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1、2021-2022学年上学期期中卷02高二数学全解全析1234567891 01 11 2cDADCBBAA BA B DA CB C D1.【答案】c【解析】点A(l,3,-4)关于x轴的对称点的坐标为(1,-3,4),故错误；点P(-l,2,3)关 于 平 面 对 称 的 点 的 坐 标 是(-1,2,-3),故正确；己知点4一3,1,5)与点8(4,3,1),则AB的中点坐标是(,2,3),故正确；2两点M(1,1,2)、N(l,3,3)间的距离为：J(l +厅+(3-1)2+(3-2)2 =33 故错误；正确的是.故选C.2.【答案】D【解析】对于A，2二互=表示过点4(内,乂)且斜率
2、为/的直线方程不正确，x-x不含点片(为,%),故A不正确；对于8,截距不是距离，是B点的纵坐标，其值可正可负，也可能为零，故B不正确；对 于C,经过原点的直线在两坐标轴上的截距为0,不能表示为二+?=1,故C不正确；a b对于此方程即直线的两点式方程变形，即(叶一%)(一%)=(%)。-%)，故 D 正确.故选D3.【答案】A【解析】以。为坐标原点，耳，祝,西 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为 2，则 0(0,0,0)、0(0,0,2 a)、M(0,0,a)、A(2 a,0,0)、C(0,2 a,0)、O(a,a,0),N(0,a,2a).O M =(
3、-a,-a,a),M N -(0,a,a),A C=(-2 n,2 a,0).：.O M M N =0,O M A C =0 ,:.OM r AC,OM VMN.故选：A.4.【答案】D【解析】如图所示：.点A(-3,4),8(3,2),过点尸(1,0)的直线/与线段AB有公共点,直线I的斜率k.kPB或k kPA,.勿的斜率为止?=-1 ,P B的斜率为上3=1,-3-1 3-1直线/的斜率&.1或 鼠-1,故选D.5.【答案】C【解析】由题意得/,故设：x +2 y +c =0,在，上取点A(l,0),则点A(l,0)关于(1,-1)的 对 称 点 是-2),所以1 +2 x(2)+c =
4、0,即c =3,故直线/的方程为x +2 y +3=0,故选C.6.【答案】B【解析】设M为直线AC上任意一点，过M作MN L BG，垂足为MiAM=AAC=AAB+A A D,丽%而+丽，贝I J丽=丽 _丽？=丽+丽_ =(1 -2)而+(_/)而+丽,BC=AD+AA,/MN 1 B Q ,.,.丽 晅=0 ,即(1 -A)AB+(-2)A D+4丽1 (而+福=0 ,.(必 /1)3+3=0,即-4 +=0,.2 =2/,M N=(1-2i)AB-/J AD+4 A Ai,.,.I M N|=J(1 _ 2 y +2 +2 =J 6 2 -4 +1 =小6(-；)2+g，.当=；时，|
5、而|取得最小值.=故直线AC与 g之间的距离是当故选：B.7.【答案】B【解析】由已知可得/W _ L平面BC G4,所以AP与平面BC G4所成的角即/4P B,即6 =N A/8,以。A,D C,。0所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图:则 A(3,0,0),8(3,3,0),R(0,0,4),设尸(x,3,z),则 A户=(x-3,3,z),8；=(-3,-3,4),因为4 P J.B A，所以Q 西 =(),3所以-3(x 3)3x 3+4 z=0,所以 z=x,4所以 1 8 Pl =(x-3)2+z2=得/-6 x +9 =2 54 82 58 1 92 5 5所以
6、t a n e =M，,2,因此t a n。的最大值为3BP 3 3故选B.8.【答案】A【解析】如图：以A为原点，以A B,A。所在的直线为x,y轴，建立如图所示的坐标系,则 A(0,0),5(1,0),(0,2),C(l,2),.动点P在以点C为圆心且与BO相切的圆上,设圆的半径为，;BC=2,0)=1,BD=-j22+l2=7 5:.-B C C D =-B D rf2 22二瓦圆的方程为(x -1)2+(y-2)2=|,设点P的坐标为(2 0。+1,2$指夕+2),v AP=AAB+JL IAD,.(乎 c o s 0+1,平 s i n 夕 +2)=4(1,0)+(0,2)=(2,2
