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1、2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高二（下）期中数学试卷一、单 选 题（本大题共1 5小题，共6 0.0分）1.已知集合”=划 一3 丫3 5 ,7=划刀4,则时0%等于（）A.xx -3 B,%|-5 x 4C.x|-3 x 4 D,x|x 5）2,下列四个命题中正确的是（）A.两 个单位向量一定相等B.若有与方不共线，贝场与方都是非零向量C.共线的单位向量必相等D,两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同3.下列函数中，最小正周期为兀的是（）A.y =sinx B.y =cosx C.y =s in x D.y =cos2x4.设i是虚数单位，则复数g在复平面内对应的点位于（）1
2、-1A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.已知两点4（4,1）,6（7,-3）,则与向量荏同向的单位向量是（）A.（|,-B.（-1 2）C.（-|）D.6,-|）6 .函数/（%）=晨念的最小正周期为（）7 t i tA.B.2 C.T CD.2兀7 .已知A是由0,如m2 -3 m+2三个元素组成的集合，且2eA,则实数机为（）A.2 B.3 C.0 或 3 D.0,2,3 均可8 .已知/。+1）=全贝叶（4）等于（）1.一 1.7 4A.lo g 2 5 B.mg 2 3 C.-D.-9 ,若。=t a n（-?）,b =c o s手,c =s in（一等），则有（
3、）o 4 4A.b a c B.a b c C.b c aD.a c b1 0.观察下列算式：21=2,22=4,23=8,24=1 6,25=32,26=6 4,27=1 2 8,28=2 56 用你所发现的规律可得2 2。1 9的末位数字是（）A.2B.4C.6D.81 1 .若函数/（%）=s in（x +W +p）为奇函数，则0的一个取值可能为（）A.0 B.C.D.n1 2 .在四边形ABC。中，AB=ADKB=C D,则四边形ABC。的形状一定是（）A.正方形 B.矩形 C.菱形 D,等腰梯形1 3.要得到函数y =s in（4x-g）的图象，只需要将函数y =s4x的图象（）A.
4、向左平移2个单位 B.向右平移看个单位C,向左平移？个单位 D.向右平移g个单位1 4.函数y =s in：+8 c o s 的图象的一条对称轴方程是（）第 11 c 54 _ 57r “7rA.X =-3 7 T B.x =5 C.X=-TJ D.X =-7。1 5.函数y =/（x）的图象如图所示，尸（乃是函数/（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（）A.2 f(2)/(4)-/(2)2 f(4)B.2 f (4)2/(2)/(4)-/(2)C.2 1(2)2 1(4)f (4)一 /(2)D./(4)-/(2)2 1(4)0)的单调递减区间是(0,4),则一的值是.2 0.设函数/(x
5、)=a/+队+武。声0)为奇函数，其图象在点(1 4(1)处的切线与直线x 6 y 7 =0垂直，导函数/(X)的最小值为一 1 2.第2页，共1 4页(1)求，b,c的值;(2)求函数/(无)的单调递增区间，并求函数/(%)在-L 3上的最大值和最小值.三、解答题(本大题共4小题，共59.0分)2 1.已知 t a n x =2,一 x_iy.cosx+sinx,/土 求;的 值(2)求:s iM x +；c o s 2 x 的值.5 42 2.已知|砧=2,|方|=代，(a+2b)-(b-3a)=9.(1)求五与石的夹角公(2)在AABC中，若 而=a，AS=b，求B C边的长度.2 3.
