022学年上海市奉贤区致远高级中学高三(下)开学数学试卷一、单选题(本大题共4 小题，共 20.0分)1.已知空间直线/和平面a,则“直线/平面a”是“直线1在平面a 外”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.非充分非必要条件2 22 .设7cm 1 6,则双曲线上-+”=1的焦点坐标是()1 6-m 7-mA.(4,0)B.(3,0)C.(0,5)D.(0,4)3 .已知点是直线1mte 是参数)和圆C：京cos%eR,。是参数)的公共点，过点P 作圆C 的切线小则切线 的方程是()A.3 x 4 y -2 8 =0 B.3%+4 y 2 8 =0C.3
2、x y 13 =0 D.x 3 y 16=04 .数列 an 的前几项和为无,-m,且对任意的nE N *都有a 九+a 九+i =2 n+1,则下列三个命题中，所有真命题的序号是()存在实数m,使得 厮 为等差数列；存在实数机，使得 小 为等比数列；若存在k G N*使得“=Sk+1=5 5,则实数巾唯一.A.B.C.D.二、单 空 题(本大题共12小题，共 48.0分)5 .已知集合4 =y|y =I O ,R,B =y|y =/,1 w x w 2 ,则4nB=.0 x 16.设变量x,y 满足约束条件y W 2 ，则z =x +)/的 最 大 值 为.x 0,且a H 1).若y =f
3、 (%)的反函数的图象经过点(1,2),则a =.10 .若方程%2 2 x +3 =0 的两个根为Q 和夕，则|a|+P =.11.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为.俯视图12.若sin。=kcosd,贝!sin。cos。的 值 等 于.(用 k表示)13.y=3*+品 在(0,+8)为增函数，a 的 取 值 范 围 是.14.某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生互不相邻，且农场主 站 在 中 间 的 概 率 等 于.(用数字作答)15.设%为正数列 册 的前n项和，Sn+1=q
4、Sn+S1,q 1,对任意的n 2 1,n N 均有无+i 4 an,贝 叼 的 取 值 为 .16.设M(x,y)是直线x+y=3上的动点，若则J x+：-J y+1的最大值为三、解答题(本大题共5 小题，共 52.0分)17.如图，已知圆锥的体积为兀，底面半径。4与OB的夹角AO B=y,且。4=遍，P是母线BS的中点.(1)求圆锥的表面积；(2)求异面直线S。与P4所成角的大小(结果用反三角函数表示).第2页，共17页18.设/(%)=sin2x+cos(2x+7)(%E 0,勺).6 2(1)若 sinx=求 fQ)的值；(2)设0 s “直线，在平面a 外”，“直线1在平面a 外”今
5、“直线，平面a或直线2与平面a相交”,由此能求出结果.本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查直线与平面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2.【答案】B【解析】解：由7 m 0,7 m 0 ,B =y|l y )的图象经过点(2,1),代入求解即可.本题考查了函数与反函数关系的应用，解题的关键是掌握函数与反函数的图象关于y=x对称，考查了逻辑推理能力，属于基础题.10.【答案】2V3【解析】【分析】本题考查共轨复数的定义以及韦达定理的运用，考查复数模的求解，属于基础题.利用方程的两个根互为共轨复数，然后由韦达定理以及复数模的定义求解即可.【解答】解：方程/-2%+3 =
6、0的两个根为&和0,设a =x+yi,则0 =x yi,所以 a =x2+y2=3,所以|a|+|0|=2 a=2 y/x2+y2=2 V 3.故答案为：2%.1 1.【答案】（3 +夜）兀【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由圆柱和圆锥组成的组合体；如图所示：故圆锥的母线长x=V l2+I2=V 2，圆锥的底面周长为2兀，所以圆锥的侧面积S =i x V 2 x 2;r =V 2T T,圆柱的表面积 S =2-T T-1-1 +7 T-12=3T T,故几何体的表面积为3 7 r +V 2 n;=（3 +V 2）;r.故答案为：（3 +a）兀.首先把三视图和几何体的直观图之
7、间进行转换，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果.本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，儿何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.第10页，共17页1 2.【答案】/【解析】解：由s i n。=kcosO,得sin。-cos0sin3cos0sin20+cos26kcos20 _ kk2cos20+cos2O fc2+l故答案为：告p由己知结合s讥。.c o s。=黑第,即可求解本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系，是基础题.1 3.【答案】(一8,4【解析】解：由题意得，y黑(1 +3力2 -a 2 0在(0,+8)上恒
8、成立，1 3 +1 J所以(1 +3%)2 -a 0,即a(l +3%)2在(0,+8)恒成立，因为%0,1 +3*2,(1 +3”尸 之 4,所以Q 2),即+i=q c i,郎=q(.n 2),把九=1 代入Sn+i=qSn+Si得，S2=qQi+Q=%+&，*.a2=q”满足上式，an是首相为%，公比为q的等比数列，Sn+1 4an,Q*二-0,q 1,qn+1-4q+4qn-1 1,qn-1(Q-2)2 1,1.(q-2)2 l,n-+8 时，-0,(q-2)2 0,(q-2)2-0.即q-2,故答案为：2.先证出数列。工为等比数列，再用通项公式和求和公式化简不等式，求出q的取值即可.
