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1、202L2022学年广东省深圳第二高级中学、第七高级中学高 二（上）期末数学试卷一、单 选 题（本大题共8小题，共40.0分）1.在空间直角坐标系下，点M（3,6,2底 于y轴对称的点的坐标为（）A.(3,-6,2)B.(-3,-6,-2)C.(3,6,-2)D.(3,-6,-2)2.若椭圆?+?=1的 一 个 焦 点 为 则p的值为（）A.5 B.4 C.33.双 曲 线 磊 一 鼻=1的焦距是（）A.4 B.2/2 C.8D.2D.与m有关4.在数列 即 中，1=-；&1=1-六5 1）,则。2020的值为（）4un-1A-B.5 C 4 D.以上都不对5.若抛物线y 2=4x上一点P到x
2、轴的距离为2 W，则点P到抛物线的焦尸的距离为（）A.4 B.5 C.6 D.76 .中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于6 0岁时完成杰作值指算法统宗，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有白米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得（）A.7 8石 B.7 6石 C.7 5石 D.7 4石7 .数学家欧拉在17 6 5年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心
3、到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知Z M BC的顶点做2,0）,8（1,2）,且AC=BC,则 ABC的欧拉线的方程为（）A.x 2y -4=0 B.2%+y 4=0C.4x +2y +1=0 D.2x -4y +1=08.已知椭圆总+，=l（a b 0）的左、右焦点分别为居、玛，点4是椭圆短轴的一个顶点，且CO S NF 14用=*则椭圆的离心率e =（）A.1B.fC.；D.y二、多选题(本大题共4小题，共20.()分)9 .已知递减的等差数列 册 的前n项和为及，若S 7 =S 1i，贝U()A.a10 0 B.当n=9时，Sn最大C.S 0 D.
4、Sig 01 0 .已知双曲线C过点(3,g)且渐近线方程为y =x,则下列结论正确的是()A.C的方程为9-y 2 =1B.C的离心率为百C.曲线y =ex2-1经过C的一个焦点D,直线x -V 3 y -1 =0与C有两个公共点1 1 .已知直线1：(a +l)x+a y+a =0(a 6 R)与圆C：炉+丫2 一 4刀 一 5=0,则下列结论正确的是()A,存在a，使得，的倾斜角为9 0。B.存在a,使得，的倾斜角为1 3 5。C.存在a,使直线/与圆C相离D.对任意的a直线 与圆C相交，且a =1时相交弦最短1 2 .如图，点E是正方体4 B C D-&B 1 G D1的棱DDi的中点
5、，点M在线段B D1上运动，则下列结论正确的是()A.直线4 0与直线C i M始终是异面直线B.存在点M,使得B i M 1 A EC.四面体E M 4 C的体积为定值D.当i M =2 M B时，平面E 4 C _L平面A L 4 C三、单空题(本大题共4小题，共2 0.0分)1 3 .等 轴 双 曲 线 的 离 心 率 为 .1 4 .若册=(-1尸(2 n-1),则数列 加 的前2 1项和S 2 1 =.1 5.将数列 n 按“第n组有n个数”的规则分组如下：(1),(2,3),(4,5,6),，则第2 2组 中 的 第 一 个 数 是.第2页，共17页1 6 .数列 an中，即=1，
6、an+an+i =(1)n Sn=a1+4 a2+42a3+-+4n-1an,类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得5Sn-乎 如=.四、解答题(本大题共6小题，共7 0.0分)1 7 .已知各项均为正数的等差数列 a 中，%+a z +。3 =1 5,且4+2,。2 +5 3+1 3构成等比数列协工的前三项.(1)求数列 即,九 的通项公式；(2)求数列S +g 的前n项和加1 8 .如图所示，在三棱柱4 B C-&B 1 C 1中，C G J平面4 B C,AC 1 BC,AC=BC=2,C g =3,点D,E分另U在棱A A】和棱C C i上，S.AD=1,C E =2,点M为棱