6、己知函数/(x)=2cosx-g).(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若x e 兀,兀 ,求/(盼的最大值和最小值.2 4.已知函数/(x)=ln(l+x)-ln(l-x).(1)判 断 并 证 明 函 数 奇 偶 性；(2)用定义法证明/0)在定义域上是增函数；(3)求不等式f (2x-5)+f (2-x)0的解集.第4 页，共 1 4 页答案和解析1 .【答案】A【解析】解：；M=-3 x W 5 ,N =xx 4 ,M U /V =x|x 3 .故选：A.进行并集的运算即可.本题考查了描述法的定义，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题.2 .【答案】B【解析】解：两个单位向量一定
7、相等错误，可能方向不同：若方与了不共线，则方 与 石 都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线；共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移.故选：B.由相等向量、共线向量的概念逐一核对四个选项得答案.本题考查命题的真假判断与运用，考查了平行向量、向量相等的概念，是基础题.3 .【答案】D【解析】解：根据函数y =+。）、丫 =力“5（3 刀+3）的周期为|三|,故选：D.由题意利用函数y =A s i n（3 x +0）、y =4 C O S（3 X+3）的周期为|出|,得出结论.（J L）本题主要考查函数y =4 s i n
8、（o）x +）、y =4 co s（3 x +伊）的周期性，利用了它们的周期为|空|,属于基础题.34 .【答案】B【解析】【分析】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础.先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论.【解答】解：7171=i(l+0=-l +i,对 应 复 平 面 上 的 点 为 在 第 二 象 限，故选：B.5.【答案】A【解析】解：4(4,1),B(7,-3),.南=(3,-4),故与向量而同向的单位向量为黑=(；,一,AB 5 5故 选:A.先求出荏的坐标，再根据与向量而同向的单位向量为黑求解即可.AB本题考查单位向量的定义和求法，属于基础题.
9、6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，函数的周期性，属于基础题.利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论.【解答】sinxcosx 1.=cOx+x=2S l n 2 X的最小正周期为竽=葭故 选C.7.【答案】B第6页，共14页【解析】解：2力，.7 7 1 =2 或7 7 1 2-3 6+2=2.当?n =2 时，m2 3 m+2 =4-6 4-2 =0,不合题意，舍去；当n t?-36+2 =2 时，7 7 1 =0 或6=3,但m=0不合题意，舍去.综上可知，m =3.故选：B.由题意可
10、知m=2 或H i?3 m +2=2,求出机再检验即可.本题考查元素与集合的关系，考查集合元素的性质，属于基础题.8 .【答案】B【解析】解：根据题意，Q+l)=；,若2 +1=4,则 =l o g 2 3,将x =1 呜 3 代入7(2*+1)=1，则有/(4)=i l o g23,故选：B.根据题意，解2 工+1 =4,可得x的值，将 x的值代入/(2*+1)=今即可得答案.本题考查函数值的计算，注意将(2*+1)看成一个整体，属于基础题.9 .【答案】A【解析】解：a =t a n()=t a n(+兀)=t a n(-)=-t a n -=.6 6 6 6 3.23n/23TT/、/n
11、、/r y 2b=c o s =c o s(-6TT)=c o s()=c o s -=，4 k 4 J 4 2.x 3 3 T C、./3 3 7 T .c 、.,兀、7 T 12c=s i n()=s i n(+8TT)=s i n(-)=-s i n-=V3 273/1 2v a=-93 6 6/2 3y2 V18C-2=-6-=-6-f a c b a c故选：A利用诱导公式及特殊角的三角函数值，计算出a,b,c,再比较.本题考查诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题.10.【答案】D【解析】解：通过观察可知，末尾数字周期为4,2019=4 x 504+3,故22019的末位数字与2
12、3末尾数字相同，都是8.故选：D.根据等式右边个数数字的规律，利用归纳推理即可得到结论.本题主要考查归纳推理的应用，根据等式右面个数数字的规律得到个位数具备一定的周期性是解决本题的关键.11.【答案】B【解析】解：由题意知，彳+9=上%kZ,所以9 =k兀-彳，k&Z,当k=0时，（P=一 彳.故选：B.由正弦函数的奇偶性知，*E+M可得x=2k7r+g,且keZ,显 然C正确，故 选C.15.【答案】A【解析】解：由函数/(乃的图象可知，当*0时，f(x)单调递增，且当%=0时，/(0)=0,所以尸(2)0,r(4)0,/(4)-/(2)0,由此可知，/(%)在(0,+8)上恒大于0,其图象
