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1、2021-2022学年辽宁省大连市第-八高级中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共1（）小题，每小题5分，共5 0分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的今-4=1（0 。石0）1 .若双曲线J 从 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的3,则该双曲线的离心率是20C.2 D.3参考答案：B略2 .从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这 1 0 个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标（、的Z）,若工是 3的倍数，则满足条件的点的个数为（）A.2 1 6 B.7 2 C.42D.2 52参考答案：D3 .如 图 所 示，在 三 棱 柱 的 4 厉/
2、中，底面A B =B C =A Ait乙 i B C=9 ,点E、F分别是棱为8、8 星的中点，则 直 线 和 5。】所成的角是6.设P/(x)=j ，+m+i在(a+)内单调递增，g掰N O,则尸是g的(A.45 B,6(f参考答案：B略4.已知函数/3)在X=l处的导数为1./(i-y)-A Ux)n 3 x=A.33D.-2参考答案：(X B【解析】分 神l i m里当H i m考点i峥的定义5.已知尼2 =%则怆5=5aA.1-a B.2 c.】+4参考答案：Ac.9 c p D.1 2(f1,贝 iJ21B.3 c,3/u-x)/(l-x)/1 1-X 1_ 1 +-lim-=一&l
3、x 吧 ix 3 I-x 3 1 X()D.3a)A .充分不必要条件C.充分必要条件参考答案：B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件B7.函数y=x2 c o s x的 导 数 为(A.y =x2 c o s x-2 xs i n xC.y =2 xc o s x-x2 s i n x参考答案：)B.y =2 xc o s x+x2 s i n xD.y =xc o s x-x2 s i n xC略_38.圆柱的底面半径为r,其全面积是侧面积的万倍.0是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P,则使|P O|W r 的概率为（）112 2A.3 B.2 C.3 D.4参考答案：C【考点】几
4、何概型.【分析】求出圆柱的高是底面半径的2倍，结合图象求出满足条件的概率即可.设圆柱的高是h,3,则 2 J i d+2 ”r h=E?2 J t r h,解得：h=2 r,若|P 0 012.若实数x,y满 足x 0 ,则z=3必的最小值是.参考答案：1【考点】简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域，令t=x+2 y,化为直线方程的斜截式，数形结合求得最优解，代入最优解的坐标求得t的最小值，则z=3的最小值可求.x-y+l0 0【解答】解：由约束条件I x 014.不等式组(a为 常 数)，表示的平面区域面积为8,则一+7的最小值为参考答案：,241 5.设p=(2,7),q=仪,-3)
5、,若p与q的夹角 2,则x的取值氾围是_ _.参 考 答 案：21 c e 无、218 0,)x (2,+0 0)；解 析：p 与 q 的夹角 2?p?q0?2x-210?2,21B P x?(2,+oo).16.已知点(%,外)在直线以+=0(。法为常数)上，则+仇-歹的最小值为。参考答案：JJ+从a17.已知关于x 的不等 式?一仁的解集为巧)，则 F的最小值是.参考答案：3【分析】由韦达定理求出力.巧与胃工2,带入计算即可。【详解】由一元二次不等式与一元二次等式的关系，知道d-y初 的 解 为LA,由韦达定理知力 马4 a,q5=3 J,工fy3 J空 yfH所以 3a 3当 且 仅 当
6、 取 等 号。【点睛】本题考查韦达定理与基本不等式，属于基础题。三、解 答 题：本 大 题 共5小 题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱锥尸一犯。，尸CJL底面A B 1 B C,D、&分别是4 5、P B的中点.(1)求证：O E”平面E A C；(2)求证：A B L P B.参考答案：(1)，；D、E是A B、FB的中点：.D E/Z A P又.q 平面/x c4 Pu平面E 4 CD E 平面R 1 C.4分(2).尸C_ L底面4 5 c o p C_ Ly W又.43_ L 3 c 且 PC n3 C =C：3 8 1.平面?6 u平面尸B CA
7、B 1 P B.8 分19.(12分)已知二次函数/(x)=a/+b x+l(a 0),若/(-1)=0,且对任意实数x都有/)之 成立。(1)求/(X)的表达式；(2)当x e -2,2时，g )=/(x)-h是单调函数，求实数尢的取值范围。参考答案：【解析】&-方+1=0，$=s+l，f(x)=ax2+(a+1)JT+1.V f Or)。恒成立，a X),a 0,V即VA=(a 4 l)：-4a 0,(a-I)2 从而6=2，;=A2+2 x+1，(2)由(1)知，式x)=+2 x+l-R x=W+(2-2)x+l.V g(x)在-2,2 上是单调函数，k-1 或k上-1二:2，2 2解