7、&B i的中点.(1)求证：C i 平面C B E；(2)求直线4 8与平面Q B】E所成角的正弦值.19.己知点P(l,m)是抛物线C：y 2=2p x上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|=2,直线I：丫 =1 0-1)与抛物线(;相交于不同的两点4,B.(1)求抛物线C的方程；(2)若 4阴=8,求k的值.20.已知数列%的前几项和为无，己知。2=3%=3,且当n 2 2,n 6N*时，an+1+2an-i+3Sn_i=3Sn.(1)证明：数列 an+i-a 是等比数列;(2)设“=裁；，求数列 g 的前n项和21.如图，在四棱锥P-4B C D 中，P4_L平面4BCD,AD/BC,AD
8、 1 CD,HAD=CD=1,BC=2,PA=1.(1)求证：AB 1 PC；(2)点M在线段PC上，二面角M-A C-。的余弦值为三，求三棱锥M-ACP体积.第4页，共17页2 2.已知椭圆C：9x2+y2=m2(m 0),直线2不过原点。且不平行于坐标轴，1与C有两个交点4 B,线段4B的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与I的斜率的乘积为定值；(2)若/过点(条6)，延长线段OM与C交于点P,四边形(MPB能否为平行四边形？若能，求此时，的斜率；若不能，说明理由.答案和解析1 .【答案】D【解析】解：点”(-3,6,2 芯 于 y 轴对称的点的坐标为N(3,-6,-2)；故选：D.直接
9、利用点的对称的应用求出结果.本题考查的知识要点：点的对称，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.2 .【答案】C【解析】解：由题意可知椭圆的焦点在y 轴上，则a 2 4,b2 p,c2 1.从而4 =p +1,p =3.故选：C.由题意得到关于p 的方程，解方程即可确定p 的值.本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的简单性质的应用，属于基础题.3.【答案】C【解析】解：由题意可得，c2=a2+b2=m2+1 2 +4 m2=1 6 c=4 焦 总 巨 2 c =8故选C由双曲线的方程可先根据公式C 2 =a?+/求 出 的值，进而可求焦距2 c本题主要考查了双曲线的定义的应用，解题的关
10、键熟练掌握基本结论：。2 =。2 +。2,属于基础试题4.【答案】A第6 页，共1 7页【解析】解：数列 册 中，=-：，厮=1一 六 5 1）,4an-l。2 =1一+4.=5l,a-1 1 4 1$13=l-=,a4=l-=-,所以数列的周期为3,_ _ _ 工a2020=a673x3+l =01=一故 选:A.求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可.本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基础题.5.【答案】A【解析】解：抛物线/=4x 的准线方程为X =-1 抛物线y 2 =4x 上一点2 到轴的距离为26，则P（3,2 心），P 到抛物线的准线的距离为：4,点P 到抛
11、物线的焦点尸的距离为4.故 选:A.求得抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，可得点P 到抛物线的焦点尸的距离.本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，属于基础题.6.【答案】A【解析】【分析】本题考查等差数列的实际运用，属于基础题.设甲、乙、丙，分别对应等差数列的前三项，再结合题意即可求解.【解答】解：设甲、乙、丙，分别对应等差数列的前三项小,。2，。3，%+a 2 +=3a 2 =1 80,所以a?=60,+%=1 2 0,又 因 为%a3=36,所以%=78,二甲应该分得78石.故选A.7.【答案】D【解析】【分析】本题考查直线方程的求法，两条直线的垂直关系，理解三角形的重心、垂心和外心的