13、为一条直线，因为直线的斜率逐渐增大，所以尸(x)单调递增，所以广(2)/(4),则2(2)2/(4),因为尸(2)受 平2 /(),4-z所以 2 1(2)/(4)-/(2)2 1(4).故 选:A.先由/Q)的图象，确定f(x)的单调性，再根据图象斜率的变化情况,判断广(盼的单调性，最后由函数的凹凸性进行判断，即可得到答案.本题考查了函数图象的理解与应用，函数的导数与函数单调性之间关系的运用，解题的关键是掌握导数的几何意义，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题.1 6.【答案】2,6,8【解析】解：,4 U C =2,3 U 6,8 =2 3,6,8),二(C U力)n B=2,3,
14、6,8 n 2,6,8 =2,6,8 .故答案为：2,6,8).利用交集、并集定义直接求解.本题考查交集、并的求法，考查交集、并集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.1 7.【答案】遮【解析】解：t m 6 0。=t a n(2(T+4 0。)=:曹 鼠X=弁V 3 V 3 t a n 2 0 0 t a n 4 0 =tan200+tan400tan20+tan400+V 3 t a n 2 0 a n 4 0 =V 3故答案为：V 3利用6 0。=2 0。+4 0。，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值.第1 0页，共1 4页本题考查两角和的正切函数公式的应用，考查计算化
15、简能力，观察能力，是基础题.1 8 .【答案】-4【解析】解：根据题意，/(x)=x2+2 x-f(l),其导数1(x)=2 x+2/(l),当x =l 时，有(1)=2 +2/(1),则有1(1)=一 2,则(无)=2 一4,故(0)=-4,故答案为：-4.根据题意，求出函数的导数，令x =l 可得/(1)=2 +2 1(1),变形可得尸(1)的值，即可得函数的导函数，将x =0 代入计算可得答案.本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题.1 9.【答案】:【解析】【分析】本题给出三次多项式函数的单调减区间，求参数k 的值，着重考查了利用导数研究函数的单调性和一元二次不等式解法等知
16、识，属于基础题.将三次多项式函数求导数，得广(X)=3 k/+6(k-l)x,结合题意得(x)0 的解集是(0,4),根据一元二次不等式解法的结论，比较系数即可得到实数/的值.【解答】解：对函数求导数，得尸(x)=3 入 2 +6(k 1)工 函数的单调递减区间是(0,4),尸 0,:.3kx2+6(/c -l)x 0 等价于3 依(-4)=器=品=-?，.0 =15 0。(2)-BC=A C-A B2 2 2 BC=(A S-A B)2=AC+A B -2 A 5 -AB=4+3-2 X 2 x y/3 x cosd=13-BC=V 13.【解析】(1)由(8+2石)(石一3砌=9=小3=-
17、3co s(区%=器=品=一 ，可得依(2)由 8。=前 一48,可得尿+而 一 2衣 通=4+3-2 x2 xgxc os。=13.，即可.本题考查了向量的数量积运算，向量的夹角运算，向量的模运算，属于中档题.23.【答案】解：(1)令|x-2 2 c os(U)e -V 3,2,即 f(x)max=2,f M m i n=-V 3.【解析】(1)利用余弦函数的单调性，由2卜 兀 9”-3兀+2k7 T(/ceZ),即可求得/(X)的单调递减区间；(2)若X G -7 1,7 1=1冶 -Y 3-利用余弦函数的单调性可求得闭区间上/(X)的最大值和最小值.本题考查余弦函数的单调性与最值，考查
18、运算求解能力，属于中档题.24.【答案】解：(l)f(x)为奇函数，利用如下:f(x)=ln(l+x)-I n(l-x)=I n三，定义域(-1,1),/(-%)=ln(l%)ln(l+%)=/(%).故/(x)为奇函数，(2)设一 1 X X2 1,令t(x)=三=一1 一 三，2IjllJtCxJ-t(x2)=所以3)t(X2),t(X)在 上 单 调 递 增,根据复合函数的单调性知/(X)=In岂 在 上 是 增 函 数，(3)由/(2%-5)+/(2-乃 0得2%-5)/(2-吗=/。-2),(2x 5 x 2所以1-1 lx 5 1,(-1 x-2 5解得，2 x 3,故不等式的解集(2,3).【解析】(D 先求函数定义域，然后检验/(-X)与/(x)的关系即可判断，(2)先设-1%1与 1，然后判断t Q)=岩的单调性，再根据复合函数的单调性即可，(3)由/(2-5)+/(2-切 0得/(2%-5)-，(2-乃=/(乂-2),然后结合单调性可求.本题综合考查了函数的奇偶性及单调性的判断及利用单调性和奇偶性求解不等式，属于中档题.第 1 4 页，共 1 4 页