8、得-2或?6.所以拗取值范围是(-8，-2 U 6.+8)9 920.(16分)如 图，在平面直角坐标系x oy中，椭 圆E：a +b =1(a b 0)的离心率为返 1 2,直 线1：y=2与椭圆E相交于A,B两点，AB=W5,C,D是椭圆E上异于A,B两点，且直线AC,BD相交于点M,直线AD,BC相交于点N.(1)求a,b的值；(2)求证：直线M N的斜率为定值.参考答案:【考点】直线与圆锥曲线的关系.【专题】方程思想；分类法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)运用离心率公式和联立直线方程和椭圆方程，求得A的坐标，解方程可得a,b；(2)求出椭圆方程，求得A,B的坐标，
9、当CA,CB,DA,DB斜率都存在时，设出直线AD的方程为y-2=kz (x-4),直 线BC的方程为y+2=-2kl(x+4),联立直线方程求出M,N的坐标，可得直线M N的斜率；当CA,CB,DA,DB中，有直线的斜率不存在时，同理求得M,N的坐标，可得直线M N的斜率.c选【解答】解：(1)因为e=a=2,即。2=定,即/-正=2个，则1=2人9 9故椭圆方程为2a,l/=l.由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，f 1尸尹，2点遮0 99-由lx +2y =2b”解得A(3 b,3 b)；4 1又 AB=4泥，所以 0A=2泥，a|J3b2+332=20,解得 b2；故 a=2
10、巫，b=2V3；2 2x _ y _=1(2)证明：由(1)知，椭 圆E的方程为24 12,从而 A(4,2),B(-4,-2)；当CA,CB,DA,DB斜率都存在时，设直线CA,DA的斜率分别为L,k2,C(x o,y0),2 n_ X0显然ki Wkz；飞-4 xo+4-xn2-16-xn2-16 2所 以 降=-2匕；同理k后-2k2,于是直线AD的方程为y -2=k2(x -4),直线BC的方程为y+2=-2 kl (x+4)；8k 止2-8k -45*2=-J-(x+4)x=2ktk?+l/k ,i/y -20=-1 k(/!、4k,k9-8k9+2?(x -4)的 2y-2k1k2
11、+l8kj k2 8kj 4 4kj k2 8k2+2从而点N的坐标为 2 klk2+1 2 klk2+1)8kj k2-8k2-4-ki k2-8如+2)用kz代k”X代k2得点M的坐标为 2 klk2+1 2 klk2+1-4k j k2-8k2+2-4k.2 -8k +22k k2+l Zk/z+l 8(kj -k2)k M N-8kj k2-8kt-4 8 k1k2-4k2-4=8(k2-kj)-.2k j k2+l 2k j k2+l,即直线M N的斜率为定值-1；当CA,CB,DA,DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，
12、从而C(4,-2)；1仍然设DA的斜率为k”由知k=-2 k2；此时 CA：x=4,DB：y+2=-=-2k2(x+4),它们交点 M (4,k2)；4-卷BC：y=-2,AD：y -2=k2(x-4),它们交点 N (K2,-2)，从而k,后-1也成立;由可知，直线M N的斜率为定值-1.【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求出交点，考查分类讨论的思想方法，注意直线的斜率和直线方程的运用，考查运算能力，属于难题.21.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,4),A (x y.),B (x z,y2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程；(2)当
13、P A与P B的斜率存在且倾斜角互补时，求直线A B的斜率.y参考答案:【考点】K 8：抛物线的简单性质.【分析】(1)由图与题意可设抛物线的标准方程为：V=2P x.(p 0).把 点P (1,4)代入抛物线方程解得p即可得出；(2)由直线P A与P B的斜率存在且倾斜角互补，可 得L+kz=O,化简可得(+丫2=-8.再利了2用直线A B的斜率k后*1 -X 2即可得出.【解答】解：(1)由图与题意可设抛物线的标准方程为：y J2p x,(p 0).把 点(1,4),代入抛物线方程可得：1 6=2p,则p=8,抛物线的方程为：y2=1 6x；(2).直线P A与P B的斜率存在且倾斜角互补
14、，y i -4 y2-4y2-4 y?1 6 1 6.k,+k2=xl-1+x2_ 1=1 6-1+1 6-1=y 1+4+2+4=0,化简可得y 1+y z=-8,yi-y2 1 6 工直线 A B 的斜率 k=xl_x2=T6 T=yl +y2=-2,直线A B的 斜 率-彳.【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22.设直线 1 的方程为(a+1)x+y+2-a=0 (a6R).(1)若1在两坐标轴上的截距相等，求1的方程；(2)若1不经过第二象限，求实数a的取值范围.参考答案：【考点】直线的截距式方程；确定直线位置的几何要素；过两
15、条直线交点的直线系方程.【专题】待定系数法.【分析】(1)先求出直线1在两坐标轴上的截距，再 利 用1在两坐标轴上的截距相等建立方程，解方程求出a的值，从而得到所求的直线1方程.(a+1)0(2)把直线1的方程可化为y=-(a+1)x+a-2,由 题 意 得 卜-24 0.,解不等式组求得a的范围.2【解答】解：(1)令 x=0,得丫=2-2.令 y=0,得-a+1 (aW-1).a-2=门在两坐标轴上的截距相等，二 a+1,解之，得a=2或a=0.所求的直线1方程为3 x+y=0或x+y+2=0.(2)直 线1的方程可化为y=-(a+1)x+a-2.T不过第二象限，-(a+1)a-2 0.,；.aW-1.；.a 的取值范围为(-8,-1 .【点评】本题考查直线在坐标轴上的截距的定义，用待定系数法求直线的方程，以及确定直线位置的几何要素.