12、定义与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.由三角形的重心、垂心和外心的定义与性质，推出 ABC的欧拉线就是线段4B的中垂线，再求得中垂线的斜率和线段4B的中点，即可得解.【解答】解：因为AC=B C,所以点C在线段4B的中垂线上，设该中垂线为直线取BC的中点D,连接A D,则AD与直线/的交点在直线，上，该交点即为ABC的重心，过点4作于E,则AE与直线1的交点在直线，上，该交点即为 ABC的垂心，因为外心到 ABC的三个顶点的距离相等，所以外心也在直线I上，故A/IBC的欧拉线就是直线I,由4(2,0),知4B的中点坐标为,1),直线AB的斜率为三=一2,z1 Z所以直
13、线，的斜率为也 其方程为y-l=：(%一|),B P 2 x-4 y+l=0.故选：D.8.【答案】D【解析】解：由题意可得|46|=|4七|=a,四伤|=2c,在A P B 玛中，由余弦定理可得：c o s F =|P&|2+|P F 2/T F 1 E 2/_。2+彦一回22PFXPF234第8页，共17页可得a 2 =8c 2,即离心率e =：=(0 e 0,再逐一判断各选项.【解答】解：.递减的等差数列也 的前n 项和为Sn,S 7=S n，fd 0,i o=-yd 4-9d =1 d 0,故 C正确；S i 9=1 9%+詈 d=1 9 x(-y d)+1 7 1 d =9.5 d
14、0,故 O 错误.故选：BC.1 0 .【答案】AC【解析】解：由双曲线的渐近线方程为y=土苧x,可设双曲线方程为9一丫2=九把点(3,/)代入，得：-2=/1,即;1 =1.双曲线C 的方程为？y2 =i,故 人正确；由小=3,b2=1,得c =yja2+b2=2,二 双曲线C的离心率为令=%，故B错误；V 3 3取x 2 =0,得x =2,y=0,曲线y=e*-2 i过定点(2,0),故C正确；双曲线的渐近线x 6 y=0,直线x 6y 1 =0与双曲线的渐近线平行，直线x-V 3 y-1 =0与C有1个公共点故。不正确.故选：AC.由双曲线的渐近线为y=土乎x,设出双曲线方程，代入已知点
15、的坐标，求出双曲线方程判断4再求出双曲线的焦点坐标判断B,C；直线与双曲线的渐近线的关系判断D.本题考查命题的真假判断与应用，考查双曲线方程的求法，考查双曲线的简单性质，是中档题1 1.【答案】AD【解析】解：选项A：当a =0时，直线方程为x =0,此时倾斜角为9 0。，A正确，选 项8：当倾斜角为1 3 5。时，直线斜率为-1,即-等=-1,解得a为空集，B错误，选 项C：圆C的圆心为C(2,0),半径r =3,若直线与圆相离，则圆心到直线的距离为|(a+l)x 2+a|qJ(a+l)2+a 2 ：3，整理得：9 a2+6 a 4-5 BD1=Bi=2 1),则 网=+=(-2,-A,/l
16、-l),若B1M14E,则 瓦 瓦 荏=0,即4+,(4 -1)=0,解得，=；,二当M为线段B O 1 的靠近B 的三等分点时，B1M14E,故 8正确；(3)连接BD,取B D 的中点0,连接E。，则。也是A C 的中点，由中位线定理可知B D/EO,B D 平面4 C E,故-M 4 C =M-ACE=B-ACE,故 C 正确；(4)AC 1 BD,AC 1 D Dr,BD CDD=D,AC _ L 平面8 叫，AC LOE,AC L O M,故 N E O M 为二面角 E-A C -M 的平面角,当。i =2 B M 时，又。t，0),丽=(葭 砒=(W).-.OE-OM=-1-+=
17、0,.-.OE1MO,12 12 6故平面 4 C 1 平面MAC,故。正确.故选：BCD.当M为B O 1 的中点时可知4错误，证明BO 1 平面E 4 C 可知C正确；建立空间坐标系，利用向量判断B D 即可.本题考查了空间线面位置关系的判断与性质，可适当选用平面向量法解决几何问题，属于中档题.1 3.【答案】0【解析】解：等轴双曲线中a =bc=V a2+b2=2a？=A/2a故答案为：V2根据等轴双曲线的定义，可得a=b,从而可得离心率.本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题.14.【答案】-21【解析】【分析】本题考查的知识要点：数列的通项公式，分组求和法的应用，主