9、本题主要考查数列通项公式的求解，合理化简不等式是解决问题的关键，考查了转化思想，属中档题.16.【答案】遮-当【解析】解：(Jx +i-J y +|；)2=x+y+-2J(x +：)(y+1)=3+-2加+1+2,设 =则C =x(3-X)=/+3%=-(%-1)2+：,v x G 1,2,A t G 2,则(Jx +j-J y+2=3+：-2小+：+2,t e 2,设f (t)=t+/，9)=1 0在t e 2,；上恒成立，/(t)=t+；,在t e 2,口上单调递增，一 2卜+二+2在t e 2勺 上单调递减，t 4 7 t 4又:海 G 2勺 上单调递减，第12页，共17页 当t =2
10、时,(J x+；J y +2 =3 +1 2 J t +2 的最大值为3 +&-2 J 2+I +2 =1-3A/2=(V 3-y)2.的最大值 为 百-圣故答案为：次 一 冬先平方，再用换元法得到函数/(t)=t+3再判断在t 2,勺上单调递增，即可得解.本题考查了求函数的最值问题，判断函数的单调性是解决问题的关键，属于中档题.1 7.【答案】解：(1)由题意可知，圆锥的底面半径r =V5,设圆锥的高为八因为圆锥的体积为兀，则有V=1 z r r2 /i =-7 T -(V3)2-h=IT,解得九=1,故圆锥的高为1,母线长 I =S B=7 soz+O B2 =1 +(V3)2=2 所以圆
11、锥的表面积为兀产+nrl=IT-(V3)2+7 T -V3 2 =3 兀+2V3TT:(2)取O B 的中点H,连结P H,AH,又P 为S B 的中点，所以P H S O,则4 4 P H(或其补角)即为异面直线S。与P 4 所成的角，因为S O_ L 平面0 4 B,所以P H _ L 平面。4 B,4 u 平面0 4 B,所以P H J.4 H,故 为 直 角 三 角 形,在4 4。“中，由余弦定理可得4 4 2 =0 A2 +0 H2 _ 2 o a,O H co s l 2 0。=4所以A H =包，2在中，t an/A P H =怎，PH所以异面直线S O与P A 所成角的大小为a
12、r ct an VH.【解析】(1)利用圆锥的体积求出圆锥的高，从而求出圆锥的母线，再利用圆锥的表面积公式求解即可；(2)取。8 的中点H,连结P H,AH,由中位线定理可得P H S O,得到N 4 P H(或其补角)即为异面直线S。与P 4 所成的角，在 4 P H 中，利用边角关系求解即可.本题考查了圆锥的体积与表面积的求解与应用，异面宜线所成角的求解，余弦定理的运用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题.18.【答案】解：(l)f(x)=sin2 x+J c o s 2x sin2 x=sin2 x+-cos2 x=s i n(2x+?),v sinx=I，且 4 cosx-3
13、 4 24：sin2 x=2 sinxcosx=2 x-x-=,5 5 25cos2 x=1 2 sin2x=1 2 x(|)2=卷，6 c 1 24,x/3 7 24+773,f(x)=-s m 2 x +-cos2 x=-x-+-x-=-.(2)/(%-W)=s i n 2(x-)+=s i n(2x+g -2p),X G 0,2,且0 乎 .2x+-2p e -2(p,-2(p -y,y ,sinx=：在-*阳 内 的解为即 和尊2(p -L )提汗，解得行 三 中 转，故8 的取值范围为*【解析】(1)先由二倍角公式求得s i n 2x和c o s 2x的值，再结合两角和的余弦公式化简
14、函数f(x)后，代入数据，进行运算即可；(2)由(1)知，f(x g)=s i n(2x+g 2租)，根据x和 的范围，可推出2x+g 2租 g一2p,y-2BC =i x 2 X 7 r x l =7T,即兀(k m)；第1 4页，共1 7页(2)设4D=a,CD=b,4 C D 中，由余弦定理得16=a?+占2 一出?,所以(a +b)2=16+3a b ，解得a +bW8,当且仅当a =b =4时取得等号，新建健康步道A-D-C 的最长路程8k m,8-7 r-2 V 3 1.39(/c m),故新建健康步道A-D-C 的路程最多可比原来有健康步道4-B-C 的路程增加1.39(/c m