7、),/.-c o s 0 +1 =2 ,s i n 6 +2 =2 ,.*.2 +/A=C O S+s i n 0 +2 =s i n(0 +)+2 ,其中 t a n =2 ,一 啜!h i n(6 +e)1,掇!R +3,故4 +的最大值为3,故选A.9.【答案】AB【解析】对于4任意 向 量B,若55=0,则1=0或5=0或2 5=生，故A正确；2对于B,根据共线与共面向量定理及应用，若空间中点。，A,B,C满 足 前=1两+*砺，3 3则A,B,。三点共线，故3正确；对 于C,比如忑均不为零向量，且不出垂直，但E忑不垂直时，不成立，故C不正确；对于。，*/J=(l,l,x),b=(-2
8、,x,4),_2:.a-b=-2+x+4x=5 x-2f,/.5x-2 0,5又 x=2 时，b=-2d,则为钝角或18 0。,故。不正确；故选10.【答案】ABD【解析】A.化简直线得y=(1-3)。+2 ,过定点(3,2),故A正确；3.直线y=3 x-2在y轴上的截距为-2,故3正确；C.直线6 x+y +l=0的的斜率为-G，倾斜角。满足tan8 =-括，0eO,18 O),得8 =12 0。，C错误；D垂直于直线x-2y +3=0的直线方程为一 2x-y +/%=0,把点(-1,2)代入得2 -2 +机=0,解得帆=0,故所求直线方程为-2工 一y=0,即2 x+y=。，故 正确；故
9、选11.【答案】AC【解析】A 中，AO=AB+BO=AB+(BC +c q)=AB+BA+AC+AA,)=一(而+而+瓯)，故A正确；设4月=%AC=5,AAj=c,则屋=1x1 x cos =0,2-ic 243一71/?-c=1 x 2 x c o s-=1.328 中，=+b+j a2+b2+c2+2a-h+2h-c+2a-cyi 3=-l+l+4+0+2 x l+2x(-1)=.故 叫，故 8 错误；C 中，由 配=6-4,AO-BC=(a+b+4(5 一 万)=-a2-b2-a-b+b-c-aC=if|BC|=yjb2+(f-2 a b=丘，cos=.AO：C.=-,|AO|-|B
10、C|3.直线AO与 8 C 所成的角的余弦值且，故 C 正确;3。中，取 BC的中点E,连接4E,则 通=g（通+记=；（m+6）,-.-AB=AC,：.AELBC,HAE-BR=-(d+b)-c=-(d-c+b-c)=O,2 2AE1 BBt,又 BC,u 平面 BBCC，.隹,平面/?。（,又.AEu平面ABC,平面ABC 平面BtBCCt,故D错误,故选AC12.【答案】BCD【解析】A.直线(3 +4 y 3 +=0(/%e R)得机(x+3)+3 x+4 y 3 =0 ,由；：_3 =0得 1:二;即直线恒过定点(一3,3)故 A错误；B.圆心C(0,0)到直线/:x-)，+拒=0
11、的距离d =1,圆的半径r=2，故圆C上有3个点到直线/的距离为1,故 8正确；C.曲线 G :丁+V+2 x=0 ,即(x+l)z+9=1,曲线C?:好+V -4 x-8 y +/w =0 ,即(x-2)-+(y-4)=2 0-m ,两圆心的距离为(-1-2)2+(0-4)2 =5 =1 +12 0-以,解得?=4,故 C正确；D.因为点P 为直线4 +上=1上一动点，设点尸(4 一 2 f j),4 2圆C:F +V =4的圆心为C(0,0),以线段P C为直径的圆。的方程为(x-4 +2 f)x+(y-f)y =0,即 x2+(2 r-4)x+y2-ty=0故圆。与圆C的公共弦方程为：x
12、2+(2t-4)x+y2-ty-(x2+y2)=0-4,即(2 f-4)x-)+4 =0,此直线即为直线48,经验证点(1,2)在直线(2 f-4)x-)+4 =0上，叩直线A8经过定点(1,2),故。正确.故选：BCD.13.【答案】r h r iu fi i 2 3 .6 2 1L解析 1/k.B=-=，kAC=-=6-(-4)5 12-(-4)412-6 3 1 2-M),8 2-12 5 BD 2-6二.A 8 =kcD，kAC BD=一 1 /.AB I I CD,A C 1 B D,故答案为.14.【答案】一 2 2【解析】空间向量谷=(5,3,加),6=(1,-1,-2),5 =
13、(0,2,3)共面,存在实数4 ,R使得c=Aa+pib,0 =5/1+/的法向量为方=(4,4 c),则n-PC=0n-PD=Qa+b-c=02/?-c=0取Q=1,得力=1,c=2,平 面P C D的一个法向量而=(1,1,2),设直线P A与平面P C D的夹角为e,则P A与平面P C D所成角的正弦值为：_.-?J 3sin 0=|cos 1),若 Z A E C =9 0,则 荏 屈=22(22-1)+(1 -团2=0 ,此方程无解，故在棱PO上不存在一点E,满足N 4 C =9 0。.1 9.【解析】因为AA 8C为等腰直角三角形，A C=B C,所以8 C L A C,又 E