18、要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题.直接利用数列的通项公式和分组求和法即可求出结果.【解答】解：由于%=则 S21=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+(-41)=2 x 1 0-4 1 =-21.故答案为:21.15.【答案】232【解析】解：由条件，可得第21组的最后一个数为1+2+3+4+5+6+21=笔四二231,所以第22组的第1个数为232.根据已知可得，第n组中最后一个数即为前n组数的个数和，由此可求得第21组的最后一个数，进而求得第22组中的第3个数本题考查了归纳推理，等差数列前n项和公式的应用，找到数字的规律是解题的关键，属于中档题.16.【答案】n第 1 2
19、 页，共 1 7 页【解析】解：由Sn=Q1+。2 4+。3 42+。九 4nT 得4 s九=4%+g 42+%,43+an_r-4n _1+Qn 4n +得：5sA=Qi+4(%+。2)+4?(a2+a3)H-F 4n1 (an_i+an)+an-4n=Qi+4 x(+42(；)2+4n-1 )nT +4n.e1n=1 +1+1+1+4n Qn=n 4-4n-an.所以5s -4n-an=n,故答案为：n.先对为=口 1+。2,4+。342+.+0九.4吁1 两边同乘以4,再相加，求出其和的表达式，整理即可求出5s九-乎an的表达式.本题主要考查数列的求和，用到了类比法，关键点在于对课本中推
20、导等比数列前71项和公式的方法的理解和掌握.17.【答案】解：(1)设等差数列的公差为d,则由己知得，%+2+/=3 g =15,即 g=5,又(5-d+2)(5+d+13)=(a2+5)2=100,解得d=2或d=-1 3(舍去)，所以 =g d=3,Qn=+(几1)x d=2n 4-1,又Z?i=%+2=5,%=。2+5=10:q=2,bn=5 2nt .(2)由(1)知，册+bn=2 n+l+5 x 2nT,所 以=n(3+2 n+l)+二 兰=5 X M+2n 5.n 2 1-2【解析】(1)通过等数列中项的性质求出。2=5,等比数列中项性质求出d=2,然后分别求出数列包工，%的通项公
21、式；(2)分组求和即可.本题考查了等差数列等比数列的综合，分组求和，属于基础题.1 8.【答案】(1)证明:建系如图，C(0,0,0),4(2 0 0),B(0,2,0),6(0,0,3),4(2,0,3),Bi(0,2,3),0(2,0,1),F(0,0,2),M(1,1,3),CM=(1,1,0),胞=(2,-2,-2).ED=(2,0,1),令记=(1,-1,2),因为元=0，E D-n =0 所以记=(1,-1,2)为 平 面 的 法 向 量，因为盘祈元=0，C i M C平面D B E,所以C i M 平面O&E.(2)解：由(1)知 四=(2,2,0),(=(1,-1,2)为平面。
22、E的一个法向量,设力B与平面D B1E所成角为仇所以s i n。=|c o s 黑,=半，所以直线4 B与平面D Bi E所成角的正弦值为串【解析】(1)只要证明C i M与平面。&E的法向量数量积为零即可；(2)用向量数量积计算直线与平面成角正弦值.本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题.1 9.【答案】解：(1)抛物线C：、2 =2 2刀的准线为=由|P F|=2得：1 +=2,得p =2.所以抛物线的方程为y 2 =4 x.(2)设4(%i，%),3(%2，、2)，由y =k(x-1)y2=4x可得 1/-(2 k2 4-4)%4-k2=0,=16 k2+1
23、 6 0,:.%!+X22fc2+4 直线，经过抛物线C的焦点F,AB=久1 +七+P=J+2 =8,解得：k=+l,所以k的值为1或-1.第 1 4 页，共 1 7 页【解析】（1）利用已知条件求出p,即可得到抛物线方程.（2）设 出 坐 标，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及弦长公式求解即可.本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是基本知识的考查，中档题.2 0.【答案】(1)证明：因为当 n N 2,nN*时，an+1+2an_1+3Sn_1=3Sn,所以an+i+2ati-i=3Sn-3Sn_j=3an,所以M+i-an=2an-2an_i=2(an-cin