15、).【解析】(1)由已知结合余弦定理先求8 C,然后结合弧长公式可求；(2)结合余弦定理及基本不等式即可直接求解.本题主要考查了余弦定理，弧长公式及基本不等式在求解最值中的应用，属于中档题.分)(2)设点、P(2 cos。,sE6)(sin。丰 0),则直线4 P 的方程为y =/黑 Q+2).(6分)令x=4 得丫=表,所以点C 的坐标为(4,送 新)(8分)由52=2s l 得31sz=2 sin9,所以c o s。-,sin9 .cost7+1 2 2所以直线A P 的方程为y =更。+2).(10分)6(3)同(2),设点P(2c o s 0,s i n 0)(s i n 0*0),直
16、线4 P 的方程为丫=焉 工(+2)同理可求直线B P 的方程为：丫 =9%(%_2),2cost2令x=4得y =g,所以点。的坐标为(4,烹 g),C D 中点E(4,玲 詈).(12分sin62cos6-nl-2cos6sin。l-2cos0l-2cos64-n(2cos0-n)(4-n)n(n-4)+2(4-n)cos(14 分)i 2要使ANP,kNE为定值，只需n(n-4)=2(4-九)解得九=1，此时&VP，NE=一所以在工 轴上存在定点N(1,O),使得MP ME为定值一.(16分)【解析】(1)求点4、8 的坐标，设P Q,y),然后转化求解斜率乘积即可.(2)设点P(2co
17、s6,sme)(sE6 H 0),求出4P 的方程，求出C的坐标，通过S2=2S，求解直线方程即可.(3)设点P(2cos0,s讥6)(s济。中0),求出直线4P 的方程,直线BP的方程，1-2C O S0求出。的坐标，CD的中点坐标，然后推出探底：二=si 通过MP4N E为“产 匕 2cos6-n 4-T I定值，求出n,得到结果.本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线的斜率的乘积的求法，考查学生分析问题解决问题的数学素养，是难题.21.【答案】解：(1)由 合 一I如 一 沁|=后 得，b2=-,由 於=以 2-如1=海%=一；，山 =7 如_海1 =_：得，/=卷，3T4=b1-
18、b2-b3-b4=；1Z O(2)不存在.假设存在，设 瓦,b2,名，G 公差为d,若瓦 0,则Z?2 0,公差d=一瓦 0f 矛盾;若瓦 0 b3 0,b4 0,d=b4 b3 0,且b4k-3 0，b4k_2 0，4fc-1 0,设 布=弓与e 誓 =qn，得|bn+ll=qn|bnl，进一步得到In+21=Qn,Qn+1 lnl显然qn-qn+i的值从大到小依次为1，；，2 3,4 IO ZG)若L则 忆&,*)=(2,0)(an+1,an+2)=(2,0)不可能;3)若qn-Qn+1=1 则_ 3或W -44 出+Sn+1=1(an,ctn+1)=(2,0)(an+1,an+2)=(2
19、,1)(an/an+i)=(2,1)(an+1,nn+2)=(2,0)不可能;第 16页，共 17页（亩）若彘-7 n+l =看，则则(an an+1)=(2,1),不可能.(an+i，Qn+2)=(2,1)-Q n-Q n+1 W%当(anan+l)(2,0)或(。包,即+i)=(0,2)取徨(an+1,an+2)=(0,2)叫(0+1，*2)=(2,0 严保ln+zl J I I,b2n-l C)T I M =FT，也nl (j)1 也|(j)1 电|=1 2 0 2 1 1 =1 1 -b2-b3.2 0 2 1 1 =1&1 b3 b5.2 0 2 1 1 ,1 2 b4 b6.0 2 0 2()1 0：U 2 0 2 1)m a x =(，0 2。1。.【解析】（1）根据题意，解得尻，b3,b4,由此求得几；（2）假设存在，设瓦，b2,b3,%公差为d，讨论瓦 0及瓦 0,推出矛盾，由此得出结论；-I1（3）设qn=1”“一 联1|,可得瓦+1|=qn-bn,进一步得到|%+2 l =,q.+i ,gn|,得到q.S+i的值从大到小依次为1，再分类讨论可得1匕+2 1转1%1，由此4 IO ZZ即可求得（r 2 0 2 1）m a x=（力0 2。1。.本题考查数列的递推关系，考查学生分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想，对学生的运算能力要求较高，属于难题.