14、F I I B C,所 以 所，4 7,因为平面4 尸_1_平面8 CEF,A E E F,平面4片/|平面8 C E F =所，A E u 平面 AEF,所 以 他_L平面B C E F,且E C u平面BCEF,所以 又C E L E F ,y所以建立如图1 所示的空间直角坐标系E-型.因为AASC为等腰直角三角形，A C =B C =4,E,F 分别为A C 和 A B上的点，且 隹=1,EF/BC ,则 4 0,0,1)，8(3,4,0),C(3,0,0),尸(0,1,0).所 以 而=(3,0,-1),两=(3,3,0),所以 co s =皮祁4产=巫1 4 cl i 阳 7 1 0
15、 x 7 1 8 1 0所以异面直线A C 与 所 成 角 的 余 弦 值 为 6.1 0设 A M，=A A C ,因 为 而=(3,0,-1),所 以 丽=丽+谢=函+几 正=(3 2,0/一；1).设万=(x,y,z)为平面A B F的一个法向量，则 产 月=。，即(3 x +3 y=0,TT-FA=0,l-y+z=o,因此可取力=(1,一 1,一 1).所以法丽=(l,-l,-l A(3/i,0,l-；0 =4；l-l.因为E M 平面A8 F,所以为EM，=0,即4 =1,4所以当4W=A C 时，E M/平面AB F.420.【解析】设 圆 C 的方程为：xi+y2+Dx+Ey+F
16、 =0,八4-2 E+F =0J 0 +3 O +E+尸=0D =-6解 得 =4 ,F=4.圆 C 的方程为：x2+y2-6x+4y+4=0；化为标准方程，(x-3 +(y+2)2=9.(2)设符合条件的实数a 存在，由于/垂直平分弦A B,故圆心C(3,-2)必在/上.所以/的斜率kpc=2,而i 6=a=,所以a=LAa k,c 2把直线ax y+l =0即 y=a r+l,代入圆C 的方程，消去 y,整 理 得+1 卜2+6(。一 l)x +9 =(),由于直线ar-y+l =0 交圆C 于 A,8两点，故 =3 6(a-1-3 6(/+1)0,即一 2a 0 解得 a 0 ,则实数a
17、 的取值范围是(-8,0).由于;好(-8,0),故不存在实数。，使得过点P(2,0)的直线/垂直平分弦AB.21.【解析】证明：四棱柱中，底面A 8 C D 为菱形，连结 A。、B D,则 A C J.90,B D /,C在平面AB C。上的投影，为直线A E 与。C 的交点，.平面AB C。,平面 A&Ciy/平面 ABCD,C H 平面 K B C D ,B 7 7 u 平面 A N。，.笈。_L C7 Z,v ACCH=C ,A!C,CH u 平面 K C H ,.笈。_1 _平面片(74，.3。_1 平面4。”,-.A H u 平面 A C H ,/.B D AH.(2)解：连结C
18、O,则 四 边 形 是 平 行 四 边 形，平面A8 C),以C为原点，在平面A 8C Q中过C作C C的垂线为x轴，C。为y轴，C。为z轴，建立空间直角坐标系,则。(0,0,26),B(6,-1,0),(6,1,26)，C(0,0,0),加=(0,2,26),而=(-/1,0),丽=(-3 1,2我,设 平 面 而。的法向量弁=(x,y,z),则 卜 吧=2)：2儡=。取 片8得n B D -y3 x+y+2V 3 z=0,设平面BCB的法向量玩=(a,。,c)，tn-B C =-/3 a+人=0,.n r则 _,取。=1,得 应=(1,&,一1).m -BB=2Z?+2V 3 c=0,设二
19、面角D-BB-C的平面角为e,则co s e=m n=；=-th-n y/5-5 5二面角。一 C的正弦值s i n6 =22.【解析】1。当直线/的斜率不存在时，/的方程为x =0，与圆C不相切；2。当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=f cr +l,即日-y +l =0,=解得女=0或k=-3,.,.直线I的方程为y=1或y=-1x+1 ；(2)由可知，/的斜率存在，设 I 的方程为 y=kx+,M(Xo，%),|y=Ax +l /口 9?由，-2 消去 y 得，(1 +公)/一(6-2幻+9 =0,a-3)+y2=13-k 3 k+l-Xo=T7F,y=i7F,3-k 3 k+T7F,TTF)AM=(-3 k 3 k-k2TTFITF)-由1T二 产5x=-k-36k-3 y=k-3z/5 6Z3、B/5 5 k、二.N(-,-)，A N =(-,-)，k-3 k-3 k-3 k-3.A 而=15f+5 k&k)7(1+二)(-3)(1+公)(-3)AM，A”为定值.