24、-i)，即 六 公=2,(n 2 2,n C N*),又 g 0i=3 1=2,所以数列8 九+1-Q 是首项为2,公比为2的等比数列；解：(2)由(1)知,an+1 an=2-2n-1=2n,则Q=l,a2 Qi=21,a3 a2=22,.an an_t=2n _ 1,各项相加，可得ann=l+21+22+-+2T=2n-l,1-2所以b%+1=-二-=二-1-771 n On+1an(2n+1-l)(2n-l)2n-l 2*1 故 =bi+b2+bni i,i i,.1 i 1 1 i=-4-+,+=121-1 22-1 22-1 23-1 2n-l 2n+1-l 21-1 2n+1-l
25、2n+1-l*【解析】（1）将条件中的递推式整理为an+i-即=2 即-2即-2=2（厮一即-1），从而可证数列 即+1-册 是等比数列；（2）化简数列bQ的通项公式，利用裂项相消法求和.本题考查了等比数列的证明以及数列的求和问题，属于中档题.21.【答案】（1）证明：四边形ABCD是直角梯形，AD=CD=1,BC=2,AC=V2.AB=y/(BC-AD)2+CD2=或，.ABC是等腰直角三角形，即4B 14C,PA _ L 平面 ABCD,AB u 平面 ABC。，二 PA LAB,PACtAC=A,：.A B L P A C,又PC u 平面P4C,AB 1 PC,(2)解：过点M作MN
26、JL 4。于N,则MN/PA,M N，平面ABCC，:.M N 1 AC,过点M作MG 1 AC于G,连接N G,则4 c _LNG,.NMGN是二面角M-A C -。的平面角，若cos乙 M G N=Y，则&NG=M N，又A N =NG=M N，设MN=x,则4N=x,ND=1-x,MN。是等腰直角三角形，解得x=l-x,所以MN=；,所以M是PD的中点，所以4-ACM=2 P-ACD=WX g X X l X l X l =石.【解析】(1)可证4BC是等腰直角三角形，即2 B 1 4 C,可得P4 1 A B,进而_L平面P A C,可证结论；(2)过点M作MN J.4 0 于N,则M
27、 N/H 4,过点M作MG _ L AC于G,连接N G,则AC 1 NG,coszMG/V=则&NG=M N,又A N =6 G=M N,设M N=x,AMNC是等腰直角三角形，可解得，从而可求体积.本题考查线线垂直的证明，以及空间几何体的体积，属中档题.22.【答案】解：(1)设 直 线=k x+b,(k 0,b*0),A(x1.yi),B(x2,y2),将y=kx+b代入9/+y2=m2(m 0),得(1 +9)x2+2kbx+炉 m2=o,则判别式=4k2b2-4(k2+9)(62-m2)0,则Xi+2=一 念，则XM=一 提，yM=kxM+b=于是直线OM的斜率k M=d，人 M M
28、即,k 9,二直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)四边形04PB能为平行四边形.直线/过点修m),二 由判别式=4k2b2-4(fc2+9)(炉-m2)0,即k27n2 9b2 9m2,kv o=m-m,第 16页，共 1 7 页:.fc2m2 9(m 2m 9m2,即 f c2 6fc,即6k 0,则 k 0,.Z 不过原点且与C有两个交点的充要条件是A 0,k丰3,由知O M的方程为y=一 涓设P的横坐标为孙，由y _ _ 得%”与J BPXP=-=5，l9x2+y2=m2 9k2+8i 3 丽？将点名,m)的坐标代入/的方程得b=萼2即(的方程为y=k x+笑 出，将y=-：x,
29、代入y=-+皿丁),得依+若 也=一 1四边形04PB为平行四边形当且仅当线段4B与线段0P互相平分，即孙=2XM,不 旱 +km _ k(k-3)m寸定H：3v由/-z x 3(9+2)，解得的=4 V7或心=4+77,fc；0/Q 彳 3,i=1,2,当 I的斜率为4-近 或4+a时，四边形04PB能为平行四边形.【解析】(1)联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论.(2)四边形CMPB为平行四边形当且仅当线段4B与线段0P互相平分，即孙=2X M，建立方程关系即可得到结论.本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键.综合性较强，难度较大.